黑龙江省大庆2023-2024学年高二下学期开学考试 数学含答案

大庆2022级高（二）下学期开学考试
数学试题（答案在最后）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设不同的直线12:210,:210
l x my l x y --=-+=，若1l 2
l ，则m 的值为（
）
A.4
- B.1
- C.1
D.4
2.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）
A.28
B.30
C.32
D.36
3.已知()e ln x
f x x =，则()f x '＝（
）
A.
e x x
B.1e x
x
+
C.
()
e ln 1x x x x
+ D.
1
ln x x
+4.设{}n a 是公差不为0的等差数列，2410,,a a a 成等比数列，则11
5
a a =（）
A.3
B.
52
C.
115
D.2
5.一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中三个红色，两个绿色，一个黄色．若从中任取两个小球，则下列说法错误．．的是（）
A.恰有一个红球的概率为
3
5
B.两个球都是红球的概率为
15
C.“至少一个黄球”和“两个都是红球”为互斥事件
D.“至少一个绿球”和“至多一个绿球”为对立事件6.已知函数()3
116ln 3
x x ax f x =+-在区间[]1,3上单调递减，则a 的取值范围是（）
A.()
17,+∞ B.
43,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C.
[)
17,+∞ D.43
,3∞⎡⎫
+⎪
⎢⎣⎭
7.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:2l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和2l 距离之和的最小值是（
）
A.
15
+ B.2 C.
165
D.3
8.“a b ”表示实数a 整除实数b ，例如：2,4a b ==，已知数列{}n a 满足：121,2a a ==，若()12n n a a +⋅，则213n n n a a a ++=-，否则21n n n a a a ++=-，那么下列说法正确的有（）
A.429
a = B.1
n n a a +<C.对任意*n ∈N ，都有()
31313n n a a -++ D.存在*
,0
n n a ∈=N 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（
）
A.直方图中x 的值为0.030
B.估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分
C.估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为90分
D.估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分
10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠.若8n S S ≤，则（）
A.10a <
B.0d <
C.80
a = D.170
S ≤11.若函数()()ln 0c
f x ax b x a x
=+-≠在x c =处取得极值，则（）
A.240b ac ->
B.ac b +为定值
C.当0<a 时，()f x 有且仅有一个极大值
D.若()f x 有两个极值点，则1
x a
=
是()f x 的极小值点12.已知双曲线22:1C x y -=的左焦点为F ，直线l 经过左焦点F 与双曲线的左支分别交于两点,A B ，点P 是右支上一点，则下列说法正确的是（
）
A.当直线l 存在斜率k 时，则(,1][1)k ∈-∞-+∞
B.线段||AB 的最小值为2
C.PAB 的面积1,)
PAB S ∈++∞△D.当点P 的纵坐标为1时，PAB 的垂心(,)H m n 一定满足221
n m =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若圆22:410+++-=C x y mx y 关于直线31y x =+对称，则m =______．
14.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为
17和p .若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为13
56
，则p =_______.15.谢尔宾斯基三角形由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的一种分形，它是按照如下规则得到的：在等边三角形ABC 中，连接三边的中点，得到四个小三角形，然后去掉中间的那个小三角形，最后对余下的三个小三角形重复上述操作，便可获得谢尔宾斯基三角形.记操作n 次后，该三角中白色三角形的个数为
n a ，则4a =_______，若黑色三角形个数为n b ，则n b =_______.
16.已知对任意实数x 都有()()2e x
f x f x ='+，且()00f =，若不等式()()1f x a x <-（其中1a <）
的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设数列{}n a 满足(
)2
2n S n n n *
=+∈N
，等比数列{}n
b 满足1
2b =，6
64b
=.
（1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .18.
已知函数()2e x
f x x -=（0x >）．
（1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间和极值．
19.某学校为举办庆祝建党100周年演讲比赛活动，需要2名同学担任主持人．经过初选有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进入了最后的主持人选拔．
（1）若这5名同学通过选拔的可能性相同，求甲和乙都通过选拔的概率；
（2）已知甲、乙、丙是男生，丁、戊是女生，要求主持人为一男一女，男生和女生分成两组分别选拔．若每个男生通过选拔的可能性相同，每个女生通过选拔的可能性也相同，求男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率．
20.已知数列n {}a 的前n 项和为n S ，11a =，给出以下三个命题：①22n n a a +-=；②n {}a 是等差数列；③2122n n n S S a n ++=-++（1）从三个命题中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并进行证明；（2）利用（1）中的条件，证明数列21n n a a +⎧
⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和3
4n
T <.21.已知函数2
1()(1)ln 1()2
f x x a x a x a =
-+++∈R .（1）若a<0，且1y =与函数()y f x =的图象相切，求a 的值；（2）若()1f x ≥对(0,)∀∈+∞x 成立，求实数a 的取值范围.
