高二数学椭圆双曲线专项练习含答案

高二数学椭圆双曲线专项练习选择题：
1、双曲线 x2－ay2＝ 1 的焦点坐标是（）
A ．( 1 a , 0) , ( －1 a , 0)B． ( 1 a , 0), (－1 a , 0)
C．（－a1a1
D． (－
a1
,0),(
a 1
a
, 0）,（
a
, 0）
a
, 0)
a
2、设双曲线的焦点在x 轴上 ,两条渐近线为y 1
）x ,则该双曲线的离心率为（
2
A ．5
B ．5/2C．5D．5/4
3．椭圆x
2
y21的两个焦点为F1、F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆订交，一个交点为P，则| PF2|= 4
（）A． 3 /2B．3C． 4了D． 7/2
4．过椭圆左焦点 F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A, B 两点，若FA 2 FB ，则椭圆的离心率等于
（）A 2
B
2
C
1
D
2 322
3 x2y2x 2y 2
5．已知椭圆3m2
5n2 和双曲线2m23n2＝ 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）
A ． x＝±15 y B． y＝±15 x C． x＝± 3 y D． y＝± 3 x
2244
6．设 F1和 F2为双曲线x2
y2＝ 1 的两个焦点，点P 在双曲线上，且知足∠F1PF2＝90°，则△ F1PF2的面积4
是（） A．1 B ．
5
C． 2D．5 2
7．已知 F1、 F2是两个定点，点 P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，而且PF1⊥PF2，e1和
