2.1-2.2随机变量

P{ X 2} C 0.9 0.1 6 0.92 0.12 0.0486.
2 4 2 4 2
什么是二项分布?
在n 重伯努利试验中
每次试验的结果只有两 : A 发生与A 发生 个
X 的 所 有 可 且 P ( A) p 用 变 量 X 表 示 n 次试 验 能取值为 在每次试验 中事 件A 发 生的次 数 0, 1, 2, , n . 中 保 持 不 变 事件A 恰好发生k 次的概率为
X 的分布列为 :
X P 0 1
这样的分布称为
0.95
0.05
两点分布（（0－1）分布）
定 义 若 随 机 变 量 的 取 值 为 1两 个 X 0, 值, 分 布 列 为 P{ X 1} p, P{ X 0} 1 p
或分布列用表格表示为 0 1 X ( 0 < p <1 ) p P 1 p
例 抛掷一枚匀均的骰子,用随机变量 X 表示 “出现的点数”, X 所有可能取的值为 1, 2, 3, 4, 5, 6 (共 6 个), 这样的变量 X 就是离散型随 机变量 . 例 在单位时间内, 网站收到的点击次数为 变 量 X , 由于 X 可能取值为 0, 1, 2, … (可列个), 所以 X 是离散型随机变量 . 例 两人相约8点到9点见面， 到达时间X 不是离散型随机变量.
P{ X 3} P{ X 5} 0.2 0.3 0.5
二、常见的离散型随机变量的概率分布
举例 100件产品中, 有 95 件正品, 5 件次品,现从中
任取 1 件,考察取出的产品是正品还是次品, 试用随
机变量叙述该试验的结果, 并写出其概率分布.
试验的结果只有两种可能
A
则称随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布 (又称( 0 －1) 分布 ). 记为X ~ B(1, p)
服从两点分布的随机变量描述的是随机试 验的结果只有两种可能的情况：A发生与A不 发生。如上面产品的“合格 ”与“不合格 ”, 射击试验中的“命中”与“未命中”. 常见的还有投篮时的“投中”与“投不中”, 摸奖时的“中奖”与“不中奖”, 种子的“发 芽”与“不发芽”, 新生儿的性别登记“男” 与“女”等.
有了这样的规定, 变量 X 就能表示 掷一枚质地均匀的硬币的试验结果.
“ X = 1” 表示出现正面, 且 P{X = 1} = 0.5 ;
“ X = 0” 表示出现反面, 且 P{X = 0} = 0.5.同样也具有上述两种特性: X (1) 取值具有随机性, (2) 取每一个值的概率是确定的. 把具有这两种特性的变量 X , 称为随机变量 .
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量
什么是随机变量
有些随机试验, 其结果直接表现为数量. 例 掷一颗质地均匀的骰子, 若用变 量 X 表示出现的点数, 则 X 所有可 能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6 . 在这个试验中, 变量 X 具有如下两种特性： 1. 取值的随机性 2. 概率的确定性
投掷之前不能确定它究竟 取哪个值.
取每个值的概率是 1 P{ X i } ( i 1,2,3,4,5,6) 6
也有些随机试验, 其结果并不直接表现为数量. 例 掷一枚质地均匀的硬币, 观察 正、反面出现的情况, 其结果为出 现正面或反面, 并不是数量. 但是, 若我们规定, “ X = 1” 表示出现正面, 其 概率为 0.5, 即可记作 P{X = 1}= 0.5 ; 规定, “ X = 0” 表示出现反面, 其概率也为 0.5, 即可记作 P{X = 0}= 0.5.
由概率的古典定义公式得,
C C P{ X 0} 2 C10
0 3
2 7
7 15
7 C C P{ X 0} 2 15 C10 1 1 7 C 3C7 P{ X 1} 2 15 C10 2 0 1 C3 C7 P{ X 2} 2 15 C10
0 3
2 7
离散型随机变量的分布律
定义 设 X 是一个离散型随机变量 ,
其所有可能取值为 x1 , x2 , , xn ,
且其相应地概率分别为 p1 , p2 , , pn , 可 记作
P{ X xk } pk
k 1, 2, , n
称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或 分布律, 简称分布.
(1) (2)
X P
1 0.1
3 0.2 1 0.4
5 0.5 2 0.35
7 0.2
可以 不可以, 不满足性质2
0 X P 0.15
方法 : 应根据分布律的两个性 质来判断.
求离散型随机变量 X 的分布列 例 在 10 件同类型产品中, 有 3 件次品. 现任 取 2 件, 用变量 X 表示 “这 2 件中的次品 数 ”, 写出变量 X 的分布律. 方法: 要求 X 的分布律, 只须把 X 可能取到的 每一个值及取每一个值的概率求出来并写成 表格的形式即可. 解: 变量 X 所有可能取的值为 0, 1, 2.
