大招9 蒙日圆及其证明

大招9 蒙日圆及其证明 大招总结
定理1曲线2222:1x y a b
Γ+=的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222
x y a b +=+.
定理1的结论中的圆就是蒙日圆.
证明当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P 的坐标是(,)a b ±,或(,)a b ±-.
当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,可设点P 的坐标是()(000,x y x ≠±a ,且
)0y b ≠±,所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是()00(0)y y k x x k -=-≠. 由()22
22001x y a b y y k x x ⎧+
=⎪⎨⎪-=-⎩
,得 ()
()()2
2
2
222222000020a k
b x ka kx y x a kx y a b +--+--=
由其判别式的值为0,得
()()
222222
200000200x
a k x y k y
b x a --++=-≠
因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以
2
2
02
2
0PA PB
y b k k x a
-⋅=- 由此,得
22
22001PA PB k k x y a b ⋅=-⇔+=+进而可得欲证成立.
定理2（1）双曲线
22
221(0)x y a b a b -=>>的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222
x y a b +=-; （2）抛物线2
2y px =的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.
定理3过圆2
2
2
2
x y a b +=+上的动点P 作椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两条切线PA,PB,则.PA PB ⊥
证明:设P 点坐标()00x y
由()22
22001x y a b y y k x x ⎧+
=⎪⎨⎪-=-⎩
得()()()222222222000020a k b x ka kx y x a kx y a b +--+--= 由其判别式的值为0, 得(
)()
22
2
222
200000200x a
k
x y k y b x a --+-=-≠
因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以
22
02
2
0PA PB
y b k k x a
-⋅=- 22
2
222
00
220,1,PA PB
y b x y a b k k PA PB x a -+=+⋅==-⊥- 定理4设P 为蒙日圆2
2
2
2
:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22
221x y a b
+=的两条切线,交椭圆于点
A,B,O 为原点,则OP,AB 的斜率乘积为定值2
2OP AB b k k a
⋅=-
定理5设P 为蒙日圆2222
:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b
+=的两条切线,切点分别为
A,B,O 为原点,则OA,PA 的斜率乘积为定值22OA PA b k k a ⋅=-,且OB,PB 的斜率乘积为定值OB k ⋅2
2(
PB b k a
=-垂径定理)
定理6过圆2
2
2
2
x y a b +=+上的动点P 作椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两条切线,O 为原点,则PO 平分
椭圆的切点弦AB.
证明:P 点坐标()00,x y ,直线OP 斜率00
OP y k x =
由切点弦公式得到AB 方程2000
22201,AB x x y y b x k a b a y +==-
2
2OP AB
b k k a
⋅=-,由点差法可知,OP 平分AB,如图M 是中点
定理7设P 为蒙日圆2
2
2
2
:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22
221x y a b
+=的两条切线,切点分别为
A,B,延长PA,PB 交伴圆O 于两点C,D,则//CD AB . 证明:由性质2可知,M 为AB 中点.
由蒙日圆性质可知,90APB ︒
∠=
,
所以MA MB MP ==. 同理OP OC OD ==.
因此有PAM APM CPO PCO ∠=∠=∠=∠, 所以//AB CD .
典型例题
(例1.)(2020春-安徽月考)已知点P 为直线40ax y +-=上一点,PA,PB 是椭圆22
2:1(1)x C y a a
+=>的两
条切线,若恰好存在一点P 使得PA PB ⊥,则椭圆C 的离心率为 解方法1:设(,)P m n ,过点P 的切线方程为()y n k x m -=-,
联立22
2()1y n k x m x y a
-=-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()
22222
212()()10k a x ka n km x a n km ⎡⎤++-+--=⎣⎦, 直线与椭圆相切,()
2422222
4()41()10k a n km a k a n km ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,整理得
()
2
222210a
m k mnk n -++-=,若切线PA,PB 的斜率均存在,分别设为12,k k ,
21222
1,1n PA PB k k a m
-⊥∴⋅==--,即2221m n a +=+, ∴点P 在以(0,0)为圆心
,
即(0,0)到直线40ax y +-=
d ∴=
=,
解得a =
1,a a >∴=若切线PA,PB 分别与两坐标轴垂直,则(,1)P a 或(,1)a -或(,1)a -或(,1)a --, 存在点(,1)P a ,将其代入直线40ax y +-=中,
解得a =综上所述
,a =
又1,b c =∴==∴
离心率3c e a =
==
. 故答案为
. 方法2:在方法1中,实际上证明了一遍蒙日圆,如果知道结论,可得P 的轨迹222
1x y a +=+,且此圆与
40ax y +-=相忉
.