e 分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（）
2
A ．e1e22
B ．e12e224C．e1e2 2 2D．
1
12 e12e22
8．已知方程
x 2
+
y 2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）| m | 2 m
1
A ． m<2
B ．1<m<2C． m< － 1 或 1<m<2 D ． m< － 1 或 1<m<
3
2
x 2
y 2 x 2 y 2
9．已知双曲线 a 2
－
b 2
=1
和椭圆
m 2 + b 2 =1( a>0,m> b>0) 的离心率互为倒数，那么以
a 、
b 、m 为边长的三
角形是（
）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．锐角或钝角三角形
x 2 y 2 1 上有 n 个不一样的
点 :P 1 2 n n
1 的
10．椭圆
3 , P , , P , 椭圆的右焦点为 F. 数列｛ |P F|｝是公差大于
100
4
等差数列 , 则 n 的最大值是（
） A ． 198 B ．199
C ． 200
D ．201
一、填空题：
11．对于曲线 C ∶
x 2 y 2 C 不行能表示椭圆；②
4 k
=1 ，给出下边四个命题：①由线
k 1
当 1＜k ＜ 4 时，曲线 C 表示椭圆；③若曲线 C 表示双曲线，则 k ＜ 1 或 k ＞ 4;④若曲线 C 表示焦点在 x 轴
上的椭圆，则 1＜ k ＜
5
此中全部正确命题的序号为
_______ ______
2
12．设圆过双曲线
x 2 y 2 =1 的一个极点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心距离
__
9
16
x 2 y 2 1 2
1 2
13．双曲线
＝ 1 的两焦点为
、
，点 P 在双曲线上，若 PF ⊥ PF
，则点 P 到 x 轴的距离 ____
9 16
14．若 A （ 1， 1），又 F 1 是 5x 2＋ 9y 2=45 椭圆的左焦点，点
P 是椭圆的动点，则 |PA|＋|P F 1|的最小值 _______
15、已知 B(-5 ， 0) ， C(5 ， 0) 是△ ABC 的两个极点，且 sinB-sinC= 3
sinA, 则极点 A 的轨迹方程是
5
二、解答题：
16、设椭圆方程为
x 2 y 2 =1，求点 M （0，1）的直线
l 交椭圆于点 A 、 B ， O 为坐标原点，点
P 知足
4
1 OB) ，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程 .
OP(OA
2
17、已知 F1、 F2为双曲线x 2y2
1（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直a 2b2
于 x 轴的直线交双曲线于点P，且∠ PF1F2＝ 30°．求双曲线的渐近线方程．
图
18、已知椭圆x2y2
1( a b 0) 的长、短轴端点分别为A、B，此后椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线，恰巧a2b2
经过椭圆的左焦点F1，向量 AB 与 OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e；（ 2）设 Q 是椭圆上随意一点，F1、 F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；
19、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0)，右极点为( 3,0)。

(1) 求双曲线 C 的方程； (2) 若直
线 l：y kx 2 与双曲线C恒有两个不一样的交
点A和B，且OA OB 2 (此中O为原点)，求k的取值范
围。

20、已知双曲线
x 2 y 2 1的离心率 e
2 3 ，过 A( a,0), B(0, b) 的直线到原点的距离是
3
. （1）求双
a
2
b
2
3 2
曲线的方程；
（ 2）已知直线 y
kx 5(k 0) 交双曲线于不一样的点 C ，D 且 C ，D 都在以 B 为圆心
的圆上，求 k 的值 .
1
2 x 2 8 y 2 =1（ a ＞ b ＞ 0）的左、右两个焦点 .（ 1）若椭圆 C 上的点
3 ）
21、设 F 、
分别为椭圆 C ：
b 2 （ 1，
a 2
2
到 F 1 、F 2 两点的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；（
2）设点 K 是（ 1）中所得椭圆上的
动点，求线段 F 1K 的中点的轨迹方程；（ 3）已知椭圆拥有性质：若 M 、 N 是椭圆 C 上对于原点对称的 两个点，点 P 是椭圆上随意一点，当直线
PM 、PN 的斜率都存在，并记为 k PM PN k PM PN
、 k 时，那么 与 k 之积是与点 P 地点没关的定值 .试对双曲线
x 2
y 2
1 写出拥有近似特征的性质，并加以证明．
a 2
b 2
参照答案 :
1、双曲线x2－ay2＝ 1 的焦点坐标是（C）A． ( 1 a , 0) , (－ 1 a , 0) B ． ( 1 a , 0), (－
1 a , 0)C．（－a1 a 1
, 0）D．(－
a1 a 1
, 0) a
, 0）,（
a a
,0),(
a
2、设双曲线的焦点在x 轴上 ,两条渐近线为y 1
x ,则该双曲线的离心率e（B）2
A ．5
B ．5/2C．5D．5/4
3．椭圆x
2
