专题3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-20届高中数学同步讲义人教版(必修4)

第三章三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角差的余弦公式

（1）公式内容：对于任意角α，β，有cos（α–β）=____________________．简记为C（α–β）．（2）公式推导：①利用三角函数线推导．②利用向量法推导．

2．两角和的余弦公式

（1）公式内容：对于任意角α，β，有cos（α+β）=____________________．简记为C（α+β）．（2）公式推导：

在公式C（α–β）中，将β用–β来替换，并且注意到cos（–β）=cos β，sin（–β）=–sin β，

于是cos（α+β）=cos[α–（–β）]=cos αcos（–β）+sin αsin（–β）=cos αcos β–sin αsin β．

即cos（α+β）=cos αcos β–sin αsin β．

3．两角和与差的正弦公式

（1）公式内容：对于任意角α，β，有sin（α±β）=____________________．简记为S（α±β）．（2）公式推导：

运用差角的余弦公式C（α–β）及诱导公式，可得

sin（α+β）=cos[π

2

–（α+β）]

=cos[（π

2

–α）–β]=cos（

π

2

–α）cos β+sin（

π

2

–α）sin β=sin αcos β+cos αsin β．

运用差角的余弦公式C（α+β）及诱导公式，可得

sin（α–β）=cos[π

2

–（α–β）]

=cos[（π

2

–α）+β]=cos（

π

2

–α）cos β–sin（

π

2

–α）sin β=sin αcos β–cos αsin β．

4．两角和与差的正切公式

（1）公式内容：tan（α±β）=____________________（α，β，α±β≠π

2

+kπ，k∈Z）．简记为T（α±β）．

（2）公式推导：

当cos（α+β）≠0时，将公式S（α+β），C（α+β）的两边分别相除，

有tan （α+β）=

c s o in s c cos sin os cos si i n s n αβαβ

αβαβ

-+，

若cos αcos β≠0，将上式的分子、分母分别除以cos αcos β， 得tan （α+β）=

tan tan 1tan tan αβ

αβ

+-．

在T （α+β）中，将β用–β来替换，可得tan （α–β）=tan[α+（–β）]=tan tan()1tan tan()αβαβ+---=tan tan 1tan tan αβ

αβ

-+．

5．二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）S 2α：sin 2α=____________________．

（2）C 2α：cos 2α=cos 2α–sin 2α=____________________=1–2sin 2α． （3）T 2α：tan 2α=____________________（α≠k π+π2且α≠π2k +π

4

，k ∈Z ）． 6．二倍角公式的变形应用 （1）倍角公式的逆用： S 2α：2sin αcos α=sin 2α；sin α=

sin 22cos α

α

； C 2α：cos 2α–sin 2α=2cos 2α–1=1–2sin 2α=cos 2α； T 2α：

2

2tan 1tan α

α

-=tan 2α；2tan α=tan 2α（21tan α-）． （2）配方变形：1±sin 2α=22sin cos αα+±2sin αcos α=（sin α±cos α）2． （3）因式分解变形：cos 2α=cos 2α–sin 2α=（cos α+sin α）（cos α–sin α） （4）升幂公式：

1+cos α=2cos 22α；1–cos α=2sin 2

2α； 1+sin α=（sin

2

α

+cos

2

α

）2；1–sin α=（sin

2

α

–cos

2

α

）2．

（5）降幂公式： sin 2α=

1cos22α-；cos 2α=1cos22α+；sin αcos α=1

2

sin 2α． （6）三倍角公式： sin 3α=3sin α–4sin 3α； cos 3α=4cos 3α–3cos α；

（简记为：正弦三减四，余弦四减三，立方总在四后边）

tan 3α=323tan tan 13tan αα

α

--．

K知识参考答案：

1．cos αcos β+sin αsin β2．cos αcos β–sin αsin β

3．sin αcos β±cos αsin β4．

tan tan 1tan tan

αβ

αβ

±

5．（1）2sin αcos α（2）2cos2α–1（3）

2

2tan

1tan

α

α-

K—重点1．熟练应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式；

2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

K—难点会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；

K—易错掌握三角函数的和差公式，二倍角公式的正用、逆用是解决问题的关键．

1．两角和与差的正、余弦公式

【例1】cos

π

12

的值为

A．62

2

+

B．

62

4

-

C．62

4

+

D．3

【答案】C

【解析】cos

π

12

=cos（

ππ

–

34

）=cos

ππ

cos

34

+sin

ππ

sin

34

1232

2222

=⨯+⨯

62

4

+

=．故选C．

【解题必备】S（α±β）：sin（α±β）=sin αcos β±cos αsin β．

C（α±β）：cos（α±β）=cos αcos βsin αsin β．

【例2】求值：sin460°sin（–160°）+cos560°cos（–280°）．

【答案】–1 2