海天教育：2013考研数学点睛3套卷(卷一)答案

数列极限定义 : " ε >0,$N ÎN* , 当 n>N 时 , 恒有| x a |< ε Ûl i m x a. nn=
nң ɕ
2 0 1 3 考研数学点睛 3 套卷 ( 一 ) 参考答案
第一 , 在上述定义中 , 必须能够满足 正数且可以任意小 ε 不管以何种表达形式给出 ,
1 0㊁ 1 0 的要求 , 依次看三个说法里的 ε , 分别为① 1 ㊁ 在 题 设 条 件 下, ②e ③2 ε, ②e >1, 2 N
a) ð(
n=1 n
ɕ
2 0 1 4
发散 .
故级数
2 0 1 2 时, 一定有 ( 即| a a <1 , <1 . n) n|
a) ð(
n=1 n
ɕ
2 0 1 2
2 0 1 2 收敛 ⇒l 则 ∃N >0 , 当n > N i m( a =0, n)
nң ɕ
( ) ʌ 答案与解析 ɔ 5
ð
n=1
ɕ
ʏ0ຫໍສະໝຸດ ( x l n 1 x) +
2 s i n t 故选 ( d t 是x 的 2ˑ2 = 4 阶无穷小 , D) t
ʏ
的充分条件 , 并非必要条件 . ( ) , 设 f (x ) 在 [a, 事实上可以放宽至 常义可积 ) 则 f (x ) 在 [a, 2 b] 上 连 续 ( b] 上 有界 ; ( ) 有界函数与有界函数的和 ㊁ 差㊁ 积仍为有界函数 . 3 具体来说 , ① 对于 f (x ) l i m
ε
ε
一㊁ 选择题 ( ) ʌ 答案与解析 ɔ 1 正确答案选择 ( D) . 本题考查无穷小比阶问题 , 其中第四个选项是复合函数 , 具有一定的难度 .
2 2 x 2 , 当 xң0 时 , 1+x - 1-x = ~x 2 2 1+x + 1-x 2 2 3 5 7 3 2 4 3 ( ) , 3 x -5 x +7 x =x 3-5 x +7 x ~3 x
xң •
ʏ
0
( x l n 1 x) +
2 s i n t d t由 t
2 2 x s i n x s i n t 1 2, ( 当 x ң0 时 , d t 与x2 同阶 , x -l n 1+x)~ x ~ x, 0 x t 2
ʏ
u
2 s i n t ( d t 与u = x -l n 1+x)复合而成 , 0 t
x) -A ɤ ε 都表明f( x) ңA.由此看来 , ①㊁ ③ 的说法都是正确的 ; f(
故答案选择 ( C) . ( ) ʌ 答案与解析 ɔ 3 正确答案选择 ( B) . 本题考查函数的有界性的判别 , 这一直是研究生考试的重要知识点 . 其主要依据是 :
[
]
( ) 设l 则在 x ң • 时 , 其中x ң • 是指x ңx 1 i m x ңx 0, 0, f (x ) 存在 , f (x ) 有界 .
n 1 ( ) -1 ( ) 取a 2 n = 1 2 0 1 4 n
故级数
ð
n=1
ɕ
2 0 1 3 ( 条件收敛 , 级数 a n)
n 1 ( ) -1 ( ) 取a 3 n = 1 2 0 1 3 n
n 1 ( ) -1 2 0 1 3 ì , a ï( = n) n ï ï ⇒ í ï 1 2 0 1 4 a = 2 n) ï( 0 1 4. 2 0 1 3 î n
2 0 1 3 考研数学点睛 3 套卷
界, 且s i n x 有界 , 1ö æ ç 1- 3 ÷ ( 1-c o s x) 3 3 ( ) ( ) (x è ø x 1 1 c o s x x 1-c o s x) -1) ( 同理 , 有 l i m i m =l =0 , 2 3 2 3 xң-ɕ xң-ɕ (x +1) x ( ) 1 æ ö x 1 x + 2 ç 1+ 2 ÷x è x ø 界, 且s 故 f(x) 在 ( - ɕ , i n x 有界 , -X ) ɣ (X, + ɕ ) 内有界 ; 同时 , 由于 f (x ) 在 [ - X, 则有界 , X ] 上连续 , -δ] 和 [δ, 综上所述 , 0) ɣ (0, + ɕ ) 上有界 . f (x ) 在其定义域 ( - ɕ , ② 对于 g (x ) 取x n = πö πö æ æ π ç k , 则 g (x π+ ÷s k π+ ÷ = 2 i nç2 k π+ , n)= 2 2ø 2ø è è π 2 2 k π+ 2 1
