打印-第10章稳恒磁场计算题1~7题(毕萨定律)参考解答

3. 计算题

(1) 如图10.43所示，一无限长载流平板宽度为a ，线电流密度(即沿x 方向单位长度上的电流)为I ，求与平板共面且距平板一边为b 的任意点P 的磁感强度．

解：取离P 点为x 、宽度为d x 的无限长载流细条，它的电流d d i I x =，可看作无限长载流直线，它在P 点产生的磁感应强度

00d d d 22i I x

B x x

μμππ=

=，方向垂直纸面向里。 所有载流细长条在P 点产生的磁感强度的方向

都相同，所以载流平板在P 点产生的磁感强度：

00d d ln 22a b b I I x a b

B B x x x b

μμππ++===⎰⎰

(2) 在一半径R =1.0cm 的无限长半圆柱面形金属薄片中，自上而下地有I =5.0A 的电流通过，如图10.44所示，试求圆柱轴线上任意一点P 的磁感应强度B 的大小及方向。

解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P 的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取坐标如图所示，

取宽为l d 的一无限长直电流l R

I I d d π=，在轴上P 点产生B d 与R 垂直，大小为R I R R R I R I B 20002d 2d 2d d πθμ=πθπμ=πμ=

B

d 沿坐标轴的分量为：

02cos d d d cos()2x I B B R μθθ

πθπ=-=-； d 0y B =； 02sin d d d cos()22z I B B R

μθθπ

θπ=-= 轴线上任意一点的磁感应强度B ，沿坐标轴

的分量为：

020cos d 02x I B R π

μθθ

π==⎰

T ；0y B =；

50002220sin d [cos 0cos ] 6.371022z I I I B R R R

πμθθμμππππ-==-==⨯⎰T

∴56.3710B k -=⨯ T

(3) 如图10.45，将一导线由内向外密绕成内半径为R 1，外半径为R 2 的圆形平面线圈，共有N 匝，设电流为I ，求此圆形平面载流线圈在中心O 处产生的磁感应强度的大小。

解：由于载流螺旋线绕得很密，可以将它看成由许多同心的圆电流组成，在沿径向单位长度上的线圈

匝数为：21

N

n R R =-，

任取半径r ，宽为d r 的电流环，该电流环共有电流为：

21

d d NI

In r r R R =-

该电流环在线圈中心产生的磁感应强度大小为

()0

21d d d 22NI r

B In r r

R R r

μ=

=

-

圆心处总磁感应强度大小

()()2

1

221211

d d ln 22R R R NI r NI

B B R R r R R R ===--⎰⎰

(4) 一根无限长导线弯成如图10.46形状，设各线段都在同一平面内(纸面内)，其中第二段是半径为R 的四分之一圆弧，其余为直线．导线中通有电流I ，求图中O 点处的磁感强度。

解：将导线分成1、2、3、4四部份，各部分在O 点产生的磁感强度设为B 1、

B 2、B 3、B 4．根据叠加原理，O 点的磁感

强度为：4321B B B B B +++=

10B =；40B =；

)2(4102R

I

B μ=，方向：⊥纸面向里；

I

x

O P

b

a

10.43

图d x

x

x

O

P

(1)题解

10.44图θd θd B d z

B d x B x

z

(2)题解

P 1

R 2

R 10.45

图10.46

图123

4O I

R

R (4)题解

123

4

O

I

1θ2

θa

003122(cos cos )244I

I B a R

μμθθ=-=ππ02I

R μ=π，方向：⊥纸面向里。

其中，2

R

a =

，12cos cos()42θπ==，22cos cos()42θππ=-=-。 ∴ R I R I B π+=2800μμ)1

41(20π

+=R I μ，方向⊥纸面向里。

(5) 如题10.47图所示，两根导线沿半径方向引

向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电源相连．已

知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度。

解：因为O 点在两根长直导线上的延长线上，所以两根长直导线在O 点不产生磁场，设第一段圆弧的长为l 1，电流强度为I 1，电阻为R 1，第二段圆弧长为l 2，电流强度为I 2，电阻为R 2，因为1、2两段圆弧两端电压相等，可得1122I R I R =，

电阻l

R S

ρ

=，而同一铁环的截面积为S 和电阻率是相同的，于是有1122I l I l =

第一段圆弧在O 点所产生的磁感应强度为：

010********I I l

l B r r r

μμππ== ，方向垂直纸面向外。

同理，第二段圆弧在O 点所产生的磁感应

强度为：020********I I l

l B r r r

μμππ==，方向垂直纸面向里。

铁环在O 点所产生的总磁感应强度为：

011022

1222

044I l I l B B B r r μμππ=-=

-= (6) 氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径 r =0.52×10-8cm 的轨道上作匀速圆周运动，速率v =2.2×108cm/s ，如图10.48所示。求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值。

解：⑴ 解法一：电子在轨道中心产生的磁感应强度03

4O e r

B r μπ⨯=

v ：

19

87021021.610 2.2101013T 4(0.5210)

O e B r μπ---⨯⨯⨯==⨯=⨯v 方向垂直向里，如图所示。

解法二：电子电流22q e e I T r r

ππ=

==v

v ，∴ 00224O e I B r r μμπ==v

⑵ 电子磁矩m P

在图中也是垂直向里，大小为：

2242sin 9.210Am 222

m e e r

P IS r r πππ-====⨯v v

(7) 如图10.49所示，半径为R ，线电荷密度为λ(>0)

的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角

速度ω转动，求轴线上任一点的B

的大小及其方向。

解法一：在圆线圈上取一小段d l ，其带电d q =λd l ，

在P 点激发的磁场为：0022

d d d 44q R l

B r r μμωλππ==v ，

各元电荷的磁感应强度方向不同。

∴ 03

d d d sin 4y l

B B r μωλθπ==2R ，式中sin R r θ=

由对称性知：d 0y y B B ⊥⊥==⎰

；

332000332232

d d 422()y y

B B R R R l r r R y μμωλμωλωλπ====+⎰⎰圆周

∴ 3

02232

2()y R B B R y μωλ==

+，沿y 轴正向。

解法二：22q R I R T πλ

λωπω

===，

2

/32230)

(2y R R B B y +==λω

μ，B 的方向与y 轴正向一致。 r

B

A

10.47

图O

1

I 2I I

I B

A (5)题解

O

1

θ2

θr v

r 10.48

图 v

r

B (6)题解

10.49

图d B

d y

B y

θθR

O

r (7)题解一

l

v

P