高中物理必修二--5.13生活中的圆周运动

例题6：升降机内悬挂一圆锥摆，摆线长为
0.8m，小球质量为0.5kg，当升降机以2m/s2
的加速度匀加速上升时，摆线恰好与竖直方向 成 角θ =530。（g取10m/s2）试求： （1）小球的角速度； （2）摆线的拉力。
⑴ω=5rad/s；⑵F=10N
三、竖直面内的圆周运动
1、过山车、水流星、绳系小球在竖直面内的 圆周运动。
例题1：如图所示，一个轴线竖直、固定的圆锥， 圆锥的内壁光滑。两个质量相同的小球A、B， 紧贴圆锥的内壁分别在图中所示的水平平面内 做匀速圆周运动，关于两球的运动下列说法中 正确的是：（ A ）
A、A球的线速度一定 大于B球的线速度。
B、A球的角速度一定 大于B球的角速度。
C、A球的向心加速度一定大于B球向心加速度。 D、A球受到的支持力一定大于B球受到的支持力。
FN
mg f
FN
mg f
4、水平转台上的物体：
⑴当转台匀速转动时，物体受哪 些力作用？向心力由谁提供？
静摩擦力沿半径方向指向圆心，提供向心力。
⑵物体受到的静摩擦力，随转台角速度的增大而增 大，当静摩擦力达到最大值时，物体将转台上滑动。
故物体随转台转动的条件：mrω2≤μmg
⑶当转台加速转动时，物体受哪 些力作用？向心力由谁提供？
⑵飞机在竖直面内圆周运动
在最高点：F升

mg

m
v2 R
在最低点：F升

mg

m
v2 R
F升 0
mg
mg
F升 F升
mg
例题7：如图所示，半径为R半圆柱，放置在水 平地面上，在半圆柱的顶点放有一小物块。 若给小物块一个水平初速度v0，要使小物块 直接落在水平地面上，v0至少多大？
v gR
例题8：汽车在凹凸不平的路面上行驶时，可看作 是做半径不同的圆周运动。如图所示为崎岖路面 的简易图，设汽车行驶的速率不变。则下列说法
A、
v2 9g
v2
B、8g
C、 v2
7g
D、v 2
g
例题10：如图甲所示，长为L轻杆一端固定在水平 转轴0上，另一端固定小球P。小球在转轴0的带动
下在竖直面内做匀速圆周运动。已知转动过程中小
球通过最高点时轻杆对小球作用力的大小F随转轴 的角速度ω2的变化关系如图乙所示。则有：( AD ) A、小球的质量为a/bL。 B、当地的重力加速度g=b/L。 C、ω2=b时，轻杆给小球向上的弹力。 D、当ω2=2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
⑵杆系小球，或小球沿管状、环状圆形轨运动 时，小球受到的弹力与小球速度大小的关系：
当物体通过最高点的速度 0 v gr 时，小球受
到向上的支持力：
FN

