二次函数图像与性质

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例3 解题示范本题满分12分 已知二次函数fx＝ax2＋bxa;b为常
数;且a≠0满足条件：f－x＋5＝fx－3; 且方程fx＝x有等根．
1求fx的解析式； 2是否存在实数m;nm＜n;使fx的 定义域和值域分别为m;n和3m;3n？如 果存在;求出m;n的值；如果不存在;说 明理由．
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t2－2t－7，t<1，
பைடு நூலகம்
从而 g(t)＝－8，1≤t≤2， t2－4t－4，t>2.
2gt的图象如图所示． gt的最小值为－8.
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规律小结 二次函数区间最值主 要有三种类型：轴定区间定;轴定区间 动和轴动区间定．
一般来说;讨论二次函数在闭区间 上的最值;主要是看区间是落在二次函 数的哪一个单调区间上;从而应用单调 性求最值．
第4课时 二次函数
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
1一般式：fx＝ ax2＋bx＋ca≠；0 2顶点式：fx＝ax－h2＋ka≠0;h;k是顶 点； 3标根式或因式分解式：fx＝ax－x1x －x2a≠0；其中x1;x2分别是fx＝0的两实 根．
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
规律方法总结
1．二次函数fx＝ax2＋bx＋ca＞0 在区间m;n上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
规律方法总结
当 m≤－2ba≤n 时，最小值为 f(－2ba)＝ 4ac4－a b2，最大值为 f(m)或 f(n)(m，n 与－2ba 较远的一个为最大)．
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考点三 二次函数的综合问题
二次函数常和二次方程、二次 不等式结合在一起．
三个“二次”以二次函数为核心; 通过二次函数的图象贯穿为一体;因 此;解题时通过画二次函数的图象来 探索解题思路是非常行之有效的方 法．
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对于通过换元可转化为二次函数 的问题;要注意中间变元的取值范围; 它是转化后二次函数的定义域．
解：1当a＝－1时; fx＝x2－2x＋2＝x－12＋1;x∈－5;5; ∵fx的对称轴为x＝1; ∴x＝1时;fx取最小值1； x＝－5时;fx取最大值37. 4分
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2fx＝x2＋2ax＋2＝x＋a2＋2－a2 的对称轴为x＝－a;
∵fx在－5;5上是单调函数; ∴－a≤－5;或－a≥5; 解得a≤－5;或a≥5. 10分
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假设存在 m，n 满足要求，则有
f(m)＝3m， －12m2－2m＝0，①
f(n)＝3n，
－12n2－2n＝0，②
10 分
由①知m＝0或m＝－4; 由②知n＝0或n＝－4.
又∵m＜n≤16，
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∴取m＝－4;n＝0. 即存在实数m＝－4;n＝0使fx的 定义域为－4;0;值域为－12;0.
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思路点拨 1待定系数法．2二次函 数的单调性．
解 1依题意;方程fx＝ax2＋bx＝x有 等根;
则有Δ＝b－12＝0;∴b＝1. 2分 又f－x＋5＝fx－3; 故fx的图象关于直线x＝1对称; ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
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(2)∵f(x)＝－21x2＋x＝－21(x－1)2＋12≤21， ∴一定有 3n≤21，即 n≤16. 6 分 而抛物线 f(x)＝－12x2＋x 的对称轴为 x＝1， ∴当 n≤16时，f(x)在[m，n]上是单调递增函 数. 8 分
A．f2＞f3 B．f3＞f2 C．f3＝f2 D．f3与f2的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间0;m上有最大值3;最小值2;则m的取
值范围是
A．1;＋∞ B．0;2
C．1;2
D．－∞;2
答案：C
三基能力强化
4．抛物线y＝8x2－m－1x＋m－7 的顶点在x轴上;则m＝_______. 答案：9或25
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例1 已知fx是二次函数;且
f0=0;fx+1=fx+x+1;求fx的解析式．
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考点二 二次函数的最值
求二次函数的最值必须认清定 义域区间与对称轴的相对位置以及 抛物线的开口方向即二次函数中二 次项系数的正负;然后借助于二次 函数的图象或性质求解．因此;定 义域、对称轴及二次项系数是求二 次函数的最值的三要素．
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互动探究
若题目变为：已知函数fx＝－x2＋ 2ax＋1－a在x∈0;1时有最大值2;求a的 值．
解：函数fx＝－x2＋2ax＋1－a ＝－x－a2＋a2－a＋1 对称轴方程为x＝a. 1当a＜0时;fxmax＝f0＝1－a; ∴1－a＝2;∴a＝－1.
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2当0≤a≤1时;fxmax＝a2－a＋1; ∴a2－a＋1＝2;∴a2－a－1＝0; ∴a＝1±2 5(舍)． 3当a＞1时;fxmax＝f1＝a; ∴a＝2. 综上可知a＝－1或a＝2.
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考点一 求二次函数的解析式
利用已知条件求二次函数解析 式;常用的方法是待定系数法;但可 根据不同的条件选用适当形式求fx 解析式．
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1．已知三个点坐标时;宜用一般 式．
2．已知抛物线的顶点坐标与对 称轴有关或与最大小值有关时;常使 用顶点式．
3．若已知抛物线与x轴有两个交 点;且横轴坐标已知时;选用两根式求 fx更方便．
12分 名师点评 解决本题的关键是确 定n的范围;从而把定义域m;n“放”在 增区间内;问题便可解决．
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高考检阅
本题满分10分已知函数fx＝x2＋ 2ax＋2;x∈－5;5．
1当a＝－1时;求函数fx的最大值 和最小值；
2求实数a的取值范围;使y＝fx在 区间－5;5上是单调函数．
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基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 思考·提示 不会为奇函 数．
三基能力强化
1．已知函数fx＝4x2－mx＋5在区
间－2;＋∞上是增函数;则f1的范围是
A．f1≥25
B．f1＝25
C．f1≤25
D．f1＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数fx＝ax2＋bx＋c满足f4 ＝f1;那么
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例2 函数fx＝x2－4x－4在闭区间t;t ＋1t∈R上的最小值记为gt．
1试写出gt的函数表达式； 2作gt的图象并写出gt的最小 值．
思路点拨 二次函数的对称轴 x＝2;分情况讨论x＝2是否在区间t;t ＋1内．
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解 1fx＝x2－4x－4 ＝x－22－8. 当t>2时;fx在t;t＋1上是增函数; ∴gt＝ft＝t2－4t－4； 当t≤2≤t＋1;即1≤t≤2时; gt＝f2＝－8； 当t＋1<2;即t<1时;fx在t;t＋1上是 减函数; ∴gt＝ft＋1＝t2－2t－7.
当－2ba＞n 时，函数在区间[m，n]上单 调递减，最小值为 f(n)，最大值为 f(m)．
规律方法总结
2．注重数形结合;密切联系图象 是研究和掌握二次函数性质的基本方 法．对于二次方程根的分布;需要结合 图象;从三个方面考虑：1判别式;2区 间端点函数值的正负;3对称轴与区间 端点的位置关系．二次函数、一元二 次方程与一元二次不等式是一个有机 整体;用函数思想研究方程和不等式是 高考的热点．