22.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>经过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率12e =
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于,,,A B C D 四个点，若该两条直线的斜率分别为12,k k ，
且123 4
k k⋅=-，求AOC
的面积；
（3）如图，在（2）的条件下，椭圆上一点P，位于,A C之间，求四边形PAOC面积的最大值.
大庆2022级高（二）下学期开学考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设不同的直线12:210,:210
l x my l x y --=-+=，若1l 2
l ，则m 的值为（
）
A.4-
B.1
- C.1
D.4
【答案】D 【解析】
【分析】由直线平行的性质列方程求解即可.
【详解】由题意()()2210m ⨯---⨯=，解得4m =，经检验，符合题意.故选：D.
2.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）
A.28
B.30
C.32
D.36
【答案】A 【解析】
【分析】根据抽样比即可求解.
【详解】由题意可知抽取到的男性职工人数为100
32064500
⨯
=，女性职工人数为1006436-=，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多643628-=．故选：A
3.已知()e ln x
f x x =，则()f x '＝（
）
A.
e x x
B.1e x
x
+
C.
()
e ln 1x x x x
+ D.
1
ln x x
+【答案】C 【解析】
【分析】由导数的运算法则验算即可.
【详解】由题意()e ln 1
e ln e ·
x x
x x x f x x x x
='+=+.故选：C.
4.设{}n a 是公差不为0的等差数列，2410,,a a a 成等比数列，则11
5
a a =（）
A.3
B.
52
C.
115
D.2
【答案】B 【解析】
【分析】根据题意可得2
4210a a a =⋅，运算可得10a =，再根据等差数列通项可求得115,a a 得解.
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，由题意可得2
4210a a a =⋅，
即()()()2
11139a d a d a d +=++，解得10a d =，又0d ≠，
10a ∴=，则1111010a a d d =+=，54a d =，
11510542
a d a d ∴
==.故选：B.
5.一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中三个红色，两个绿色，一个黄色．若从中任取两个小球，则下列说法错误．．的是（）
A.恰有一个红球的概率为
3
5
B.两个球都是红球的概率为
15
C.“至少一个黄球”和“两个都是红球”为互斥事件
D.“至少一个绿球”和“至多一个绿球”为对立事件【答案】D 【解析】
【分析】根据古典概型，分别计算样本空间和事件空间，再根据相关定义逐项分析.【详解】从6个球中任取2个球共有6530⨯=种取法，
设三个红球记为1，2，3，两个绿球记为a ，b ，一个黄球记为h ，
记事件A 为恰有一个红球，{(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(3,),(3,),(3,),
A a b h a b h a b h =
(,1),(,1),(,1),(,2),(,2),(,2),(,3),(,3),(,3)}a b h a b h a b h ，即33333
()655
P A ⨯+⨯=
=⨯，A 正确；
记事件B 为两个球都是红球，{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}B =，321
()655P B ⨯=
=⨯，B 正确；记事件C 为至少一个是黄球，表示2个球中有1个是黄球，另一个是红球或绿球，2个球都是红球，则不可能包含黄球，即C 和B 不可能同时发生，是互斥事件，C 正确；
记事件D 为至少一个绿球，则D 包含恰有1个绿球，记事件E 为至多一个绿球，则E 也包含恰有1个绿球，
所以D E ⋂≠∅，所以“至少一个绿球”和“至多一个绿球”不是对立事件，D 错误；故选：D ．6.已知函数()3
116ln 3
x x ax f x =+-在区间[]1,3上单调递减，则a 的取值范围是（）
A.()17,+∞
B.
43,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C.