解 : P{ X 3} 0.1 0.3 0.4
X 0 1 P 0.1 0.3 (3) P{ X 3}
3 0.2
5 0.3
7 0.1
P{ X 3} P{ X 5} P{ X 7}
0.2 0.3 0.1 0.6 (4) P{3 X 7}
● 随机变量的定义
一个变量, 若满足 (1) 取值的随机性, 即它所取的不同数值要由 随机试验的结果而定; (2) 概率的确定性, 即它取某一个值或在某 个区间内取值的概率是确定的.
以后会说明
称这样的变量为随机变量. 随机变量常用大写 字母 X , Y , Z ,(或希腊字母 , , ,)表示.
引入随机变量后,可以将随机事件数量化, 不必再用文字表示. 如 掷一颗质地均匀的骰子, 若用变量 X 表示出现的点数, 则 事件 A =｛至少出现 4 点｝, 可用 A =﹛ X ≥ 4 ﹜ 表示;
事件 B =｛出现的点数不小于2, 又不超过4｝, 可用 B = ﹛ 2≤ X ≤ 4 ﹜表示.
如 在10 件同类型产品中, 有 3 件 次品. 现从中任取 2 件. 若用变 量 X 表示任取 2 件产品中所含次 品的件数, X 可能取值为 0, 1, 2 .
p 0.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
X
0
1 0.3
3 0.2
5 0.3
7 0.1
P 0.1
( 2) P{ X 3}
方法 : 离散型随机变量 X 在某一范围内取值的 概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
在 X 3 范 围 内 X 可 能 取 的 值是 和 1 . , 0 所 以 P{ X 3} P{ X 0} P{ X 1} .
事件｛至少取到 1 件次品｝, 可用 ﹛ X ≥ 1 ﹜ 表示; 事件｛至多取到 2 件次品｝, 可用 ﹛ X ≤ 2 ﹜表示.
随机变量的分类
随机变量按其取值情况分为两大类: 离散型随机变量
它可能取到的值是有 限个或可列个
非离散型随机变量 连续型随机变量
它可能取到的值不能一 一列举出来, 只能取某一 个或若干个有限或无限 区间上所有的值
② 求出 X 取每一个值的概率;
③ 写出表格式的分布律.
P26：例3，例4
练习 设盒中 5 个球, 其中 2 个白球, 3 个黑球, 从中任取 3 个, 求“取到白球数”的分布律.
方法: 设随机变量 X 为取到的“白球数”. 并按所说的三个步骤求解.
解：设随机变量 X 为任取 3 个球中取到的 “白球数”, X 的所有可能取值 0, 1, 2 为P{ X 0} . P{ X 1} P{ X 2}
性质1
性 质2
0 pk 1 , k 1, 2, , n ;
p
k 1
n
k
1.
如下面这个分布律 X P
0
7 15
1
7 15
2
1 15
X 取值的概率都满足 7 7 1 0 , , 1 15 15 15
7 7 1 1 15 15 15
练习：下列各表是否可作为某个随机变量的 分布律 ? 为什么 ?
例 在 10 件同类型产品中, 有 3 件次品. 现任 取 2 件, 用变量 X 表示 “这 2 件中的次品 数 ”, 写出变量 X 的分布律. 解: 变量 X 所有可能取的值为 0, 1, 2. X 取每一个数值的概率分别是 用什么方法
P{ X 0} P{ X 1}
计算这三个 P{ X 2} 概率的值?
第二章 随机变量及其分布
2.2 离散型随机变量
一、离散型随机变量的分布律和性质 对于随机变量, 我们不仅关心它可能取些什么 值, 而且关心它取这些值的概率.
例如, 设 X 表示 某足 球队 场比 赛中踢 赢 “ 10 的场 数” 它可能取值分别为 0, 1, 2, …, 10 . ,
那么它取这些值的概率: P {X = 0}, P {X = 1}, P {X= 2}, …, P {X = 10} 又是多少呢? 通常把随机变量 X 取值的概率称为随机变量 的分布律（分布列）.
0 0.1 1 0.3 3 0.2 p 5 0.3 7 0.1
试求 : (1) p 的值; ( 2) P{ X 3}; ( 3) P{ X 3}; ) P{3 X 7}; (4
方法: (1) 根据分布律的性质 2 直接计算;
解 : 由 0.1 0.3 p 0.3 0.1 1, 得
P{ X xk } pk
k 1, 2, , n 公式型
称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分 布律, 简称分布. X 的分布律也可以用表格形式表示: X P 分布列 的两种 形式