y21的两个焦点为F1、F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆订交，一个交点为P，则| PF2|= 4
（D）A． 3 /2B．3C． 4D．7/2
4．过椭圆左焦点 F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A, B 两点，若FA 2 FB ，则椭圆的离心率等于
（D） A
2
B
2
C
1
D
2 322
3 x2y2x2y2
5．已知椭圆3m25n2和双曲线2m23n2＝ 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ D）A ．x ＝±15 y B． y＝±15 x C． x＝± 3 y D ．y＝± 3 x
2244
解：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上，∴椭圆焦点（
3m25n2，0），双曲线焦点（2m23n2，
0），∴ 3m2－ 5n2=2m2+3 n2∴ m2=8n2又∵双曲线渐近线为y=±6| n |
·x∴代入 m2=8n2， |m|=2 2 |n|，得 y= 2 | m |
3
x．±
4
6．设 F1和 F2为双曲线x2
P 在双曲线上，且知足∠F1PF2＝90°，则△ F1 PF2的面积y2＝ 1 的两个焦点，点
4
是（ A
5
C．2 D．5）A．1 B．
2
解：由双曲线方程知
|F 1F 2|＝2
5 ，且双曲线是对称图形，假定
x 2 P ⊥ F 2 P ，有
P （ x ，
1 ），由已知 F 1
4
x 2 1
x 2 1 24 1 x 2 4 4
1，即 x 2
1，
x
5 x
5
, S
2 5
1
5
2
4
7．已知 F 、 F 是两个定点，点 P 是以 F
和 F 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，而且
PF ⊥PF ，e 和
1
2
1
2
1
2
1
e 2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（
D ）
A ． e 1e 2 2
B ． e 12
e 22
4
C ． e 1 e 2
2 2
D ．
1
1
2
e 12 e 22
8．已知方程
x 2
+
y 2
（
D
）
1 2
=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是
| m | m
A ． m<2
B ．1<m<2
C ． m<－ 1 或 1<m<2
3
D ． m< － 1 或 1<m<
2
x 2 － y 2 x 2 y 2
9．已知双曲线 a 2 b 2
=1
和椭圆
m 2 + b 2 =1( a>0,m> b>0) 的离心率互为倒数，那么以
a 、
b 、m 为边长的三
角形是（ B
） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．锐角或钝角三角形
10．椭圆 x 2
y 2 1 上有 n 个不一样的点 : P
1 2
n
n
1 的 4
3 , P
, , P , 椭圆的右焦点为 F. 数列｛ |P F|｝是公差大于
100
等差数列 , 则 n 的最大值是（
C
）
A ． 198
B ． 199
C ． 200
D ．201
二、填空题：
11．对于曲线 C ∶
x 2
y 2 C 不行能表示椭圆；②当
1＜k ＜ 4 时，曲线
4
k
=1，给出下边四个命题：①由线
k 1
5 其
C 表示椭圆；③若曲线 C 表示双曲线，则 k ＜ 1 或 k ＞ 4;④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1＜k ＜
2
中全部正确命题的序号为
_______
______③④；
12．设圆过双曲线
x 2
y 2 =1 的一个极点和一个焦
9
16
点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ______16/3 ；
解：如图 8— 15 所示，设圆心 P （ x
c a
5 3 ＝ 4，代入 x 2
y 2
2＝
16
7 ，
0，y 0），则|x 0＝
2 9 ＝ 1，得 y
2
16
9
∴|OP|＝
2
2
16
13．双曲线
x 2 y 2 ＝1 的两个焦点为
F 1、F 2，点 P 在双曲线上，
x 0
y
． 9
16
3
若 PF 1⊥PF 2，则点 P 到 x 轴的距离为 ． 16/5；
解：设 |PF 1|＝ m ， |PF 2 |＝ n （ m ＞ n ）， a ＝ 3、 b ＝ 4、 c ＝ 5，∴ m － n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2，m 2＋ n 2－（ m － n ） 2
＝
m 2＋ n 2－（ m 2＋ n 2－ 2mn ）＝ 2mn ＝4× 25－ 36＝ 64，mn ＝ 32. 又利用等面积法可得：
2c · y ＝ mn ，∴ y ＝ 16/5．
14．若 A 点坐标为（ 1，1）， F 1 是 5x 2＋ 9y 2=45 椭圆的左焦点，点 P 是椭圆的动点，则 |PA|＋ |P F 1|的最小值是
_______
___． 6
2 ；
15、已知 B(-5 ， 0) ， C(5 ， 0) 是△ ABC 的两个极点，且 sinB-sinC=
3
sinA, 则极点 A 的轨迹方程是
5
x 2 y 2 1( x
3)
9
16
三、解答题：
16、设椭圆方程为
x 2
y 2 =1，求点 M （0，1）的直线 l 交椭圆于点 A 、B ，O 为坐标原点，点
P 知足
4
OP
1 (OA OB) ，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程 .
