高中数学：第二章 平行向量2.5.2 Word版含答案

2．5.2向量在物理中的应用举例

学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力．

知识点一向量的线性运算在物理中的应用

思考1向量与力有什么相同点和不同点？

★答案★向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．

思考2向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？

★答案★速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．

梳理(1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上．

(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．

知识点二向量的数量积在物理中的应用

思考向量的数量积与功有什么联系？

★答案★物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．

梳理物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos 〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积．

知识点三向量方法解决物理问题的步骤

用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题；

(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；

(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；

(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．

1．功是力F 与位移S 的数量积．( √ )

2．力的合成与分解体现了向量的加减法运算．( √ )

3．某轮船需横渡长江，船速为v 1，水速为v 2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直．( √ )

类型一 向量的线性运算在物理中的应用

例1 (1)在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．

考点 向量在力学中的应用 题点 求分力

解 如图，两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →

|＝300 N ，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.

在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠OAC ＝90°， 从而|OA →|＝|OC →

|·cos 30°＝1503(N)， |AC →|＝|OC →

|·sin 30°＝150(N)， 所以|OB →|＝|AC →

|＝150(N)．

答 与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. (2)一条宽为 3 km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头A ，B ，已知AB ＝ 3 km ，船在水中最大航速为4 km/h ，问该船从A 码头到B 码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B 码头？用时多少？ 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度

解 如图所示，设AC →为水流速度，AD →

为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED 且当AE 与

AB 重合时能最快到达彼岸，

根据题意AC ⊥AE ，在Rt △ADE 和▱ACED 中， |DE →|＝|AC →|＝2，|AD →

|＝4，∠AED ＝90°， ∴|AE →|＝

|AD →|2－|DE →

|2＝2 3.

又AB ＝3，∴用时0.5 h.

∵sin ∠EAD ＝1

2

，∠EAD ∈(0°，90°)，∴∠EAD ＝30°.

答 船实际航行速度大小为2 3 km/h ，与水流成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5 h. 反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算．第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算．

跟踪训练1 河水自西向东流动的速度为10 km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 3 km/h ，求小船的实际航行速度． 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度

解 设a ，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O 作OA →＝a ，OB →

＝b ，以OA →，OB →为邻边作矩形OACB ，连接OC →，如图，则OC →＝a ＋b ，并且OC →

即为小船的实际航行速度．

∴|OC →

|＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＝20(km/h)， tan ∠AOC ＝103

10

＝3，∴∠AOC ＝60°，

∴小船的实际航行速度为20 km/h ，按北偏东30°的方向航行．

类型二 向量的数量积在物理中的应用

例2 质量m ＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力F ＝10 N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离．(g ＝9.8 N/kg)

(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；

(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？ 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功

解 (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示，拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为

W F ＝F ·s ＝|F ||s |cos 0°＝20(J)； 支持力F N 与位移方向垂直，不做功， 所以W N ＝F N ·s ＝0； 重力G 对物体所做的功为

W G ＝G ·s ＝|G ||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．

(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)． 反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．

跟踪训练2 已知力F 的大小|F |＝10，在F 的作用下产生的位移s 的大小|s |＝14，F 与s 的夹角为60°，则F 做的功为( ) A ．7 B ．10 C ．14 D ．70 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功 ★答案★ D

解析 F 做的功为F·s ＝|F ||s |cos 60°＝10×14×1

2

＝70.

1．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成90°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( ) A ．6 B ．2 C ．2 5 D ．27 考点 向量在力学中的应用 题点 求合力 ★答案★ C

解析 由题意知F 3＝－(F 1＋F 2)，

所以|F 3|2＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 2

2＋2F 1·F 2＝4＋16＝20，