2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)及参考答案与解析

2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.(5分)不等式＞1的解集为()
A.(﹣∞，1)
B.(0，1)
C.(1，＋∞)
D.(0，＋∞)
2.(5分)a＞b的一个充分不必要条件是()
A.a＝1，b＝0
B.＜
C.a2＞b2
D.a3＞b3
3.(5分)在△ABC中，若a＝1，b＝2，cosA＝，则sinB＝()
A. B. C. D.
4.(5分)等比数列{a n}中，a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则a6＝()
A.16
B.32
C.64
D.128
5.(5分)两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为()
A.akm
B.2akm
C.akm
D.akm
6.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足＝3，＝3，则BE与DF所成角的正弦值为()
A. B. C. D.
7.(5分)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1009＝1，则S2017()
A.1008
B.1009
C.2016
D.2017
8.(5分)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则•＝()
A.﹣1
B.﹣2
C.﹣3
D.﹣4
9.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()
A. B. C. D.
10.(5分)在△ABC中，若BC＝2，A＝120°，则•的最大值为()
A. B.﹣ C. D.﹣
11.(5分)正实数ab满足＋＝1，则(a＋2)(b＋4)的最小值为()
A.16
B.24
C.32
D.40
12.(5分)圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为() A.一个点 B.椭圆
C.双曲线
D.以上选项都有可能
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(5分)命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为.
14.(5分)若x，y满足，则z＝x＋2y的取值范围为.
15.(5分)已知F为双曲线C：﹣＝1的左焦点，A(1，4)，P是C右支上一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为.
16.(5分)若数列{a n}满足a n＋1＋(﹣1)n•a n＝2n﹣1，则{a n}的前40项和为.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.(10分)设f(x)＝(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1＞0的解集为，求m的值.
18.(12分)在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2＝b2﹣，a＝6，△ABC的面积为24.
(1)求角A的正弦值；
(2)求边b，c.
19.(12分)S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2＋a n＝2S n.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.
20.(12分)已知命题p：函数f(x)＝lg(x2﹣2x＋a)的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6＋a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.
21.(12分)如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1＝2
(1)求直线DC与平面ADB1所成角的大小；
(2)在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由.
22.(12分)在圆x2＋y2＝3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，
＝动点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程及其离心率；
(2)若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB 面积的最大值.
2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理
科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.(5分)不等式＞1的解集为()
A.(﹣∞，1)
B.(0，1)
C.(1，＋∞)
D.(0，＋∞)
【解答】解：不等式可化为x(x﹣1)＜0，
∴0＜x＜1，
∴不等式＞1的解集为(0，1)，
故选B.
2.(5分)a＞b的一个充分不必要条件是()
A.a＝1，b＝0
B.＜
C.a2＞b2
D.a3＞b3
【解答】解：A.当a＝1，b＝0时，满足a＞b，反之不成立，则a＝1，b＝0是a ＞b的一个充分不必要条件.
B.当a＜0，b＞0时，满足＜，但a＞b不成立，即充分性不成立，
C.当a＝﹣2，b＝1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立，即充分性不成立，
D.由a3＞b3得a＞b，即a3＞b3是a＞b成立的充要条件，
故选：A
3.(5分)在△ABC中，若a＝1，b＝2，cosA＝，则sinB＝()
A. B. C. D.
【解答】解：∵0＜A＜π，且cosA＝，
∴sinA＝＝，
由正弦定理得，，
则sinB＝＝＝，
故选D.
4.(5分)等比数列{a n}中，a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则a6＝()
A.16
B.32
C.64
D.128
【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，
∴，解得a＝2，q＝2，
∴a6＝2×25＝64.
故选：C.
5.(5分)两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为()
A.akm
B.2akm
C.akm
D.akm
【解答】解：根据题意，
△ABC中，∠ACB＝180°﹣20°﹣40°＝120°，
∵AC＝akm，BC＝2akm，
∴由余弦定理，得cos120°＝，
解之得AB＝akm，
即灯塔A与灯塔B的距离为akm，
故选：D.
6.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足＝3，＝3，则BE与DF所成角的正弦值为()
A. B. C. D.
【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为4，
∵点E，F满足＝3，＝3，
∴B(4，4，0)，E(4，3，4)，D(0，0，0)，F(0，1，4)，
＝(0，﹣1，4)，＝(0，1，4)，
设异面直线BE与DF所成角为θ，
则cosθ＝＝＝.
sinθ＝＝，
∴BE与DF所成角的正弦值为.