xң0
+
( ) ʌ 答案与解析 ɔ 2 正确答案选择 ( C) . 本题考查对函数极限 ㊁ 数列极限定义的本质理解 . 函数极限定义 : " -A ε>0 , $ δ>0 , 当 0<| xx0 |< δ 时 ,| x) |< ε Ûl i m x) =A, f( f(
xңx 0
3 3 (x (x 1 1 1-c o s x) s i n x 1) 1 c o s xs i n x -1) ( i m 2- ㊃ -2 1) ㊃ ㊃ 1 =- , =l = (2 3 + (x +1) x 2 2 x x +1 x xң0
对任意正数 M , 当k 充分大时 , 所以 g( 为界 . x) n)> M , g (x ( ) ʌ 答案与解析 ɔ 4 ( 数学一 ㊁ 二考生用 ) 应选 ( D) . 本题考查用导数研究函数性态 . 由于 f( 在x =x x)在 x = x x)ɤ f( x 0 处取得极大值 , 0 的某邻域内 f( 0 ), 从而有 -f( 故应选 ( x)ȡ-f( x D) . 0 ), ( 数学三考生用 ) 正确答案选择 ( B) . 本题考查抽象型数项级数的判敛法 , 是一道有难度的综合题 . ㊁ ( , 对于选项 ( 级数 A) B)
a) ð(
n=1 n
ɕ
2 0 1 3
收敛 , 首先要明确它既有可能绝对收敛 , 也有可能条件收
a) ð(
n=1 n
ɕ
2 0 1 3
㊁ ( 绝对收敛时 , 用分析 ( 选项的方法 , 可得 , 级数 A) B)
a) ð(
n=1 n
ɕ
2 0 1 4
收敛 .
n 1 ( ) -1 2 0 1 3 ì , a ï( = n) 2 0 1 3 2 0 1 4 n ï ï ⇒ í ï 1 2 0 1 4 ï( = . n) îa n
-2
π 2
π
m
n
对于
ʏ
3 π 2 π 2
o sφs i n d o sφs i n d φ φ+ φ φ) . ( c ʏ ʏc
π -2
m
n
3 π 2 π 2
m
n
( ) 即l 但A ʂF 而 1 x =x i m F ᶄ( x)存在 = A , ᶄ( x 0 为第一类可去间断点 , 0 ),
xң0
m n , 令φ = π+ 则 c o s i n d t φs φ φ,
2 1 2 3 2, 2 x 2 2 2 2 ) = 3x ) ) + o( x e c o s x=1+x + o( x - 1- x + o( x ~ x 2 2 2
并不是 可以任意小 , 后面两个都满足 正数且可以任意小 , 故 ② 是错误的 ; 第二 , 事实上 ,0< xa < δ 和 0< xa ɤ δ 都 表 明 xңa; f( x) -A < ε和
F( x) x -F( 0) x -x 0
洛
l i mF ᶄ( x)= A+ ,
xңx 0
+
[
]
F( x) x -F( 0) F ᶄ x i m =l 0) -( x x 0 xңx 0
洛
l i mF ᶄ( x)= A- . xңx 0
总之 , 当 m 和n 中至少一个为奇数时 ,
x + y ɤa
2
m+ n 2 +
m+ n 2 + a = m +n+2
o sφs i n d φ φ ʏc
3 π 2
o sφs i nφ d φ ʏc
2 π 0
m
n
对于命题 ② , 可以用如下一个命题来说明其正确性 .设 F( 可以证 x)在 ( a, b)内可导 , 明导函数 F ᶄ( x)在 ( a, b)内必定没有第一类间断点 : 设x =x 则只有下述两种情况 : ᶄ( x)的第一类间断点 , 0 为F
2 0 1 3 ( 条件收敛 , 级数 a n)
a) ð(
n=1 n
ɕ
2 0 1 4
收敛 .
( 数学二考生用 ) 正确答案选择 ( D) . 本题考查二重积分的计算 , 其中要用到积分的周期性质 , 并且需要分情况讨论 , 是一道 具有一定难度的综合计算题 .
