河北省2020届高三新时代NT抗疫爱心卷答案(Ⅲ)数学试题(pdf版)
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小值为 1 . 3
16.26【解析】 f (x 1) f (x 1) f (x) f (x 2)
f (x 4) f (x 2) f (x) ，故 f (x) 是以 4 为周期的函数.
f
(x)
9x
3
(x (0,1]) ，
f
(1)
1
92
3
0.
2
由周期性和对称性可知， x 6, 13 时， f (x) 0 . 2
4 2 2 3 4 48
P(X＝55)＝
C21
111111211113 ××××＋×××＋×××
223422342234
＝
7 ；
48
2
1111 1 P(X＝60)＝ × × × ＝ .
2 2 3 4 48
X 的分布列为
X
40
45
50
55
60
1
17
17
7
1
P(X)
8
48
48
48
48
1
17
17
7
1 575
11231 P(X＝40)＝ × × × ＝ ；
22348
P(X＝45)＝
C21
112311131121 ××××＋×××＋×××
223422342234
＝
17 ；
48
1 P(X＝50)＝
2
123 ×××＋
234
C21
1113 ××××＋
2234
C21
112 ×××
223
1 1 1 1 1 17 ×＋××× ＝ ；
2b 2c 0
c 1
cos m.n m n 1 mn 3
平面 SAD 与平面 SBC 所成的二面角的余弦值 1 . 3
20. 解：（1）由 2a 4 2, c 2 a 2 2, c 2 a2
b2 a2 c2 4
x2 y2 1 84
（2） A 2 2,0 B 2 2,0 ,设 P 的坐标 P(x0, y0 ) 则有
x 13 , 15 时， f (x) 0 . f (13) f (15) 0 .
2 2
2
2
又 6 log2 (64 n) log2 114 log2 128 7
而
6
log 2
(64
n)
13 2
log 2
64
2 64 64 n 64
2
64 2 90.496 ，所以 n 26 时， an 0 .
8 m2
由
84
2
8 m2
kON
kOM
1 2
得
2 m2
1 m 2 . 2
所以 SOMN
1 22 2
22
2.
理科数学答案
②当直线 l 的斜率不存在时，设 l : y kx n M (x1, y1) N (x2 , y2 )
联立方程
y x2
8
kx n
y2
,
1
4
(2k
2
1) x 2
4knx
x0 2 8
y02 4
1
x0 2
2 y02
8
k AP
x0
y0 2
2
k BP
x0
y0 2
2
k AP
kBP
x0
y0 2
y0 2 x0 2
y02 1 2
kOM
1 2
①当直线 l 的斜率存在时，设 l : x m
当 x m 时，代入 x2 y2 1 解得 y
2n2
8
0
x1
x2
4kn 2k 2 1
x1
x2
2n2 2k 2
8 1
0
y1 y2 k 2 x1x2 kn(x1 x2 ) n2
kON
kOM
y1 y2 x1x2
1 2
n2
4k 2 2
MN
1 k2
x1 x2
1 k2 2k 2 1
64k 2 8n2 32
点 (0,0) 到直线 l 的距离 d n k2 1
E(X)＝40× ＋45× ＋50× ＋55× ＋60× ＝ .
8
48
48
48
48 12
19. 解：(1)连接 AC, BD 交于点 O ,连接 SO .
S ABCD 为正四棱锥， SO 平面ABCD ，设球的半径
为
r,则
S ABCD
1 2
2r
2r
2r 2
VS ABCD
1 r 2r2 3
1
14.-1080【解析】2 3x5 的展开式中 x2 的系数即为 (2 3x)5 中
x
的展开式中 x3 的系数，故 C53 22 (3x)3 1080x3 .
