统计学原理( 相关分析)

《统计学原理》 刘鑫春
9
第七章第二节 相关图： 相关图又叫散布图或散点图，是利用直角坐 标第一象限，用横轴表示自变量，纵轴表示 因变量，将两变量对应的值用坐标点描绘出 来，据以研究两变量间有无相关关系，及相 关的形态，方向和密切程度。 利用EXCEL展示如何绘制散点图
《统计学原理》 刘鑫春
10
第七章第二节
《统计学原理》 刘鑫春 6
第七章第一节 二、相关关系的种类 根据自变量的多少划分，可分为单相关和复 相关 根据变量间相互关系的表现形式划分，直线 相关（或线性相关）和曲线（或非线性）相 关 根据相关关系的方向划分，可分为正相关和 负相关 根据相关关系的程度划分，可分为不相关、 完全相关和不完全相关
合计
2 3 25 38 87 129 91 24 1
4
2 3 3 8 24 30 12 20 42 28
3 2
6 16 28 45 20 10 125
7 14 25 12 10
合计
5
9
74
94
68
25
400
16
《统计学原理》 刘鑫春
第七章第二节 二、定量分析——测定与运用相关系数r 积差法： s xy 其中：r——相关系数 r s xy ——x和y的协方差 ss
统 计 学 原 理 第七章 相关分析
《统计学原理》 刘鑫春
1
法兰西斯· 高尔顿（Francis Galton，1822.2.16－1911.1.17.）
法兰西斯· 高尔顿是查尔斯· 达尔文的的表兄， 是一名英格兰维多利亚时代的文艺复兴人、 人类学家、优生学家、热带探险家、地理学 家、发明家、气象学家、统计学家、心理学 家和遗传学家。 高尔顿一生中发表了超过340篇的报告和书 籍，他在1909年被授与爵士。他在1883年率 先使用“优生学”（eugenics）一词。在他于1869年的著作 《遗传的天才》（Hereditary Genius）中，高尔顿主张人类的 才能是能够透过遗传延续的。 他在统计学方面也有贡献，高尔顿在1877年发表关于种子 的研究结果，指出回归到平均值（regression toward the mean）现象的存在，这个概念与现代统计学中的“回归”并不 相同，但是却是回归一词的起源。在此后的研究中，高尔顿第一 次使用了相关系数（correlation coefficient）的概念。他使用 字母“r”来表示相关系数，这个传统一直延续至今。同时他也发 表了关于指纹的论文和书籍，被认为对于现代利用指纹进行犯罪 搜查方面有很大的贡献。
2
拟合实际值，而且要满足
y yc 0
y y c 为最小。由最小平方原理，可得：
b
n xy x y n x 2 x 2
y b x y bx a
n n
24
《统计学原理》 刘鑫春
第七章 第三节
注意：回顾动态数列中长期趋势测定问题中用到的 最小平方法 在直线方程中，自变量为时间，因变量为各个时 间上对应的指标值，得到方程组：
《统计学原理》 刘鑫春 13
第七章第二节 分组相关表：当原始资料很多，运用简单相 关表存在困难时，一般将资料进行分组，然 后编制分组相关表 单变量分组表：对自变量进行分组，计算出 各组次数和因变量组平均数，并在此基础是 编制相关表。 双变量分组表：对自变量和因变量都进行分 组，对两变量的分组交叉形成棋盘表式，计 算棋盘表式中每一组的次数，将其填入表格。
《统计学原理》 刘鑫春 20
第七章 第三节
“回归的渊源” “回归”一词是英国生物学家高尔登首先提出 的。高尔登在研究父母亲身高和子女身高的关 系时发现：身材特别高的父母所生的孩子其身 材并非特别高，而身材特别矮的父母所生孩子 的身材也并非特别矮，子辈身高有向父辈平均 身高逼近的趋向，他把这种现象叫做“身高数 值从一极端至另一极端的回归”。以后，高尔 顿的学生皮尔逊把回归的概念同数学的方法联 系起来，把代表现象之间一般数量关系的统计 模型叫做回归直线或回归曲线，从此诞生了统 计上著名的回归理论。
• 皮尔逊的统计学的分析技术和方法，体现在其《统计学者和生物统计学者用 表》（1914）中，如频率分布、偏差度和峭度测量、轴线拟合、标准差检验、 相依系数、乘积动差相关系数r、类型的数学公式、双行、多重、多变元非线 性相关和概差偏差数，以及各种统计学的抽样分布等。他还发明了主要成分 分析，后由c.e.斯皮尔曼发展成心理统计学的因素分析。皮尔逊被称为统计 科学的奠基者。他把数学和统计学方法运用于生物问题，创建了生物统计学， 且与高尔顿共同确定了心理问题的统计法为心理学的基本方法之一。他对生 物、行为和社会科学的研究作出了较重的贡献。 3 《统计学原理》 刘鑫春
《统计学原理》 刘鑫春 14
第七章第二节
400个女大学生身高和体重相关表
