学案5:2.2.2 双曲线的简单几何性质

2.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标：
1．掌握直线与双曲线的位置关系．
2．掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．
学习重点：直线与双曲线的位置关系．
学习难点：直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．
课内探究案
新课导学：
探究点一直线与双曲线的位置关系
研究直线与双曲线的位置关系,一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组
{y=kx+m,①
x2
a2
-y2
b2
=1②
的解的个数进行判断.
①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
当b2-a2k2=0,即k=±b
a
,直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线交于一点.
当b2-a2k2≠0,即k≠±b
a
时,
Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交;
Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切;
Δ<0⇔直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.
注意:直线与双曲线相切时,它们只有一个公共点,但当直线与双曲线只有一个公共点时,它们不一定相切,这时它们还可以相交.
例1 若直线y=2x+m与双曲线x2-y2=4相切,则实数m的值为.
探究点二根据双曲线标准方程研究几何性质
由双曲线的方程,求双曲线的相关性质的步骤为:先将双曲线方程化为标准形式x 2
a2−y2
b2
=1(或
y2 a2-x2
b2
=1),再根据它确定a,b的值(注意分母分别为a2,b2,而不是a,b),进而求出c;再对照双曲
线的几何性质得到相应的答案.画近似图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两条邻边的矩形的对角线所在直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的近似图形.
例2 求双曲线144x2-25y2=-3 600的实轴长和虚轴长,焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线方程.
探究点三根据双曲线的几何性质求标准方程
1.根据双曲线几何性质求标准方程时,常用方法是先定型(焦点在哪个轴上),再定量(确定a2,b2的值).要特别注意a2+b2=c2的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆.
2.如果已知双曲线的方程为标准形式,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n.
3.与双曲线x2
a2−y2
b2
=1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为x2
a2
−y2
b2
=λ(λ≠0),然后再结合
其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程.
例3 根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)与双曲线x2-2y2=2有共同渐近线,且过点M(2,-2);
(2)过点P(3,-√2),离心率为√5
2
.
当堂检测
1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．42
2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )
A.x 24－y 24＝1
B.y 24－x 24＝1
C.y 24－x 28＝1
D.x 28－y 24＝1
3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( ) A.314
14 B.324 C.32 D.4
3
4．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 2
2＝1有相同的焦点，则a 的值是________．
四、课后反思
课后训练案
1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为14
5，双曲线的方程应是(
)
A.x 212－y 24＝1
B.x 24－y 2
12＝1
C ．－x 212＋y 24＝1
D ．－x 24＋y 2
12＝1
2．焦点为(0，±6)且与双曲线x 2
2－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.x 212－y 2
24＝1 B.y 212－x 2
24＝1
C.y 224－x 2
12＝1 D.x
224－y 2
12＝1
3．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2
b 2＝1有( )
A ．相同的实轴
B ．相同的虚轴
C ．相同的焦点
D ．相同的渐近线
4．中心在坐标原点，离心率为5
3的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )
A ．y ＝±5
4x B ．y ＝±4
5x
C ．y ＝±4
3x D ．y ＝±3
4x
5．双曲线x 24＋y 2b
＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． 6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.
7．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．
8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点A (14，5)，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43
.求此双曲线方程．
答 案
新课导学
探究点一 直线与双曲线的位置关系
例1 【解析】联立方程组{y =2x +m ,x 2-y 2=4,
则3x 2+4mx+m 2+4=0,
由题意知Δ=(4m )2-12(m 2+4)=0,
解得m=±2√3.
【答案】±2√3
探究点二 根据双曲线标准方程研究几何性质
例2 【答案】 解:把双曲线方程化成标准方程为
y 2144−x 225=1,
则a 2=144,b 2=25,∴c 2=a 2+b 2=169. ∴a=12,b=5,c=13.
由此可知,该双曲线的实轴长2a=24,虚轴长2b=10,焦点坐标为(0,-13),(0,13),顶点坐标为(0,-12),(0,12),离心率e=1312,渐近线方程为y=±125x.
探究点三 根据双曲线的几何性质求标准方程
例3 【答案】 解:(1)设与双曲线x 22-y 2=1有公共渐近线的双曲线方程为x 22-y 2=k (k ≠0), 将点(2,-2)代入,得k=222-(-2)2=-2,
故双曲线的标准方程为y 22−
x 24=1.
当堂检测
1．【解析】双曲线方程可变形为x 24－y 28
＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.故选C. 【答案】C
2．【解析】2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝2，b ＝2.
【答案】B
3．【解析】根据离心率的定义求解．
由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，
∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32
. 【答案】C
4．【解析】∵a >0，∴焦点在x 轴上，∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1.
【答案】1
课后训练案
1．【答案】 C
【解析】 ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45
， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105
＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212
＝1. 2．【答案】 B
【解析】 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22
－y 2＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上，
∴方程可写为y 2－λ－x 2
－2λ
＝1. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，
∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.
∴双曲线方程为y 212－x 224
＝1. 3．【答案】 C
【解析】 ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.
∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.
4．【答案】 D
【解析】 ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169
， ∴b a ＝43，∴a b ＝34
. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b
x ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34
x . 5．【答案】 －12<b <0
【解析】 ∵b <0，∴离心率e ＝
4－b 2
∈(1,2)， ∴－12<b <0.
6．【答案】 62 【解析】 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62
. 7．【答案】解：设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ， 则|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1，
∴|MC 1|－|MC 2|＝r ＋3－r ＋1＝4<|C 1C 2|＝6，
由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且2a ＝4，a ＝2，
双曲线的方程为：x 24－y 2
5
＝1(x ≥2)． 8．【答案】解：双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为
d 1＝|14b ＋5a |a 2＋b 2，d 2＝|14b －5a |a 2＋b 2
已知d 1d 2＝43，故|14b 2－5a 2|a 2＋b 2
＝43(ⅰ) 又A 在双曲线上，则
14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)
(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)
联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4.
故所求双曲线方程为x 24－y 2
2
＝1.。