质点动力学2019习题解析

(m1
m2 )g m1 m2
2m2a
a2
a
a
(m1 m2 )g 2m1a
m m 1
2大学物理教学中心
Northeastern University
7.一质量为0.05 kg、速率为10 m·s -1的刚球,以与钢板法线呈45º角
的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来;设碰撞时间
1
和m2
的星球,原来为静止,且相
距为无穷远，后在引力的作用下,互相接近 ,到相距为r 时。 求它
们之间的相对速率为多少？
解 由动量守恒，机械能守恒
mv1 mv2 0
1 2
m1v12
1 2
m2v22
G
m1m2 r
0
m1 v 1
v m2 2
解得
v1 m2
2G (m1 m2)r
v2 m1
2G (m1 m2 )r
相对速率 vr v1 v2 m2
2G m (m1 m2 )r 1
2G (m1 m2)r
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x
F
m(x)
mg
o
9.一人从10m深的井中提水，开始桶连 水共10kg，由于水桶漏水，每升高1m 漏去0.2kg的水。水桶被匀速地从井底 提到井口，则人所做的功为多少？重 力做功为多少？(g=9.8m/s2)
m
dt
v dv
t 3t 2dt
2
0
v 2 t3 dx , v(1) 3 dt
x dx
t (2 t 3 )dt
5
0
x 5 2t 1 t 4; x(1) 7.25
4
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2.质量为m的质点以初速度v0沿x 轴作直线运动,起始位置在 坐标原点处，所受阻力与其速率成正比， 即：F=-kv，式中k为正常数，
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质点动力学内容总结与练习
牛顿运动定律
1.牛顿第一定律 （又称惯性定律）
2.牛顿第三定律 F12 F21
3.牛顿第二定律
F (t)
dp(t)
d
(mv)
dt dt
当 vc 时，m为常量
F (t)
m
dv
ma
dt
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为0.05 s。求在此时间内钢板所受到的平均冲力。
Fxt mv2x mv1x 2mvcos
Fyt mv2y mv1y 0
F
Fx
2mv cos
t
14.1N
另解法: 直接利用动量定理的矢量形式
x
mv1 O
mv2
y
I p2 p1 p
p
p
2
1
p
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8.在恒星系中,两个质量分别为m Northeastern University
Eb Ea
功能原理
若质点系只有保守内力做功时,则机械能守恒
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质心运动定理 Northeastern University
一、质心位置的确定
N个质点的系统(
m
mr1,,rm 2,,,, mri,,mrn
12
i
n
质量连续分布的系统的质心位置
rc
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3.有一密度为 的细棒，长度为l, 其上端用细 Northeastern University
线悬着，下端紧贴着密度为' 的液体表面,现将
悬线剪断,求细棒在恰好全部没入液体中时的沉
降速度, 设液体没有粘性。
l
解 因物体所受浮力B细棒的重力G
由牛顿第二定律，可得：
F G B lsg xsg m dv m dv v
t1
n
(
i1
Fi )dt
n i1
mi vi
n i1
mivi0
p
I
p 1
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二 动量守恒定律 Northeastern University
当 Fi 0
mi
vi
常矢量
i
Fx 0 mivix px 常量
动量守恒分量表述 Fy 0 miviy py 常量
质心a的c 加d速dvtc度和动力F学 规d律dpt
m
dv c
dt
mac
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1.一质量为2kg的质点在变力F=6t2N作用下沿x轴运动,设t=0时,质点 速率v0=2m·s-1,质点位置x0=5m;试求质点在1s末的速率和位置
a F 3t 2 dv
dt dx
( l x)g l dv v
dx
l ( l x)gdx l v vdv v 2 gl
0
0
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4.一质量为m 的小球由水面静止释放，若
小球所受液体的粘滞阻力 R=kv ，方向与
运动方向相反，浮力B。试求下降速度与
10
W人 0 (10 0.2x)gdx 882J
WG (10 0.210)gh 784J
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10.一质量为m的物体,从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下, 设圆弧形槽的半径为R,张角为π/2,如图所示,所有摩擦均忽略, 求:(1)物体刚离开槽底端时,物体和槽的速度各是多少？
a F v2 dv
m
dt
t
dt
0
v 1
1 v2
dv
v
1 1
t
v 1 dx t 1 dt x dx x ln(1 t)
1 t dt 0 1 t