按体重分组（千克） 人数（人） 62.5以上 60~62.5 57.5~60 55~57.5 52.5~55 50~52.5 47.5~50 45~47.5 45以下 2 3 25 38 87 129 91 24 1 每组平均身高（厘米） 170 167 163 162 160 158 155 154 151
《统计学原理》 刘鑫春 21
第七章 第三节 二、简单直线回归分析
简单直线回归分析的特点
在两个变量之间，必须确定哪个是自变量 X，哪个是因变量Y 回归方程的主要作用是用自变量来推算因 变量。 在两个现象互为根据的情况下，可以有两 个回归方程－Y倚X回归方程和X倚Y回归 方程。 22 《统计学原理》 刘鑫春
有8个企业生产某种产品，月产量和生产费用的资料如下：
企业编号 月产量（千吨）x 生产费用（万元）y 1 1.2 62 2 2.0 86 3 3.1 80 4 3.8 110 5 5.0 115 6 6.1 132 7 7.2 135 8 8.0 160
8个企业月产量和生产费用的散点图
生产费用（万 元）
第七章第一节 第一节 相关分析的意义和种类 一、相关关系的性质 相关关系的概念和特点 概念：相关关系是现象间客观存在的，但其 数值是不严格、不完全确定的相互依存关系。 注意：现象间可测定关系一般分为两种：一种 为函数关系，另一种为相关关系。相关关系 指现象之间客观存在但又不具有确定性的依 存关系。
合计
400
——
《统计学原理》 刘鑫春
关表
按身高分组（厘米） 按体重分 组（千克） 150 150~ 154~ 158~ 162~ 166~ 170及 158 162 166 170 以下 154 以上 62.5以上 60~62.5 57.5~60 55~57.5 52.5~55 50~52.5 47.5~50 45~47.5 45以下 2 3 8 8 4
《统计学原理》 刘鑫春 4
第七章第一节 特点： • 现象之间确实存在数量上的相互依存关系。 注意：在表现现象相互依存关系的两个变量之 中作为根据的变量叫做自变量，随自变量变 化发生对应变化的变量叫做因变量。 • 现象之间数量上不确定、不严格的依存关系。 注意：相关关系的全称为统计相关关系，相关 关系中一个变量虽然受另一个（或一组）变 量的影响，却并不由这一个（或一组）变量 完全确定。
200 150 100 50 0 0 2 4 6 产量（千吨）
《统计学原理》 刘鑫春
系列1
8
10
11
第七章第二节 相关表 是表现现象间相关关系的一种统计表。它一 般以x为自变量，以y为因变量，将自变量和 因变量的数值在表格中一一对应地排列，用 以初步反映相关关系的形式，密切程度和相 关方向。 简单相关表：对于未分组资料，直接将自变 量的数值按大小顺序排列，并配合其相对应 的因变量的数值所形成的相关表。
《统计学原理》 刘鑫春 5
第七章第一节 相关关系与函数关系的区别和联系 （教材312）
区别：函数关系是变量之间的一种严格、完全确定性 的关系，即一个变量的数值完全有另一个（或一组） 变量的数值所决定、控制。通常可以用数学公式确切 地表示出来。相关关系一般不是完全确定的，它很难 用数学公式去进行表达。 联系：函数关系在实际工作中往往通过相关关系表现 出来。当人们对某些现象内部规律有较深刻认识时， 相关关系可能变为函数关系。为此，在研究相关关系 时，又常常使用函数关系作为工具，用一定的函数关 系表现相关关系的数量联系。
《统计学原理》 刘鑫春 7
第七章第一节 三、相关分析的主要内容 揭示现象之间是否存在相关关系，以及相关 关系的表现形式。 确定现象变量间相关关系的密切程度和方向。 选择合适的数学模型 测定变量估计值的可靠程度 对计算出的相关系数，进行显著检验。
《统计学原理》 刘鑫春 8
第七章第二节 第二节 一、定性分析 定性分析是相关分析的起点，即研究者根据 自己的专业知识，理论水平，实践经验和逻 辑推断来分析和判断事物之间有无相关，是 何种相关。 简单线性相关分析
第七章 第三节
两种情况下的回归方程为：
y Y倚x回归方程：c
a bx
X倚y回归方程：xc
c dy
其中：a和c式两条直线的截距，b和d式两条直线 的回归系数。
《统计学原理》 刘鑫春
23
第七章 第三节 简单直线回归方程的确定
设y为实际值，yc为估计值，现在要用一条直线
yc a bx
y na b t
ty a t b t
《统计学原理》 刘鑫春 12
第七章第二节
产品产量和生产费用相关表
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 合计
产品产量（千吨） x
1.2 2.0 3.1 3.8 5.0 6.1 7.2 8.0 36.4
生产费用（万元）y
62 86 80 110 115 132 135 160 880
从上表看出，产品产量和生产费用之间的关系虽然不十分严格， 但有直线相关的趋势，而且大致可以看出关系比较密切