其中(0,0)到直线40ax y +-=的距离
d =
d ∴=
=,解得a =
1,a a >∴=又1,b c =∴==
∴离心率
3c e a =
==
.
故答案为. (例2.)(2020春-安徽月考)已知两动点A,B 在椭圆22
2:1(1)x C y a a
+=>上,动点P 在直线3410x y +-0
=上,若APB ∠恒为锐角,则椭圆C 的离心率的取值范围为
解由结论可知:椭圆2221x y a
+=的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是冡日圆222
1x y a +=+,
若APB ∠恒为锐角,则直线34100x y +-=与圆222
1x y a +=+相离,
>,又
1,1a a >∴<<,
.c e a ⎛∴=== ⎝⎭
故答案为:⎛ ⎝⎭
.
例3.已知22
:1O x y +=.若直线2y kx =+上总存在点P ,使得过点P 的O 的两条切线互相垂直,则实数k 的取值范围是
解(,1][1,-∞-⋃+∞).在下图中,若小圆(其圆心为点O ,半径为r )的过点A 的两条切线AB,AD 互相垂直（切
点分别为E,F ）,得正方形AEOF,所以|||OA OE =
=,即点A 的轨迹是以点O 为圆心为半径的
圆.
由此结论可得:在本题中,点P 在圆222x y +=上.所认本题的题意即直线2y kx =+与圆22
2x y +=有公共点,进而可得答案.
例4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点为0),（1）求椭圆C 的标准方程;
（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.
解（1
）依题意有3,2c a b ===故所求椭圆C 的标准方程为22
194
x y +=. （2）当两条切线的斜率存在时,设过()00,P x y 点的切线为()00y y k x x -=-. 联立()002219
4y y k x x x y ⎧-=-⎪
⎨+=⎪⎩
消去y 得
()()2
2
2
004918360k x
k y kx ++--=
判别式
()()
()22
2222000018364940x k y kx k y kx ⎡⎤∆=+--+--=⎣⎦
,
化简得()2
2
00940y kx k ---=,即()
2
2
2
0000924x k x y k y --+-.
依题意得2
01220419
y k k x -⋅==--,即220
013x y +=(可由22
2200x y a b +=+直接可得答案) (例5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>
的一个焦点为0),
点P 为圆22
:13
M x y +=上任意一点,O 为坐标原点. （I ）求椭圆C 的标准方程;
（II ）记线段OP 与椭圆交点为Q ,求|PQ|的取值范围;
（III ）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切,l 与圆M 相交于另一点A ,点A 关于原点O 的对称点为B ,试判断直线PB 与椭圆C 的位置关系,并证明你的结论.
解（I
）由题意可知:c c e a ===,则222
3,4a b a c ==-=,
∴椭圆的标准方程:22
194
x y +
=; （III ）由题意可知
:||||||||PQ OP OQ OQ =-=,设()22
1111,,194
x y Q x y +=
, ||OQ ∴===由1[3,3]x ∈-,当10x =时,min ||2OQ =,当13x =±时,max ||3OQ =,||PQ ∴
的取值范围2]; （III ）证明:由题意,点B 在圆M 上,且线段AB 为圆M 的直径,所以PA PB ⊥.
分3种情况讨论,
（1）当直线PA x ⊥轴时,易得直线PA 的方程为3x =±
,
由题意,得直线PB 的方程为2y =±, 显然直线PB 与椭圆C 相切.
（2）同理当直线//PA x 轴时,直线PB 也与椭圆C 相切. （3）当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时,
设点()00,P x y ,直线PA 的斜率为k ,则0k ≠,直线PB 的斜率1k
-, 所以直线()00:PA y y k x x -=-,直线()001
:PB y y x x k
-=-
-, 由()002219
4y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得()
()()220000941892360.k x y kx kx y kx ++-+--=
因为直线PA 与椭圆C 相切,
所以()()()22210000184949360y kx k k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--+--=⎣⎦⎣⎦, 整理,得()222
100001449240x k x y k y ⎡⎤∆=---+-=⎣⎦ 同理,由直线PB 与椭圆C 的方程联立,
得()22
20000211144924x x y y k k ⎡⎤∆=--++-⎢⎥⎣⎦.（2）
因为点P 为圆22
:13M x y +=上任意一点,
所以220013x y +=,即220013y x =-.