mg m v2 R
当物体通过最高点的速度 v gr 时， 小球受
到向下的弹力:
FN

m
v2 R
mg
当物体通过最高点的速度 v gr 时， 小球受 到重力恰好提供向心力。FN=0。
由于支持力的方向只能 向上，故：FN≥0 ⑵当汽车通过最高点的速度 v gR时，汽车通过 最高点对地面有压力，可以通过刹车制动，减速 安全通过拱桥；当物体通过最高点的速度 v gR 时，汽车通过最高点对地面无压力，之后离开拱 桥做平抛运动。
4、飞机的圆周运动
⑴飞机在水平面内的圆
周运动
θ
问题：飞机在水平面内 做F圆升 周cos运 动 m时g ，受那些 力提F作供升 用？sin？ 向m心vR2力由什么
F kmv2 mg R
例题3：如图所示，在匀速转动的水平圆盘上， 沿半径方向放置质量均为m的，用细绳相连，且 可看做质点的物块A、B。它们到转轴的距离分 别为rA=10cm， rB=40cm。已知A、B与盘面 间的动摩擦因素μ=0.4，g=10m/s2。求： ⑴圆盘的角速度多大时细绳开始有张力。 ⑵圆盘的角速度多大时A开始滑动。 ⑶在A将滑动时，剪断细绳，试分析A、B如何运 动？
例题2：如图所示，小球A、B用细线悬于0点， 现使两球在同一水平面内做匀速圆周运动。若 两球的质量之比 mA：mB=1:2。，两细线与 竖直方向的夹角分别为530和370。求：
⑴周期之比 TA：TB。 ⑵线速度之比 vA：vB。 ⑶细线的拉力之比 FA：FB。
⑴TA∶TB ＝1∶1 ⑵VA∶VB ＝16∶9 ⑶ FA∶FB ＝2∶3
例题11：如图所示，长L=0.5m的轻杆，一 端固定一个质量为m的小球，另一端固定在 水平转轴0上。杆和小球随转轴0在竖直平面 内以角速度ω=4rad/s做匀速圆周运动。某时 刻杆对小球的作用力恰好与杆垂直。请在图 中画出杆所处的可能位置，并求出对应位置 杆与水平的夹角。
有两个位置，θ=530。
二、火车在弯道行驶： 1、车轮和轨道的结构：
2、火车转弯问题 ⑴轨道平面与火车的运动： 问题：火车转弯时是在水平面内还是在倾斜面内运 动？
弯道的路基表面是倾斜的，两根铁轨是不同高度的 水平面内的圆，且外轨高于内轨，火车在弯道上的 运动是水平面内的圆周运动。
⑵火车转弯的受力分析： 火车转弯时受哪些力作用？向心力由什么提供？
静摩擦力的方向沿半径方向指 向圆心的分力提供向心力。
例题1：铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯 道处要求外轨比内轨高，其内、外轨道高度差h的设计 不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率。下 表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的 轨道的高度差h。g=9.8m/s2。
弯道半径 r/m 660 330 220 165 132 110
内外轨道高度差 h/mm
50 100 150 200 250 300
（1）根据表中数据，写出h和r的关系式，并求出r＝ 440m时h的值。 h=75mm
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，
要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我
国铁路内、外轨的间距设计值L＝1435mm，结合表 中数据，算出我国火车的转弯速率v。 V≈15m/s。
例题2：一级方程式汽车大赛中，冠军舒马赫驾 驶着质量为M的法拉利赛车，以速度V经过一个 半径为R的水平赛道。工程师为了提高赛车性能， 在设计赛车形状时，都能使得赛车在行驶中， 上下会产生一个压力差（叫气动压力），从而 增大赛车对地面的压力。在赛车行业中，将正 压力与静摩擦力的比值称为侧向附着系数，用K 表示。求上述舒马赫的赛车通过弯道不侧滑， 所需的气动压力至少为多大？
3、汽车过圆形拱桥
问题1：实际生活中，桥梁为什么要修成拱形， 有没有凹形桥梁？为什么？汽车过拱桥时速度能 不能过大？为什么？ 答：减轻桥面和轮胎受到的压力；不能，速度 过的汽车会飞离桥面，易造成交通事故。
问题2：汽车要安全通过拱桥，汽车在最高点的 速度要满足怎样的条件？
⑴汽车的受力如图： mg－FN=mv2/r
火车安全匀速通过弯时， 火车受到的牵引力与阻力 平衡，火车的重力与轨道 的支持力的合力提供向心 力。如图所示：
Fn mg tan
⑶安全行驶的速度：
mg
tan