2
解：设 P （x ， y ）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，直线
l 的方程为 y=kx+1，A （x 1 ，y 1 ）， B （x 2，
y 2），联立并消元得：（
4+k 2） x 2
+2k x － 3=0， x 1+x 2=－
2k , y 1+y 2= 8 ，由 OP
1
(OA OB) 得：
4 k 2 4 k 2
2
x
x 1 x 2
k
1
2 4 k 2
（x ， y ）
（ x 1+x 2， y 1+y 2），即：
=
y 1
y 2
4
2
y
2 4 k 2
消去 k 得： 4x 2+y 2－ y=0 当斜率不存在时， AB 的中点为坐标原点，也合适方程
所以动点 P 的轨迹方程为： 4x 2+y 2 － y= 0 ．
x 2
y
2
图
17、已知 F 1、 F 2 为双曲线
1（ a ＞ 0， b ＞ 0）的焦点，过 F 2 作垂直
2
2
a
b
于 x 轴的直线交双曲线于点
P ，且∠ PF 1F 2＝ 30°．求双曲线的渐近线方程．
c 2 2
b 2
b 2
解：（ 1）设 F 2
y 0
2
，在直角三
（ c ， 0）（ c ＞ 0）， P （ c ， y ），则 a
2
b 2
=1．解得 y =±
a
∴ |PF |=
a
角形 PF 2F 1 中，∠ PF 1F 2 =30°解法一： |F 1F 2|= 3 |PF 2|，即 2c=
b 2 ，将
c 2
=a 2
+b 2
代入，解得 b 2
=2 a
2
3
解
a
法二： |PF 1|=2|PF 2 |，由双曲线定义可知 |PF 1|－ |PF 2|=2a ，得 |PF 2 |=2a.
∵ |PF 2|= b
2
，∴ 2a=
b 2
，即 b 2=2a 2，
a
a
∴
b
2
故所求双曲线的渐近线方程为
y=± 2 x ．
a
18、已知椭圆
x 2 y 2 1( a
b
0) 的长、短轴端点分别为
A 、
B ，此后椭圆上一点
M 向 x 轴作垂线，恰巧
a
2
b
2
经过椭圆的左焦点
F 1 ，向量 AB 与 OM 是共线向量．（
1）求椭圆的离心率 e ；（ 2）设 Q 是椭圆上随意
一点，
F 1 、 F 2 分别是左、右焦点，求∠ F 1QF 2 的取值范围；
解：（1）∵ F 1(
c,0),则 x M
c, y M
b 2 ，∴ k OM b 2 ．∵ k AB b ,OM 与 AB 是共线向量，∴
a ac a
b 2
b
，∴ b=c,故 e
2
FQ 1 r 1, F 2Q r 2 , F 1 QF 2
,
．（ 2）设
ac a
2
r 1 r 2 2a, F 1F 2 2c, cos
r 12 r 22 4c 2
(r 1
r 2 )2
2r 1r 2
4c 2
a 2
1
a 2
1 0
(
r 1
r
2
)2
2r 1r 2
2r 1 r 2
r 1r 2
2
当且仅当 r 1
r 2 时， cos θ =0，∴θ [0,
] ．
2
19、已知中心在原点的双曲线
C 的右焦点为 (2,0)，右极点为 ( 3,0) (1) 求双曲线 C 的方程； (2) 若直线 l ：
y
kx
2 与双曲线 C 恒有两个不一样的交
点
A 和
B ，且OA OB
2 (此中 O 为原点 )，求 k 的取值范围。

解：（Ⅰ）设双曲线方程为 x 2
y 2 1 ( a 0, b 0). 由已知得 a
3,c
2,再由 a 2 b 2
22 ,得 b 2
1.
a 2
b 2
故双曲线 C 的方程为
x 2
y 2
1.
3 2代入 x 2
（Ⅱ）将 y kx
y 2
1得 (1 3k 2 ) x 2 6 2kx 9
0.
3
由直线 l 与双曲线交于不一样的两点得 1 3k 2 0,
(6 2k)2
36(1 3k 2 )
36(1 k 2 ) 0.