代入（1）式,得(
)
(
)
2
2
2
00009290x k x y k x --+-=, 代入（2）式,得()()()
2222200000002214414492492(9x x y k y k x x y k k k
⎡⎤⎡∆=-
-++-=--++-⎣⎦⎣)220x k ⎤⎦, ()()
222
0000
21449290x k x y k x k
⎡⎤=
--+-=⎣⎦. 所以此时直线PB 与椭圆C 相切. 综上,直线PB 与椭圆C 相切. 例6.(2021-安徽模拟)已知圆2
2
:5O x y +=,椭圆22
22:1(0)x y a b a
Γ+=>>的左,右焦点为12,F F ,过1F 且
垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和.
（I ）求椭圆的标准方程;
（II ）如图P 为圆上任意一点,过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A,B 两点. （i ）若直线PA 的斜率为2,求直线PB 的斜率；
（ii ）作PQ AB ⊥
于点Q ,求证:12QF QF +是定值.
解（I
）由题意可得2
,21b a ⎧=⎪
⎨=⎪⎩解得2,1,a b c ===所以椭圆的方程为2
214
x y +=.
（II ）（I ）设()00,P x y ,切线()00y y k x x -=-,则220
05x y +=, 由()22
001
4x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩
,化简得()()()2220000148440,k x k y kx x y kx ++-+--=,由0∆=得()2
2
2
0004210x k
x y k y -++-=,
设切线PA,PB 的斜率分别为12,k k ,
则()
2200
1222
00
111445y y k k x y --===----, 又直线PA 的斜率为2,则直线PB 的斜率为1
2
-. （II ）当切线PA,PB 的斜率都存在时,设()()1122,,,A x y B x y ,
切线PA,PB 的方程为(),1,2i i i y y k x x i -=-=, 由（1）得(
)
2
22
4210,1,2,(*)i i i i i x k x y k y i -++-==
又A,B 点在椭圆上得,2
21,1,2,(*)4
i i x y i +== 得2
202i i i x y k ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭,即,1,24i i i x k i y =-=,
氻线PA,PB 的方程为1,1,24
i i x x
y y i +==,
又过,点P ,则001,1,24
i i x x
y y i +==,
所直线AB 的方程为0014
x x
y y +=,(可直接代㔹点弦方程)
由PQ AB ⊥的直线PQ 的方程为()0
000
4y y y x x x -=-,
联立直线AB 方程为0014x x
y y +=,
解得()()22
0000002222
0000413134
1,165165
Q Q x y y y x x y y x y x y ++====++, 由22
005x y +=得,点Q 轨迹方程为2255116
x y +=,且焦,点恰为12,F F ,
故
122QF QF +==,
当切线PA,PB 的斜率有一个不存在时,易得12QF QF +=.
综上,125
QF QF +=
. 自我检测
1.(2021-全国二模)已知双曲线22
21(1)4
x y a a -
=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA,MB,若0MA MB ⋅=,则实数a 的取值范围是(）
A.
B.
C.)+∞
D.)+∞ 答案：
方法1:双曲线22
21(1)4
x y a a -
=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若MA
0MB =,可知MAOB 是正方形,MO =,所以a ∈.故选B.
方法2:过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若0,MA MB M ⋅=点轨迹即为蒙日圆22
2x y +=,
且此圆与双曲线22
21(1)4x y a a -
=>有公共点M ,所以a ∈.故选B
2.给定椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>,称圆心在原点O ,C 的“准圆”.已知椭圆
C 的一个焦点为F ,其短轴的一个端点到点F （I ）求椭圆C 及其“准圆”的方程
（II ）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点,B,D 是椭圆C 上的相异两点,且BD x ⊥轴,求
AB AD ⋅的取值范围;
（III)在椭圆C 的“准圆”上任取一点(,)P s t ,过点P 作两条直线12,l l ,使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点,且12,l l 分别与椭圆的“准圆”交于M,N 两点.证明:直线MN 过原点O .
答案：
（I ）解:由题意知c a ==,解得1b =,
∴椭圆C 的方程为2
213
x y +=,其“准圆”为224x y +=.
（II ）解:由题意,设(
(,),(,),B m n D m n m -<<则有2
213
m n +=, 又A 点坐标为(2,0),故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--,
22
2
2
(2)4413m AB AD m n m m ⎛⎫
∴⋅=--=-+-- ⎪⎝⎭
2
244343332m m m ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭
,
又2
43[0,732m m ⎛⎫
<<∴-∈+ ⎪⎝⎭
.