故选：A.
7.(5分)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1009＝1，则S2017()
A.1008
B.1009
C.2016
D.2017
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1009＝1，
∴S2017＝(a1＋a2017)＝2017a1009＝2017.
故选：D.
8.(5分)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则•＝()
A.﹣1
B.﹣2
C.﹣3
D.﹣4
【解答】解：由题意知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，∴直线AB的方程为y＝k(x﹣1)，
由，得k2x2﹣(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x1＋x2＝，x1＋x2＝1，y1•y2＝k(x1﹣1)•k(x2﹣1)＝k2[x1•x2﹣(x1＋x2)＋1]'
则•＝x1•x2＋y1•y2＝x1•x2＋k(x1﹣1)•k(x2﹣1)＝﹣3.
故选：C.
9.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()
A. B. C. D.
【解答】解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝x，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c
∴2a＝3x，2c＝x，
∴C的离心率为：e＝＝.
故选D.
10.(5分)在△ABC中，若BC＝2，A＝120°，则•的最大值为()
A. B.﹣ C. D.﹣
【解答】解：∵，∴⇒4＝AC2＋AB2﹣2AC•ABcosA
⇒4＝AC2＋AB2＋AC•AB≥2A•CAB＋AC•AB＝3AC•AB⇒AC•AB≤
∴•＝AC•ABco s120°≤，则•的最大值为，
故选：A.
11.(5分)正实数ab满足＋＝1，则(a＋2)(b＋4)的最小值为()
A.16
B.24
C.32
D.40
【解答】解：正实数a，b满足＋＝1，
∴1≥2，解得ab≥8，当且仅当b＝2a＝4时取等号.
b＋2a＝ab.
∴(a＋2)(b＋4)＝ab＋2(b＋2a)＋8＝3ab＋8≥32.
故选：C.
12.(5分)圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为() A.一个点 B.椭圆
C.双曲线
D.以上选项都有可能
【解答】解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点
线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，
则QA＝QP，则QA﹣QO＝QP﹣QO＝OP＝R，
即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，
根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线
故选：C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(5分)命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为∀x∈[﹣，]，tanx ＞m.
【解答】解：命题“∃x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定为命题“∀x∈[﹣，]，tanx＞m”，
故答案为：∀x∈[﹣，]，tanx＞m
14.(5分)若x，y满足，则z＝x＋2y的取值范围为[0，] .
【解答】解：x，y满足，不是的可行域如图：
z＝x＋2y化为：y＝﹣＋，当y＝﹣＋经过可行域的O时
目标函数取得最小值，经过A时，目标函数取得最大值，
由，可得A(，)，
则z＝x＋2y的最小值为：0；最大值为：＝.
则z＝x＋2y的取值范围为：[0，].
故答案为：[0，].
15.(5分)已知F为双曲线C：﹣＝1的左焦点，A(1，4)，P是C右支上一点，
当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为.
【解答】解：设双曲线的右焦点为F′(4，0)，由题意，A，P，F′共线时，△APF 周长最小，直线AP的方程为y＝(x﹣4)，即4x＋3y﹣16＝0，
∴点F到直线AP的距离为＝，
故答案为：
16.(5分)若数列{a n}满足a n＋1＋(﹣1)n•a n＝2n﹣1，则{a n}的前40项和为820.
＋(﹣1)n a n＝2n﹣1，
【解答】解：由于数列{a n}满足a n
＋1
故有a2﹣a1＝1，a3＋a2＝3，a4﹣a3＝5，
a5＋a4＝7，a6﹣a5＝9，a7＋a6＝11，…a50﹣a49＝97.
从而可得a3＋a1＝2，a4＋a2＝8，a7＋a5＝2，a8＋a6＝24，a9＋a7＝2，a12＋a10＝40，a13＋a11＝2，a16＋a14＝56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列.
{a n}的前40项和为10×2＋(10×8＋×16)＝820，
故答案为：820
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.(10分)设f(x)＝(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1＞0的解集为，求m的值.