[)
17,+∞ D.43
,3∞⎡⎫
+⎪
⎢⎣⎭
【答案】C 【解析】
【分析】利用函数导数与函数单调性的关系将问题转化为2
16
a x x
≥+
恒成立问题，构造函数()216
g x x x
=+
，利用导数求得()g x 的最大值，从而得解.【详解】因为()3
116ln 3x x ax f x =
+-，则()216f x x a x
=+-'，由题意知()0f x '≤在区间[]1,3上恒成立，即2
16
a x x
≥+
在区间[]1,3上恒成立.令()2
16g x x x =+，[]1,3x ∈，所以()()()232222216216224x x x g x x x x x x
-'+==+--=，因为()2
2241330x x x ++=++≥>，所以当12x <<时，()0g x '
<，当23x <<时，()0g x '>，
所以()g x 在()1,2上单调递减，在()2,3上单调递增，又()2
1611711g +
==，()21634
317333
g +==<，所以()()max 117g x g ==，则17a ≥，即a 的取值范围是[)17,+∞.
故选：C.
7.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:2l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和2l 距离之和的最小
值是（）
A.
15
+ B.2
C.
165
D.3
【答案】D 【解析】
【分析】根据抛物线的定义可得动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为焦点F 到直线
1:4360l x y -+=的距离加1，由点到直线的距离公式计算可得选项.
【详解】由题可知1x =-是抛物线24y x =的准线，设抛物线的焦点为F ，则()1,0F ，所以动点P 到2l 的距离等于P 到1x =-的距离加1，即动点P 到2l 的距离等于1PF +.
所以动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为焦点F 到直线1:4360l x y -+=的距离加1，即其最小值是
406135
-++=.
故选：D
8.“a b ”表示实数a 整除实数b ，例如：2,4a b ==，已知数列{}n a 满足：121,2a a ==，若()12n n a a +⋅，则213n n n a a a ++=-，否则21n n n a a a ++=-，那么下列说法正确的有（）
A.429
a = B.1
n n a a +<C.对任意*n ∈N ，都有()31313n n a a -++ D.存在*
,0
n n a ∈=N 【答案】C 【解析】
【分析】根据递推关系可计算413a =，58a =，故可判断AB 的正误，利用数学归纳法可证：32-n a 除3余1，331,n n a a -除3余2，且32-n a ，3n a 为奇数，31-n a 为偶数，故可判断CD 的正误.
【详解】因为121,2a a ==，故()122|a a ，故32153a ⨯=-=，而()232|a a ，故435213a ⨯-==，故A 错误.
但2|()34a a ，故51358a -==，此时45a a >，故B 错误.
下面用数学归纳法证明：32-n a 除3余1，331,n n a a -除3余2，且32-n a ，3n a 为奇数，31-n a 为偶数.当1n =时，1231,2,5a a a ===，此时1a 除3余1，23,a a 除3余2，且1a ，3a 为奇数，2a 为偶数.
设当n k =时，32k a -除3余1，331,k k a a -除3余2，且32k a -，3k a 为奇数，31k a -为偶数.则当1n k =+时，313313k k k a a a +-=-为奇数，32313k k k a a a ++=-为偶数，
3332313k k k a a a +++=-为奇数，
又31k a +与31k a --除3余数相同，故31k a +除3余1，故32k a +除3余2，故33k a +除3余2，
由数学归纳法可得32-n a 除3余1，331,n n a a -除3余2，且32-n a ，3n a 为奇数，31-n a 为偶数.故31n a +除3余1，31-n a 除3余2，故3131n n a a +-+除3余0，即()31313|n n a a +-+，故C 正确.
由C 的分析可得{}n a 没有项使得0n a =，否则n a 除以3的余数为0，故D 错误.故选：C.