15. 1【解析】 不等式 x 3 y 2 1 3
表示的区域如图，z y y 0 可以理 x x0
解为 (x, y) 与 (0,0) 的斜率， z y 的最 x
设平面
SAD
的法向量
m
(
x,
y,
z)
则有
AD
m
0
AS m 0
2x 2x
x 1
2y 2z
0 0
令
x
1
y 1 z 1
所以
m
(1,1,1)
理科数学答案
设平面
SBC
的法向量
n
(a,
b,
c)
则有
BSBC
n n
0 0
2a
a 1
2b 0 令 a
1
b
1
所以 n
(1,1,1)
.
18.（1）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为
事件 A，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件
B，“有一道题不理解题意”选对为事件 C，
1
1
1
∴P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(C)＝ ，
2
3
4
1111 1 ∴得 60 分的概率为 P＝ × × × ＝ .
2 2 3 4 48
(2)X 可能的取值为 40，45，50，55，60.
当
27
n
50
时，
13 2
log 2
(64
n)
log
2
114
7
，
an 0 .
n 26
17. (1)解： BD sin B CD sin C BD sin C CD sin B
sin C 由正弦定理可知， sin B
AB AC
, DC
2BD
2
2,
理科数学答案
AB BD 1 . AC CD 2
2 3
r3
42 3
r
2
故半球的半径为 2
（2）由（1）可知，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OS
为 z 轴，建立空间直角坐标系.
A 2,0,0 B 0, 2,0 C 2,0,0 D 0, 2,0 S 0,0. 2
则有
AD 2, 2,0 AS 2,0, 2 BC 2, 2,0 SB 0, 2, 2
S OMN
1 d MN 2
2
2.
OMN 的面积为定值，定值为 2 2 .
解：（1）
f
(0)
0，
f
( x)
a 1 x
f
(0)
a
切线方程： y 0 a(x 0) 即 y ax .
(2)cos ADB cos ADC
cos ADB 22
2
2
AB 2
22 2
cos ADC 22 (2 2)2 AC 2 222 2
解得 AB 2 , cos BAC 42 22 (3 2)2 1
224
8
sin BAC
37 8
， SABC
1 2
AB
AC sin BAC
37 2
16.26【解析】 f (x 1) f (x 1) f (x) f (x 2)
f (x 4) f (x 2) f (x) ，故 f (x) 是以 4 为周期的函数.
f
(x)
9x
3
(x (0,1]) ，
f
(1)
1
92
3
0.
2
由周期性和对称性可知， x 6, 13 时， f (x) 0 . 2
4 2 2 3 4 48
P(X＝55)＝
C21
111111211113 ××××＋×××＋×××
223422342234
＝
7 ；
48
2
1111 1 P(X＝60)＝ × × × ＝ .
2 2 3 4 48
X 的分布列为
X
40
45
50
55
60
1
17
17
7
1
P(X)
8
48
48
48
48
1
17
17
7
1 575
11231 P(X＝40)＝ × × × ＝ ；
22348
P(X＝45)＝
C21
112311131121 ××××＋×××＋×××
223422342234
＝
17 ；
48
1 P(X＝50)＝
2
123 ×××＋
234
C21
1113 ××××＋
2234
C21
112 ×××
223
1 1 1 1 1 17 ×＋××× ＝ ；
2b 2c 0
c 1
cos m.n m n 1 mn 3
平面 SAD 与平面 SBC 所成的二面角的余弦值 1 . 3
20. 解：（1）由 2a 4 2, c 2 a 2 2, c 2 a2
b2 a2 c2 4
x2 y2 1 84
（2） A 2 2,0 B 2 2,0 ,设 P 的坐标 P(x0, y0 ) 则有
x 13 , 15 时， f (x) 0 . f (13) f (15) 0 .
2 2
2
2
又 6 log2 (64 n) log2 114 log2 128 7
而
6
log 2
(64
n)
13 2
log 2
64
2 64 64 n 64
2
64 2 90.496 ，所以 n 26 时， an 0 .