【解答】(本题12分)
解：(1)当m＝1时，
不等式f(x)＞0为：2x2﹣x＞0⇒x(2x﹣1)＞0⇒x＞，x＜0；
因此所求解集为；…(6分)
(2)不等式f(x)＋1＞0即(m＋1)x2﹣mx＋m＞0
∵不等式f(x)＋1＞0的解集为，
所以是方程(m＋1)x2﹣mx＋m＝0的两根
因此⇒. …(12分)
18.(12分)在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2＝b2﹣，a＝6，△ABC的面积为24.
(1)求角A的正弦值；
(2)求边b，c.
【解答】解：(1)由在△ABC中，a2﹣c2＝b2﹣①，整理得cosA＝＝
，
则sinA＝＝；
(2)∵S＝bcsinA＝24，sinA＝，
∴bc＝80，
将a＝6，bc＝80代入①得：b2＋c2＝164，
与bc＝80联立，解得：b＝10，c＝8或b＝8，c＝10.
19.(12分)S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2＋a n＝2S n.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.
【解答】解：(1)由题得a n2＋a n＝2S n，a n
＋12＋a
n＋1
＝2S n
＋1
，两式子相减得：
结合a n＞0得a n
＋1
﹣a n＝1 …..(4分)
令n＝1得a12＋a1＝2S1，即a1＝1，
所以{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，即a n＝n…..(6分)
(2)因为b n＝＝(n≥2)
所以T n＝＋…＋①
T n＝＋…＋＋②…..(8分)
①﹣②得T n＝1＋＋…＋﹣＝﹣，
所以数列{b n}的前n项和T n＝3﹣.…..(12分)
20.(12分)已知命题p：函数f(x)＝lg(x2﹣2x＋a)的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6＋a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.
【解答】解：当P真时，f(x)＝lg(x2﹣2x＋a)的定义域为R，
有△＝4﹣4a＜0，
解得a＞1.…..(2分)
当q真时，即使g(x)＝ax2﹣ax﹣6＋a在x∈[1，3]上恒成立，
则有a＜在x∈[1，3]上恒成立，
而当x∈[1，3]时，＝≥，
故a＜.…..(5分)
又因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假，…..(6分)
当p真q假时，a＞1.…..(8分)
当p假q真时，a＜…..(10分)
所以实数a的取值范围是(﹣∞，)∪(1，＋∞)…..(12分)
21.(12分)如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1＝2
(1)求直线DC与平面ADB1所成角的大小；
(2)在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由.
【解答】解：(1)∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1＝2，
∴以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，…..(2分)
D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，1，)，C(0，1，0)，
，＝(0，1，)，＝(0，1，0)，
的法向量为，
设平面ADB
则，取z＝1，得＝(0，﹣，1)，…..(4分)
设直线DC与平面所ADB1成角为θ，
则sinθ＝|cos＜＞|＝＝，
∵θ∈[0，]，∴θ＝，
∴直线DC与平面ADB1所成角的大小为.…..(6分)
(2)假设存在点P(a，b，c)，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，
设＝，由A1(0，0，)，得(a﹣1，b，c)＝λ(﹣a，﹣b，)，
∴，解得，
B1(0，1，)，C1(﹣1，1，)，＝(﹣1，0，0)，＝(，﹣1，﹣)，设平面的法向量为＝(x，y，z)，
则，取z＝1，得＝(0，﹣，1)，….(9分)
由(1)知，平面AB1C1D的法向量为＝(0，﹣，1)，
∵二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，
∴cos30°＝＝＝.
由λ＞0，解得λ＝2，
所以棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP＝2PA1.
22.(12分)在圆x2＋y2＝3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，
＝动点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程及其离心率；
(2)若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB 面积的最大值.
【解答】解：(Ⅰ)设M(x，y)，P(x0，y0)，由＝得x0＝x，y0＝y …..(2分)因为x02＋y02＝3，所以x2＋3y2＝3，即＝1，
其离心率e＝.…..(4分)
(Ⅱ)当AB与x轴垂直时，|AB|＝.(5分)
②当AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由已知，得.(6分)
把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2﹣3＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝(7分)
∴k≠0，|AB|2＝(1＋k2)(x2﹣x1)2＝3＋≤4，
当且仅当9k2＝，即k＝时等号成立，此时|AB|＝2.(10分)
当k＝0时，|AB|＝.(11分)
综上所述：|AB|max＝2，
此时△AOB面积取最大值＝(12分)。