【点睛】方法点睛：对于给定的数列的递推关系，要研究数列的若干性质，注意从而特殊情况总结出一般规律，再利用数学归纳法证明即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（
）
A.直方图中x 的值为0.030
B.估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分
C.估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为90分
D.估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分【答案】AD 【解析】
【分析】根据直方图面积为1可判断A ，再根据直方图中平均数、中位数与众数的求法判断BCD .【详解】对A ，()0.0050.0100.0150.04101x ++++⨯=，故()0.07101x +⨯=，解得0.03x =，故A 正确；
对B ，该市普法知识竞赛成绩的平均数为
()0.005550.010650.015750.03850.04951084⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故B 错误；
对C ，由表可得小于90分的人数频率()0.0050.0100.0150.030100.60.5+++⨯=≠，故竞赛成绩中位数不为90，故C 错误；
对D ，由表可得估计该市普法知识竞赛成绩的众数为90100
952
+=分，故D 正确；故选：AD
10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠.若8n S S ≤，则（）
A.10a <
B.0d <
C.80a =
D.170
S ≤【答案】BD 【解析】
【分析】由已知得到等差数列{}n a 的首项一定为正数，且公差小于零，然后利用条件逐一判断即可.【详解】若8n S S ≤，即等差数列前8项和达到最大，
则等差数列{}n a 的首项一定为正数，且公差小于零，故A 错误，B 正确；又8870a S S =-≥，故C 错误，
9980a S S =-≤ ，
()
1917172
01717a a S a +=
=∴≤，D 正确；
故选：BD.
11.若函数()()ln 0c
f x ax b x a x
=+-≠在x c =处取得极值，则（）
A.240b ac ->
B.ac b +为定值
C.当0<a 时，()f x 有且仅有一个极大值
D.若()f x 有两个极值点，则1
x a
=是()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】
【分析】求导()22
ax bx c
f x x
++='，由题意可知，x c =是方程20ax bx c ++=的一个变号实数根，则Δ0>，即可判断A ；由20ac bc c ++=判断B ；当a<0时，可得，当()0,x c ∈时()0f x ¢>，当(),x c ∈+∞时()0f x '<，
即可判断C ；将1b ac =--代入2
0ax bx c ++=整理得()10x x c a ⎛⎫--= ⎪⎝
⎭，则方程有不相等的实数根1
a 与c ，分类讨论，结合极值点的定义可判断D.
【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，则0x c =>，
()222
b c ax bx c
f x a x x x ++=++=
'，由题意可知，x c =是方程20ax bx c ++=的一个变号实数根，则2Δ40b ac =->，故A 正确；
由20ac bc c ++=得，1ac b +=-，故B 正确；当a<0时，因为0c >，
所以函数2y ax bx c =++开口向下，且与x 轴正半轴只有一个交点，
当()0,x c ∈时，()0f x ¢>，当(),x c ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在
()0,c 上单调递增，在(),c +∞上单调递减，
则()f x 有且仅有一个极大值，故C 正确；将1b ac =--代入20ax bx c ++=整理得()10x x c a ⎛⎫
--= ⎪⎝
⎭
，则方程有不相等的实数根1
a 与c ，即1c a
≠，
当10c a <
<时，()10,,x c a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 时，()10,,f x x c a ⎛⎫
>∈ ⎪⎝⎭
'时，()0f x '<，所以()f x 在()10,,,c a ∞⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭上单调递增，在1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，则1
x a
=
是()f x 的极大值点，x c =是()f x 的极小值点，当10c a <<
时，()10,,x c a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 时，()0f x ¢>；当1,x c a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，所以()f x 在()10,,,c a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增，在1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，
则x c =是()f x 的极大值点，1
x a
=是()f x 的极小值点，故D 错误，故选：ABC.
12.已知双曲线22:1C x y -=的左焦点为F ，直线l 经过左焦点F 与双曲线的左支分别交于两点,A B ，点P 是右支上一点，则下列说法正确的是（
）
A.当直线l 存在斜率k 时，则(,1][1)k ∈-∞-+∞
B.线段||AB 的最小值为2
C.PAB 的面积1,)
PAB S ∈++∞△D.当点P 的纵坐标为1时，PAB 的垂心(,)H m n 一定满足221n m =-【答案】BCD 【解析】
【分析】取特值说明判断A ；设直线l 方程，与双曲线方程联立求出弦长及面积的最小值判断BC ；求出垂心H 的位置判断D.