8 m2
由
84
2
8 m2
kON
kOM
1 2
得
2 m2
1 m 2 . 2
所以 SOMN
1 22 2
22
2.
理科数学答案
②当直线 l 的斜率不存在时，设 l : y kx n M (x1, y1) N (x2 , y2 )
联立方程
y x2
8
kx n
y2
,
1
4
(2k
2
1) x 2
4knx
x0 2 8
y02 4
1
x0 2
2 y02
8
k AP
x0
y0 2
2
k BP
x0
y0 2
2
k AP
kBP
x0
y0 2
y0 2 x0 2
y02 1 2
kOM
1 2
①当直线 l 的斜率存在时，设 l : x m
当 x m 时，代入 x2 y2 1 解得 y
2n2
8
0
x1
x2
4kn 2k 2 1
x1
x2
2n2 2k 2
8 1
0
y1 y2 k 2 x1x2 kn(x1 x2 ) n2
kON
kOM
y1 y2 x1x2
1 2
n2
4k 2 2
MN
1 k2
x1 x2
1 k2 2k 2 1
64k 2 8n2 32
点 (0,0) 到直线 l 的距离 d n k2 1
E(X)＝40× ＋45× ＋50× ＋55× ＋60× ＝ .
8
48
48
48
48 12
19. 解：(1)连接 AC, BD 交于点 O ,连接 SO .
S ABCD 为正四棱锥， SO 平面ABCD ，设球的半径
为
r,则
S ABCD
1 2
2r
2r
2r 2
VS ABCD
1 r 2r2 3
1
14.-1080【解析】2 3x5 的展开式中 x2 的系数即为 (2 3x)5 中
x
的展开式中 x3 的系数，故 C53 22 (3x)3 1080x3 .
15. 1【解析】 不等式 x 3 y 2 1 3
表示的区域如图，z y y 0 可以理 x x0
解为 (x, y) 与 (0,0) 的斜率， z y 的最 x
设平面
SAD
的法向量
m
(
x,
y,
z)
则有
AD
m
0
AS m 0
2x 2x
x 1
2y 2z
0 0
令
x
1
y 1 z 1
所以
m
(1,1,1)
理科数学答案
设平面
SBC
的法向量
n
(a,
b,
c)
则有
BSBC
n n
0 0
2a
a 1
2b 0 令 a
1
b
1
所以 n
(1,1,1)
.
18.（1）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为
事件 A，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件
B，“有一道题不理解题意”选对为事件 C，
1
1
1
∴P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(C)＝ ，
2
3
4
1111 1 ∴得 60 分的概率为 P＝ × × × ＝ .
2 2 3 4 48
(2)X 可能的取值为 40，45，50，55，60.
当
27
n
50
时，
13 2
log 2
(64
n)
log
2
114
7
，
an 0 .
n 26
17. (1)解： BD sin B CD sin C BD sin C CD sin B
sin C 由正弦定理可知， sin B
AB AC
, DC
2BD
2
2,
理科数学答案
AB BD 1 . AC CD 2
2 3
r3
42 3
r
2
故半球的半径为 2
（2）由（1）可知，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OS
为 z 轴，建立空间直角坐标系.
A 2,0,0 B 0, 2,0 C 2,0,0 D 0, 2,0 S 0,0. 2
则有
AD 2, 2,0 AS 2,0, 2 BC 2, 2,0 SB 0, 2, 2
S OMN
1 d MN 2
2
2.
OMN 的面积为定值，定值为 2 2 .
解：（1）
f
(0)
0，
f
( x)
a 1 x
f
(0)
a
切线方程： y 0 a(x 0) 即 y ax .
(2)cos ADB cos ADC
cos ADB 22
2
2
AB 2
22 2
cos ADC 22 (2 2)2 AC 2 222 2
解得 AB 2 , cos BAC 42 22 (3 2)2 1
224
8
sin BAC
37 8
， SABC
1 2
AB
AC sin BAC
37 2