AB AD ∴⋅的取值范围是[0,7+. （III ）设(,)P s t ,则22
4s t +=,
当s =,1t =±,则12,l l 其中之一斜率不存在,另一条斜率为0,
12l l ∴⊥.
当t ≠,设过(,)P s t 且与有一个公共点的直线l 的斜率为k , 则l 的方程为()y t k x s -=-,代人椭圆C 的方程,得:
223[()]3x k x s t +-+=,即()
222316()3()30k x k t ks x t kt +--+--=,
由()
2222
36()4313()30k t ks k t kt ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,
得(
)2
2
23230t
k
stk t -++-=,其中230t -≠,
设12,l l 的斜率分别为12,k k ,则12,k k 分别是上述方程的两个根,
12121,k k l l ∴=-∴⊥.
综上所述,12l l ⊥,
MN ∴是准圆的直径,∴直线MN 过原点O .
3.已知A 是圆2
2
4x y +=上的一个动点,过点A 作两条直线12,l l ,它们与椭圆2
213
x y +=都只有一个公共点,且分别交圆于点M,N
（1）若(2,0)A -,求直线12,l l 的方程;
（2）（1）求证:对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; （2）求AMN 面积的取值范围.
答案：
(1)解:设直线的方程为(2)y k x =+,代人椭圆2
213
x y +=,消去y ,可得()
222213121230k x k x k +++-=由0∆=,可得2
10k -=
设12,l l 的斜率分别为1212,,1,1k k k k ∴=-= ∴直线12,l l 的方程分别为2,2y x y x =--=+;
(2)(1)证明:当直线12,l l 的斜率有一条不存在时,不妨设1l 无斜率
1l 与椭圆只有一个公共点,所以其方程为x =
当1l
的方程为x =,此时1l
与圆的交点坐标为
1±),所以2l 的方程为1y =(或)121,y l l =-⊥成立,
同理可证,当1l
的方程为x =,结论成立;
当直线12,l l 的斜率都存在时,设点(,)A m n ,且2
2
4m n += 设方程为()y k x m n =-+,代人椭圆方程,可得(
)2
2
136()3()230k x
k n km x n km ++-+--=
由0∆=化简整理得(
)2
2
23210m
k
mnk n -++-=
224m n +=
()2223230m k mnk m ∴-++-=
设12,l l 的斜率分别为121212,,1,k k k k l l ∴=-∴⊥成立 综上,对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; (2)记原点到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,
22
124,d d AMN +=∴面积()()
2
222222121114444216S d d d d d ==-=--+
221[1,3],[12,16]d S ∈∴∈
4]S ∴∈.
4.过P 点作椭圆两条切线,若椭圆的两条切线互相垂直,设圆心到切点弦的距离为1,d P 到切点弦的距离为
2d 证明12d d 之积为常数.
答案：
证明:如图所示,设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,那么
在椭圆上A,B 两处切线的交点P 在圆2222
(\neq )a x y a b x +=+,
现设)
P
θθ,
那么AB 的直线方程为
220xb ya a b θθ+-=.
原点到切点弦AB 的距离
22
1d =
切线交点P 到切点弦AB 的距离是
42422d
=
=
所以
22
1222a b d d a b
=+(常数).
5.(2021贵州模拟)已知椭圆2
2:1,2
x C y M +=是圆223x y +=上的任意一点,MA,MB 分别与椭圆切于A,B.求AOB 面积的取值范围.
答案：
设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得
1212:
1,:122
x x x x MA y y MB y y +=+=,且22
03x y += 由()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得010201021,122x x x x y y y y +=+=,从而00:12
x x
AB y y +=
将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,得 ()
22200034440y x x x y +--+=. 所以,2
00
121222
00444,33
x y x x x x y y -+==++, 因此
,)202
013
y AB y +=
+.
又原点O 到直线AB
的距离d ==
所以01
||22OAB
S AB d =⋅=
令[1,2]t =
,得到
21222,2332OAB
t S
t t t
⎡==⋅∈⎢+⎣⎦+
6.(2021河北模拟)设椭圆22
154
x y +=的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ,曲线C 的两条切线PA,PB 交于点P ,且与C 分别切于A,B 两点,求PA PB ⋅的最小值.