【详解】双曲线22:1C x y -=
的左焦点为(F ，
对于A ，当1k =-或1k =时，直线l 与双曲线C 的渐近线y x =±之一平行，直线l 与C 只有一个交点，因此1k ≠±，A 错误；
对于B ，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l
的方程为x ty =
2
2
1
x ty x y ⎧=⎪
⎨
-=⎪⎩消去x
得：
22
(1)10t y --+=，显然2
2
10Δ440
t t ⎧-≠⎨=+>⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，
则122122110
1y y t y y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=<⎪-⎩，即21t <
，则||AB =222
2(1)42211t t t
+==-≥--，当且仅当0=t 时取等号，B 正确；对于C ，由选项B 知，222(1)||1t AB t +=-，点22
00000(,)(1,1)P x y y x x =-≥到直线l
的距离d =因此PAB
的面积022
111||(1211PAB
S AB d x t t =⋅=+≥+⋅--
1(11
2=⋅
≥+，当且仅当01,0x t ==时取等号，
（函数y =
对2[0,1)t ∈
单调递减，函数
12y =
对2[0,1)t ∈单调递增），
因此PAB
的面积1,)PAB S ∈+∞△，C 正确；
对于D ，令点(,)T x y '''是双曲线22:1C x y -=上任意一点，有()()1x y x y ''''-+=将向量(,)OT x y '''=
绕原点O 逆时针旋转
π4
得(,)OT x y =
，点(,)T x y ，
则ππi (i)(cos isin )()()i 4422x y x y x y x y ''''''+=++-++
，于是x y x y ⎧-=⎪⎨
+=''''⎪⎩，因此12xy =
，即双曲线C 绕原点O 逆时针旋转π
4
后得双曲线12xy =，
令345345111,,,,,
222M x N x Q x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
是双曲线12xy =上任意三点，()00,R t s 为MNQ △的垂心，则0
0MR QN NR QM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，而0300403411,,,22MR t x s NR t x s x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()45454545111,1,222QN x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()353511,2QM x x x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭ ，
于是0304530403541102211022t x s x x x t x s x x x ⎧⎛⎫
---=⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎨⎛⎫⎪
---= ⎪
⎪⎝⎭⎩
，解得03450345142t x x x s x x x ⎧
=-⎪⎨
⎪=-⎩，因此0012t s =，即MNQ △的垂心在双曲线1
2
xy =
上，从而双曲线C 上任意三点构造的三角形垂心仍在双曲线C 上，所以当点P 的纵坐标为1时，PAB 的垂心(,)H m n 一定满足221m n -=，即221n m =-，D 正确.故选：
BCD
【点睛】结论点睛：等轴双曲线上任意三点构造的三角形垂心仍在该双曲线上.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若圆22:410+++-=C x y mx y 关于直线31y x =+对称，则m =______．【答案】2【解析】
【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数m 的值.【详解】圆C 的圆心为,22m C ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
，由题意可知，圆心在直线31y x =+上，则3122m ⎛⎫
⨯-
+=- ⎪⎝⎭
，解得2m =，当2m =时，此时方程表示圆，满足题意.故答案为：2.
14.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，
系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为
17和p .若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为1356
，则p =_______.【答案】
1
8
【解析】
【分析】利用独立事件同时发生的概率求解.【详解】由题意得()1613
17756p p -+=，解得18
p =.故答案为：
18
15.谢尔宾斯基三角形由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的一种分形，它是按照如下规则得到的：在等边三角形ABC 中，连接三边的中点，得到四个小三角形，然后去掉中间的那个小三角形，最后对余下的三个小三角形重复上述操作，便可获得谢尔宾斯基三角形.记操作n 次后，该三角中白色三角形的个数为
n a ，则4a =_______，若黑色三角形个数为n b ，则n b =_______.
【答案】①.81
②.31
2
n -.
【解析】
【分析】根据题设条件可得两个数列的递推关系，故可求4,n a b .
【详解】由题设每次操作，前一个图形中的每一个白色三角形均可以得到下一个图形中的3个小白色三角形，故13n n a a -=，
而130a =≠，故{}n a 为等比数列，故3n
n a =，则481a =，
而每一个图形中的黑色三角形是前个图形中的黑色三角形与白色三角形截得的小黑色三角形构成，故1
1113n n n n n b b a b ----=+=+，而11b =，
故1
2
1
1331
1333
132
n n n n b ---=++++==
- ，而11b =也符合该式，故31
2
n n b -=.
故答案为：81，31
2
n -.
16.已知对任意实数x 都有()()2e x
f x f x ='+，且()00f =，若不等式()()1f x a x <-（其中1a <）
的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是_______.【答案】32
342e 3e a ≤<【解析】
【分析】由题设中导数与原函数的关系可求得()2e x
f x x =，利用导数讨论其符号后可得其图象，结合图
象可求参数的取值范围.