于是当 n > N 时 , 有
2 0 1 3 2 0 1 2 2 0 1 2 , 0ɤ| a a a = (a | <( n| n) n| n) 2 0 1 3 根据正项级数的比较判别法 ,ð ( 绝对收敛 . 本题正确答案选择 ( a B) . n) ɕ
ʌ , ) 点评 ɔ 此题用到的一个关键是 : 对于以 T 为周期的连续函数f( 有公式 f( x) t d t=
0
x d D) . y = 0.故答案选择 ( ∬ xy d
m n
2 2
又是存在的 , 则F 即 A+ = A- , 矛盾 ; F ᶄ( x ᶄ x ᶄ x =F 0) 0) 0 ), +( -( ) ) 综上所述 ( 与( 均 不 可 能, 即导函数 F 也 1 2 ᶄ( x)在 ( a, b)内 必 定 没 有 第 一 类 间 断 点 , 即含有第一类间断点的函数 f( x)在包含该间断点的区间内没有原函数 F( x). 事实上 , 同样可以证明 : 设 F( 其导函数 F x)在 ( a, b)内 可 导 , ᶄ( x)在 ( a, b)内 也 必 定 没有无穷间断点 . 设x =x 则l 而 ᶄ( x)的无穷间断点 , i mF ᶄ( x)= ɕ , 0 为F
2 0 1 4 ㊁ ( , 对于选项 ( 由于 ( 所以级数 C) D) a ȡ0 , n)
2 0 1 3 项级数只谈收敛和发散 , 当收敛时是没有绝对收敛和条件收敛之分的 . 由于 ( 符 a n)
a) ð(
n=1 n
ɕ
2 0 1 4
为正项级数 , 顺便指出 , 正
号不确定 , 若级数
( ( 敛, 所以考生看到我们对选项 做 了 科 学 设 置 ( 选 项 从 表 述 上 就 是 错 误 的, 即可 C) D) 排除 ) . ( ) 当级数 1
o sφs i nφ d φ = ( -1) ʏc
3 π 2 π 2
m
n
m
( -1)n
o sts i n t d t . ʏc
π 2
-2
π
m
n
( ) 即l 但 2 x =x i mF ᶄ( x)存在 为 A+ , l i mF ᶄ( x)存在 = A- , 0 为第一类可去间断点 , + 而由 A+ ʂ A- ,
令
n=1
{
x= r c o s φ, 则 r s i n y= φ
2 0 1 3 考研数学点睛 3 套卷
第2 0页
x + y ɤa
2
∬
2
2
n xm x d yd y=
0ɤφɤ2 π 0ɤ rɤa
=
a m +n+2
∬
m n rm+n+1c o s i n d r d φs φ φ=
m+ n 2 + a m +n+2
F( x) x -F( 0) F ᶄ( x i m =l 0) xңx x x - 0 0
产生矛盾 ;
洛
l i mF ᶄ( x)= A ,
xңx 0
( ) 当 m 和n 中有且仅有一个为奇数时 , 从而积分为零 ; ( -1) m ( -1)n =-1, 1 ( ) 当 m 和n 均为奇数时 , 从而 ( -1) m ( -1)n =1, 2
3 ㊃ (x 1-c o s x) s i n x 1, -1) ( 同理 l 故在 U (0, i m δ) 内 , = f (x ) 有界 ; 2 3 ( ) 2 x +1 x xң0
1ö æ ç 1- 3 ÷ ( 1-c o s x) 3 3 ) (x )( (x è ø 1 1 c o s x x 1-c o s x)有 -1) ( 又l i m i m =l =0 , 2 3 2 3 xң+ɕ xң+ɕ (x +1) x ( ) 1 æ ö x 1 x + 2 ç 1+ 2 ÷x è x ø 第1 9页
+ 值得指出的是 : 极限存在只是函数有界 x ңx xң ɕ , x ң- ɕ , x ң+ ɕ 等六种情形 , 0,
故
ʌ 点评 ɔ这里用到一个重要结论 : 设 x ң0 时 , 则 x)~ x , x)~ x , f( g(
m n m [( ] [( ] [( ] x) x) x) l i mf gm i mf g m ㊃ g m =l = 1, n n [ ( ) ] xң0 x ң0 x x gx n ]~ xm 即 f[ x) . g(
xң0 xң0
x + y ɤa m n
2
π π 由 故积分为零 . c o sφs i nφ 为 - , 上的奇函数 , 2 2
x d o sφs i nφ d y= φ, ∬ xy d ʏc m +n+2
m n
2 2
2 a
m+ n 2 +
π 2
F ᶄ x i m =l 0) +(
-2
π
m
n
+ xңx 0