即 k 2
1 且 k
2 1. ① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ，则
3 uuur uuur
6 2k
9
x A
x B 1 3k 2 , x A x B 1 3k 2 ,由OA OB 2得x A x B y A y B 2,
而 x A x B y A y B x A x B (kx A 2)( kx B
2) (k 2 1)x A x B 2k( x A x B ) 2 (k
2
1) 9 2k 6 2k
2
3k 2
7
.于是
1 3k 2
1
3k 2
3k 2 1
3k 2 7 即 3k 2
9 0, 解此不等式得 1 k 2
3. ②
3k 2 1 2, 3k 2 1 3
由①、②得 1 2 1.
故 k 的取值范围为 ( 1, 3 ) ( 3 ,1). 3 k
3 3
20、已知双曲线 x 2
y 2 1的离心率 e
2 3 ，过 A( a,0), B(0, b) 的直线到原点的距离是 3
. （1）求双
a 2
b 2
3
2
曲线的方程；（ 2）已知直线y kx 5(k0)交双曲线于不一样的点 C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的值 .
解：∵（ 1）c
2 3,原点到直线 AB：
x
y 1
的距离d ab ab3.．故所
a 2
b 2c2
a3a b
b 1 , a 3 .
求双曲线方程为x 2
y2 1 .
3
（2）把y kx5代入 x 2 3 y 2 3 中消去 y，整理得(1 3k2) x230 kx780 .设 C (x1 , y1 ), D (x2 , y2 ), CD 的中点是E( x0, y0)，则
x 0x1x 215 k
y 0kx 05
5
,
2 1
3 k 2 1 3 k 2x0 ky0 k 0,
k BE y 01 1 .
x0k
15 k 5 k k0 , 又 k0 , k 27
1 3 k
2 1
3 k 2
故所求 k= ±7 .
21、设 F 1、F2分别为椭圆 C：
x28 y23
）a2b2
=1（ a＞ b＞ 0）的左、右两个焦点 .（ 1）若椭圆 C 上的点 A（ 1，
2
到 F 1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；
（2）设点 K 是（ 1）中所得椭圆上的动点，求线段 F 1K 的中点的轨迹方程；（ 3）已知椭圆拥有性质：若M、 N 是椭圆 C 上对于原点对称的两个点，点P 是椭圆上随意一点，当直线PM 、 PN 的斜率都存在，并
记为 k PM、k PN时，那么 k PM与 k PN之积是与点P 地点没关的定值 .试对双曲线x2y2
1 写出拥有近似a2b2
特征的性质，并加以证明．
解：（ 1）椭圆 C 的焦点在 x 轴上，由椭圆上的点 A 到 F1、F2两点的距离之和是4，得 2a=4，即 a=2.又点 A
（1，3
）在椭圆上，所以
1( 3)222
2=1 得 b2=3，于是 c2=1.所以椭圆 C 的方程为x y=1，焦点 F1（－ 1，2 2 2b243
1 x1y1 2111
, y，
0），F （1，0）（2）设椭圆 C 上的动点为K（ x ，y ），线段 F K 的中点 Q（ x，y）知足：x22即 x1=2x+1， y1=2y.
所以 (2x 1) 2(2 y)2=1.即(x1)2 4 y2 1 为所求的轨迹方程.（3）近似的性质为：若M、N 是双曲4323
线：x2y 2
22 =1 上对于原点对称的两个点，点P 是双曲线上随意一点，当直线PM 、 PN 的斜率都存在，并
a b
记为 k PM 、k时，那么 k
PM
与 k之积是与点 P 地点没关的定值 . 设点 M 的坐标为（ m，n），则点 N 的坐标PN PN
为（－ m，－ n），此中m2n 2=1. 又设点P 的坐标为（ x， y），由k PM y n
, k PN y
n
，得
a2b2x m x m
y n y n y 2n 22b 2222b2b2
k PM·k PN=xm x m x
2m2 ，将y
a2x b, n a 2m2－ b2代入得 k PM· k PN= a2 .。