【详解】设()()x
f x
g x =e ，则()()()2e x f x f x g x '-'==，
故()2g x x c =+即
()2e
x
f x x c =+即()()2e x
f x x c =+，而()00f =，故0c =，所以()2e x f x x =，故()()21e x
f x x +'=，
当1x <-时，()0f x '<，当1x >-，()0f x ¢>，
故()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()min 1
(1)e
f x f =-=-，而x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，令()()1
g x a x =-，则()(),f x g x 的图象如图所示，
因为不等式()()1f x a x <-的解集中恰有两个整数，且()021f a '=>>，
故结合图象可得()()()()2233f g f g ⎧-<-⎪⎨-≥-⎪⎩
即2
3
4e 36e 4a
a --⎧-<-⎨-≥-⎩，故32342e 3e a ≤<
故答案为：
32
342e 3e a ≤<.【点睛】方法点睛：不等式的整数解个数问题，应利用导数刻画函数的单调性后刻画函数的图象，结合不同图象的位置求出参数的取值范围.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设数列{}n a 满足(
)2
2n S n n n *
=+∈N
，等比数列{}n
b 满足1
2b =，6
64b
=.
（1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
【答案】（1）21n a n =+，2
n
n b =（2）()1
2122
n n T n +=-⋅+【解析】
【分析】（1）由11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式，求出等比数列{}n b 的公比，利用等比
数列的通项公式可求得数列{}n b 的通项公式；
（2）求得()212n
n n a b n =+⋅，利用错位相减法可求得n T .
【小问1详解】
解：当1n =时，113a S ==，
当2n ≥时，()()(
)
2
2
2
2
121212121n n n a S S n n n n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+--=+⎣⎦
，
13a =也满足21n a n =+，
所以，对任意的n *∈N ，21n a n =+.
设等比数列{}n b 的公比为q ，则55
61264b b q q ===，所以，2q =，
因此，1
11222n n n n b b q
--==⨯=.
【小问2详解】
解：因为()212n
n n a b n =+⋅，
所以，()2
3252212n
n T n =⋅+⋅+++⋅ ，
()()21232212212n n n T n n +=⋅++-⋅++⋅ ，
两式相减：
()(
)()1
2
1
1
812322222212
6212
12
n n
n n n T n n -++--=⋅+⋅++⋅-+⋅=+
+⋅- ()12122n n +=-+-⋅，
于是()1
212
2n n T n +=-+.
18.已知函数()2e x
f x x -=（0x >）．
（1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间和极值．【答案】（1）1
e
y x =
（2）单调递减区间为(2,)+∞，单调递增区间为(0,2)，极大值为2
4(2)e f =，没有极小值.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，
（2）对函数求导，由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值【小问1详解】
()2e x f x x -=，
∴2()(2)e x f x x x -'=-，∴1(1)e
f '=
，而1
(1)e f =，
∴11
(1)e e
y x -
=-，∴曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为1e
y x =
.．【小问2详解】
由（1）知()(2)e x f x x x -'=--（0x >）
易得2x >时，()0f x '<，函数()f x 在()2,+∞上单调递减，当02x <<时，()0f x '>，函数()f x 在()0,2上单调递增，
所以函数()2e x
f x x -=（0x >）的单调递减区间为(2,)+∞，单调递增区间为(0,2)，
所以函数()2e x
f x x -=（0x >）在2x =处取得极大值2
4(2)e f =
，没有极小值.