m
v02 R
，v0

gR tan
θ为路基表面与水平面的夹角，R为弯道半径。
当火车在弯道的速度大于V0 时，火车受那些力作用？
当火车在弯道的速度小于 F
(1)1 10rad / s (2) 2 4ead / s
(3) A继续随圆盘转动， B做远离圆心的运动。
例题4：为提高公路弯道处的行车速度，防止发 生测滑，常将弯道部分设计成外高内低的斜面 ．如果某品牌汽车的质量为m，汽车行驶时弯道 部分的半径r=60m，汽车轮胎与路面的动摩擦因 数为μ=0.3，路面设计的倾角为θ(sin θ＝0.05 )。 如图所示．(g取10 m/s2) 求汽车在弯道行驶的最 大速度。
vm = sicnoθs ＋θ－μcμossinθθgr=14.6m/s
例题5：如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD 杆 上，用不可仲长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点 的轴00/转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、 B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度 (绳子恰好伸直但无弹力)，物块A到00/轴的距离为物 块B到00/轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动 ，使转速逐渐增大，则从绳子处于自然长度到两物块A 、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是：( D ) A、B受到的摩擦力—直增大 B．B受到的摩擦力是先增大后减小 C、A受到的摩擦力是先增大后减小 D、B受到的合外力一直在增大
5.13、生活中的圆周运动
一、圆锥摆 1、结构特点：一根质量与伸长均不计的细线， 一端固定，另一端系一个可视为质点的物体， 使物体在水平平面内做匀速圆周运动。如图：
2、向心力的来源及有关的计算 问题：小球做圆周运动时，受那些力作用，向
心力由谁提供？如何计算向心力？圆周运动 的周期由什么决定？
θ
有关物理量的计算
v gR
⑵条件说明：
①物体通过最高点的速度大于√gR 时，绳子对 小球有向下的拉力；
②物体通过最高点的速度等于√gR 时，绳子对 小球拉力恰好为零；
③由于重力作用小球在竖直面内做变速圆周运 动，上升过程中速度逐渐减小。若假定物体通 过最高点的速度小于√gR 时，实际上小球在 到达最高点之前，就离开圆轨道做斜抛运动。
2、杆系小球、管状、环状圆形轨道
问题1：物体要做完整的圆周运动，通过最高 点时的速度要满足怎样条件？ ⑴物体做完整圆周运动通过最高点的条件： 由于受杆、环的约束，小球不会离开圆轨道， 故只要小球在最高点的速度满足：V≥0，物体 就能做完整的圆周运动。
问题2：设杆长为R，小球的质量为m，小球在 竖直平面内做圆周运动通过最高点的速度为v 时，求杆对小球的弹力大小，并讨论弹力的 方向与v的大小关系。
a Fn
mg 与火车转弯相同：汽车以安全速度转弯时，重力与支持 力的合力提供向心力。若车速大于安全速度时受到指向 弯道内的摩擦力作用，小于安全速度时受到向弯道外的 摩擦力作用。
⑶自行车、人跑步转弯时，身体必须倾斜。转弯时 人、车不能看作质点，可将人、车看作杆状物体 。当弯道水平且匀速转弯时，支持力与静摩擦力 的合力沿车或人体轴线方向，如图所示。且： f=Fn；FN=mg
中正确的有：（ BC ）
A、汽车行驶的速率越大，汽车对路面的压力越小
B、汽车通过D点时，汽车最有可能爆胎。
C、汽车通过A点的过程中，乘客最有可能向上抛起 D、汽车通过B点时，乘客受到的支持力最大。
例题9：飞机驾驶员最多可承受9倍的重力 加速度带来的影响。当飞机在竖直平面 上沿圆弧轨道俯冲时速度为v，则圆弧的 最小半径为：( B ).
⑴向心力： Fn ma mg tan
圆锥摆的向心力由物体的质量和 细绳与竖直方向的夹角θ决定。
⑵向心加速度：an F M g tan
圆锥摆的向心加速度只与θ有关。
⑶周期的计算：
由上面的向心力的式子有： T 2 l cos 2 h
g
g
圆锥摆的周期只与h有关，与m、L、θ均无关。
过山车
水流星
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⑴小球通过最高点的条件：
以绳系小球在的运动为例，求小
球在竖直面内做圆周运动通过最
FT mg
高点时，速度应满足什么条件。
在最高点小球的受力如图： mg+T=mv2/R………①
因绳子是柔软的，只能提供向下的拉力，故： T≥0………②
解上述两式的： v gR
过山车、水流星、绳系小球等在竖直平面内做 圆周运动通过最高点，速度满足的条件：
⑷细线的拉力：
当θ角已知时：FT=mg/cosθ;
当θ角未知，角速度或周期已知时：
FT

F
sin

mv2
l sin2

m 2l

m 2
T
2
l
4、类圆锥摆：下图装置是一些类似圆周运动。
问题：三者有什么区别？ 图⑴与圆锥摆完全相同，球心相当与细绳悬挂点， 球的半径等效于细绳的长度。 图⑵在同一圆锥面上，向心加速度相同，半径越大， 线速度越大，角速度越小，周期越大。 图⑶杆的倾角与转动角速度一定时，小环只能在一个 确定的位置随杆转动。杆的角速度越大，半径越小。
V0时，受力又如何？
外轮
内
轮
F
外轨 内轨
⑶内外轨的高度差：
h

L sin

L tan

Lv
2 0
gR
3、汽车、自行车、人跑步转弯 ⑴当弯道水平时，若汽车匀速转弯，静摩擦力 提供向心力。加速转弯时静摩擦力沿半径方向 的分力提供向心力。受力如图：
FN
f
mg
⑵当路基向弯道内倾斜时，支持力、摩擦力与重力的 合力提供向心力。受力如图： FN