0
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rdm
xc
xdm
m
ydm
yc m
z
mi m2
r mi
i
m1
m
zc
zdm
m
O x
y
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二、质心运动定理
质心的速度
dr
vc
c
dt
d (
dt
miri )
dr
dtmi i
m
m
mivi
p i
m
m
质点系的总动量 p pi mvc
t2
t1
I x Fxdt
t1
分量形式
I y
t2 F dt
y
t1
I I 2I 2I2
x yz
t2
I z Fzdt
t1
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p 2
2.质点动量定理
I t2 Fdt
t1
p
2
p1
dp
p2
p 1
p
3 质点系的动量定理
t2
说明
Fz 0 miviz pz 常量
(1) 动量守恒定律适用于惯性系
(2) 动量守恒定律也适用于高速及微观领域 (3) 合外力为零,或外力与内力相比小很多;
如碰撞问题、爆炸问题等
(4) 合外力沿某一方向为零,该方向动量守恒
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b
a
m1
m2
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Northeastern University a
T1
m1 mm11ga
T2
m2 mm2ga
2
Tm1gm2mg1a
T m2a
m1a m2a
a (m1 m2 )(g a) m m
T 2m1m2 (g a)
m1 m2
利用 am地 am梯 a梯地
a1
a
a
时牛间顿的方函程数关m系g。
B
R
ma
R
B m
mg
mg B kv m dv dt
v
0 mg
m B
kv dv
tdt
0
v f(t)
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5. 在t0=0的时刻，一质量为m的质点自地球表面以速率v0 竖直上抛，设空气对该质点的阻力大小为：f=mv；其中 m为质点的质量；v为质点的速率；设重力加速度为g； 求:1)该质点能上升的最大高度H；2)在该质点上升的过程 中,其速率v与时间t 的关系。
r (t) v(t)
5ti 0.5t 5i t j
2
j
v(t) 25 t 2
W
Ek
1 2
m(v22
v12 )
1 0.5(41 29) 3J 2
v(2) 29 v(4) 41
亦可用功自身定义来求！
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13.一质量为m=2kg的质点沿x轴作直线运动，所受合力与其 速率的关系为：F=-2v2；当t=0时，该质点位于坐标原点处， 初速度v0=1m/s;求:(1)该质点的速率v与时间t 的关系；(2)该 质点的运动方程。
mg mv m dv mv dv dt dy
H
dy
0
0 v0
g
v dv v
H
v0
g ln
g
v0 g
t
v
dt
1 dv
0
v0 g v
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6.电梯相对地面以加速度 a 竖 直向上运动，电梯中有一滑轮 固定在电梯顶部，滑轮两侧用 轻绳悬挂着质量分别为m1和m2 的物体A和B已知m1> m2。求 物体相对地面的加速度和绳的 张力。
求:(1)该质点的速度v与时间t 的关系； (2)该质点的的运动学方程．
kv m dv dt
v
v0e
k m
t
dx
dt
t k dt v dv
0m
v v0
x
dx
0
t
kt
v0e m dt
0
v0 (
m) k
t kt
e m d(
0
k m t)
kt
v v0e m
x
m
v0
(1
e
k m
t)
k
机械能守恒定律
b
b
一、功 W dW F dr
a
a
dr
F
Wx Fxdx
分力的功
Wy Fydy
a
W Wi
i
二、保守力所做的功等于相应势能增量的负值
Wab Epa Epb E P
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三、动能定理
W外 W内非 (Ekb Epb) (Eka Epa)
惯性系与非惯性系
1 惯性力
f惯 maa0 是非惯性系相对惯性系的加速度
0
2 在非惯性系下使用的牛顿定律
Fi f惯 ma
a是物体相对非惯性系的加速度
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动量守恒定律
一、冲量与动量
t2
1.冲量 指力作用物体的时间积累量 I Fdt
a 6t
v
3t
2
W
Fdx
3
12t
3t
2dt
729J
x t 3
0
也可以用动能 定理来做！
W
Ek
1 2
m(v22
v12 )
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12.质量为m=0.5kg的质点,在xoy平面内运动,其运动 方程为x=5t，y=0.5t2(SI),求从t=2s到t=4s这段时间内, 合力对质点所作的功为多少？
(2)在物体从A滑到B的过程中,物体对槽所做的功为多少？
mv MV
mgR
1 2
mv2
1 2
MV
2
W 1 MV 2 2
A m
M
B
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1F1.质 1量2ti为 m(F=以2kNg的为质单点位从,t 静以止s为出单发位沿),直求线在运前动3s,内受力 该力作多少功？