19.某学校为举办庆祝建党100周年演讲比赛活动，需要2名同学担任主持人．经过初选有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进入了最后的主持人选拔．
（1）若这5名同学通过选拔的可能性相同，求甲和乙都通过选拔的概率；
（2）已知甲、乙、丙是男生，丁、戊是女生，要求主持人为一男一女，男生和女生分成两组分别选拔．若每个男生通过选拔的可能性相同，每个女生通过选拔的可能性也相同，求男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率．【答案】（1）110
（2）
2
3
【解析】
【分析】（1）根据古典概型，计算出基本事件和所求事件的种类即可；（2）理解“男生甲女生丁至少有一人通过选拔”所表达的含义，即是或者是甲通过丁不通过，或是丁通过甲不通过，或者是二者都通过，分别计算每种情形的概率相加即可.【小问1详解】
可知从5人中选出2人的样本空间为
={W 甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊}，
共10个基本事件，
记事件=A “甲和乙都通过选拔”，则={A 甲乙}，
由古典概型公式知()1
()()10
n A P A n ==W ．【小问2详解】
记=B “男生甲通过选拔”，=C “女生丁通过选拔”，
=D “男生甲和女生丁至少有一人通过选拔”．
易知B 、C 是相互独立事件，又可知=B D C BC BC ++，
由古典概型知11
(),()32
P B P C ==，
所以()=()()()()
P D P BC BC BC P BC P BC P BC ++=++11211142
.32323263
=´+´+´==即男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率是23
；综上，甲乙都通过的概率为
110
，男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率是2
3.
20.已知数列n {}a 的前n 项和为n S ，11a =，给出以下三个命题：①22n n a a +-=；②n {}a 是等差数列；③2122n n n S S a n ++=-++（1）从三个命题中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并进行证明；
（2）利用（1）中的条件，证明数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和3
4n T <.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】
【分析】（1）由①②作为条件，求出等差数列n {}a 的通项公及前n 项和，即可求证③成立；由①③作为条件，根据()()
1112-==-≥⎧⎪⎨
⎪⎩n n n S n a S S n ，得出222
++=+n n a a n 及22n n a a +-=联立，即可求出数列n {}a 的通项公式，根据等差数列定义即可证明②成立.由②③作为条件，设等差数列n {}a 的公差d ，用d 表示等差数列n {}a 通项公及前n 项和，代入
2122n n n S S a n ++=-++，求出等差数列n {}a 的公差d ，进而求出等差数列的通项公式，即可证明①成立；
（2）由（1）求出等差数列n {}a 通项公，进而求出数列21n n a a +⎧⎫
⎨⎬⋅⎩⎭
的通项公式，再利用裂项相消求出n T 进
行放缩证明即可.【小问1详解】
（1）将①②作为条件，③作为结论；
设等差数列n {}a 的公差为d ，则由22n n a a +-=得，22d =，解得1d =，
因为11a =，所以等差数列n {}a 的通项公式为n a n =.所以22
n n n
S +=，
所以()()
()()
2
2
2
1221122
2
++++++++-=
-
=+n n n n n n S
S n ，
又因为22222-++=-++=+n a n n n n ，
所以21++-=n n S S 22-++n a n ，即证2122n n n S S a n ++=-++；所以③成立；将①③作为条件，②作为结论；
由2122n n n S S a n ++=-++及221n n n a S S +++=-，得222++=+n n a a n ，
联立22222++-=⎧⎨+=+⎩n n n n
a a a a n ，解得n a n =，所以11n a n +=+，
所以111+-=+-=n n a a n n ()
常数，
所以数列n {}a 是以首项为1，公差为1的等差数列.所以②成立；将②③作为条件，①作为结论；
设等差数列n {}a 的公差为d ，则()11n a n d =+-，()12
n n n S n d -=+
，
由2122n n n S S a n ++=-++，得()()
()()211(2)(1)11222
2
+++⎡⎤++
=++
-+-++⎣⎦n n n n
n d n d n d n ，
解得1d =，所以等差数列n {}a 的通项公式为n a n =.22+∴=+n a n 所以222+-=+-=n n a a n n ，即证22n n a a +-=，所以①成立；
【小问2详解】
由（1）知，n a n =，22
+∴=+n a n
所以()211111222+⎛⎫
==⨯- ⎪⋅++⎝⎭
n n a a n n n n ，
因为数列21n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，
所以11111111111232435211211⎛⎫=
-+-+-++-+-+ ⎪--+⎝-+⎭
n T n n n n n n 11111311122122212⎛⎫⎛⎫=
⨯+--=⨯-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
n n n n ，当n →+∞时，101→+n ，102
→+n ，所以13111332212224⎛⎫⨯--<⨯= ⎪++⎝⎭=
n T n n ，即证数列21n n a a +⎧
⎫⎨
⎬⋅⎩⎭的前n 项和3
4n
T <.21.已知函数2
1()(1)ln 1()2
f x x a x a x a =
-+++∈R .（1）若a<0，且1y =与函数()y f x =的图象相切，求a 的值；（2）若()1f x ≥对(0,)∀∈+∞x 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）12
a =-；（2）1
(,]2
-∞-.【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切点横坐标即可得解.（2）根据给定条件构造函数()()2
11ln 2
g x x a x a x =-++，按0a ≤，0a >分类讨论求解.【小问1详解】函数2
1()(1)ln 12f x x a x a x =
-+++，求导得()(1)a f x x a x
'=-++，设直线1y =与函数()y f x =的图象相切的切点横坐标为0x ，于是()()()
0000
10x a x f x x --=='，
而a<0，00x >，解得01x =，又1(1)(1)112
f a =-++=，解得12a =-，
所以12
a =-
.
【小问2详解】
依题意，
()2
11ln 02x a x a x -++≥对()0,x ∞∀∈+恒成立，设()()2
11ln 2
g x x a x a x =-++，显然()0,x ∞∀∈+，()0g x ≥恒成立，
当0a >时，11
(1)22
g a =--<-，不符合题意，
当0a ≤时，求导得()()()()11x x a a g x x a x x
--=-++
=
'，由()0g x '<得01x <<，函数()g x 在()0,1上单调递减，
由()0g x '>得1x >，函数()g x 在()1,∞+上单调递增，则()()min 112
g x g a ==--
，于是1
02
a --
≥，解得12a ≤-，因此12a ≤-；
所以所求实数a 的取值范围是1
(,]2
-∞-.
22.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>经过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率12e =.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于,,,A B C D 四个点，若该两条直线的斜率分别为12,k k ，且123
4
k k ⋅=-
，求AOC 的面积；（3）如图，在（2）的条件下，椭圆上一点P ，位于,A C 之间，求四边形PAOC 面积的最大值.
【答案】（1）22
1
43
x y +=
（2
（3
【解析】
【分析】（1）由题设可得关于基本量的方程组，求出,a b 后可得标准方程.（2）设()()1133,,,A x y C x y ，则可得AOC 的面积为31131
2x y x y -，再根据点在椭圆上和1234
k k ⋅=-可
求3113x y x y -=，故可求面积.
（3）利用三角换元结合（2）的面积公式可得(
)(
)PAOC S βγαγ=-+-，利用同角的三角
函数基本关系和基本不等式可求最大值.
【小问1详解】
由题设由2222291411
2a b c a a b c ⎧
⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得224,3a b ==，
故椭圆标准方程为：22
143
x y +=.
【小问2详解】
设()()1133,,,A x y C x y ，因为123
4
k k ⋅=-，故,OA OC 的斜率存在且不为零，所以12120x x y y ≠，故1
1:y OA y x x =
即110y x x y -=，故C 到OA
的距离为d =故AOC
的面积为311312S x y x y =-，而113334y y x x =-，故3
22
21321169y y x x =，故2
23
122
1391144916
x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，故221
3
4x x +=，故()
2
22
2
2223131133
1313313112442x x x y x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
故3113x y x y -=
，故S =【小问3
详解】
设()00,P x y ，不失一般性，设A 在第一象限，C 在第二象限，由（2）的面积公式可得：3003100111
22
PAOC POC POA S S S x y x y x y x y =+=
-+- ，
设112cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩
，332cos x y ββ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，002cos x y γ
γ
=⎧⎪⎨=⎪⎩，由11333
4
y y x x =-可得sin sin cos cos αβαβ=-，故()cos 0αβ-=，故π
π,2
k k βα=++∈Z ，故(
)(
)
PAOC S βγαγ=
-
-(
)
ππ2k αγαγ
⎛⎫
=+--+- ⎪⎝⎭(
)(
)αγαγ=-+-，
而()()
()
()()
2
cos sin 12cos sin αγαγαγαγ-+-=+--()()221cos sin 2αγαγ≤+-+-=，
故()(
)cos sin αγαγ-+-≤，
可取π
π4
k γα=+
+使得等号成立，此时P 在,A C 之间，故PAOC S
的最大值为.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系中，当我们考虑定值问题或最值问题时，可联立直线方程和椭圆方程，把目标表示为与斜率或截距有关的代数式，利用函数方法或基本不等式求解定点或最值，也可
以利用三角换元把目标表示为与角有关的代数式，从而可得定值或最值.。