答案：
设两切线为12,l l
(1)当1l x ⊥轴或1//l x 轴时,对应2//l x 轴或2l x ⊥轴,
可知(2)P ±; (2)当1l 与x 轴不垂直且不平行时
,x ≠设1l 的斜率为k ,则20,k l ≠的斜率为11
,l k
-
的方程为y -()00y k x x =-,联立22
154
x y +
=, 得()()()2
22000054105200k x y kx kx y k ++-+--=,
因为直线与椭圆相切,所以0∆=,得
()()
()22
22000055440y kx k k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦,
()2
20020440k y kx ⎡⎤∴-+--=⎣⎦
,
()
222
00005240x k x y k y ∴--+-=,
所以k 是方程(
)
2
22
00005240x k x y k y --+-=的一个根, 同理1k
-
是方程()222
00005240x k x y k y --+-=的另一个根, 2
02
0415
y k k x -⎛⎫∴⋅-= ⎪-⎝⎭得22
009x y +=,
其中x ≠所以点P
的轨迹方程为229(x y x +=≠, 因为(3,2)P ±±满足上式,
综上知:点P 的轨迹方程为22
9x y +=.
设,PM PB x APB θ==∠=,则在AOB 与APB 中应用余弦定理知,
2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠ 222cos PA PB PA PB APB =+-⋅⋅∠,即
()3322\38cdo 3233cos 102c s t o x x x x θθ︒+-⋅⋅-=+-⋅,即 29(1cos )
1cos x θθ
+=
-
||||cos cos PA PB PA PB APB x x θ⋅=⋅∠=⋅
9(1cos )cos 1cos θθ
θ
+=
-
令1cos (0,2]t θ=-∈,则cos 1t θ=-. ()
2
9329(2)(1)293t t t t PA PB t t t t -+--⎛
⎫⋅===⋅+ ⎪-⎝⎭
9233)t ⎛⎫⋅⋅=
⎪ ⎪⎝⎭
且仅当2
t t
=,即t =时,PA PB ⋅取得最小3).
7.(衡水中学模拟)如图,在平面直角坐标系xOy,设点()00,M x y 是椭圆22
:
12412
x y C +=上一点,从原点O 向圆()()22
008M x x y y -+-=
作两条切线分别与椭圆C 交于点P,Q .
（1）若M 点在第一象限,且直线OP,OQ 互相垂直,求圆M 的方程; （2）若直线OP,OQ 的斜率存在,分别记为12,k k .求12k k ⋅的值;
（3）试问22
||||OP OQ +是否为定值?若是求出该定值;若不是,说明理由.
答案：
(1)由圆M的方程知圆M
的半径r=因为直线OP,OQ互相垂直,且和圆M相切,
所以||4
OM==,即
22
00
16
x y
+=
又点R在椭圆C上,所以
22
1
2412
x y
+=
联立(1)(2),
解得0
x
y
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
,
所以,所求圆M
的方程为22
((8
x y
-+-=.
(2)因为直线
1
:
OP y k x
=和
2
:
OQ y k x
=都与圆R相切,
(3)
==
化简得
2
122
8
8
y
k k
x
-
⋅=
-
,
因为点()
00
,
R x y在椭圆C上,所以
22
1
2412
x y
+=,即22
00
1
12
2
y x
=-,
所以
2
122
1
41
2
82
x
k k
x
-
⋅==-
-
(3)(1)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设()()
1122
,,,
P x y Q x y,
由(2)知
12
210
k k+=,所以12
12
2
1
y y
x x
=,
故2222
1212
1
4
y y x x
=,
因为()()
1122
,,,
P x y Q x y,在椭圆C上,所以
2222
1122
1,1
24122412
x y x y
+=+=
即2222
1122
11
12,12
22
y x y x
=-=-,所以
2222
1212
111
1212
224
x x x x
⎛⎫⎛⎫
--=
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
;
整理得22
12
24
x x
+=,所以
2222
1212
11
121212
22
y y x x
⎛⎫⎛⎫
+=-+-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,
所以222222
1122
241236
OP OQ x y x y
+=+++=+=
.
(2)当直线OP,OQ 落在坐标轴上时,显然有22
36OP OQ +=.
综上:2236OP OQ +=
结论：设点()00,M x y 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>上任意一点,从原点O 向圆()2
0:(M x x y -+-
)222
022a b y a b
=+作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q,直线OP,OQ 的斜率分别记为12,k k .
8.(2021年甘肃省张掖市肃南一中高考数学模拟)已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b
+=>>的离心率e =且
经过点⎛ ⎝⎭
,抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点F 与椭圆1C 的一个焦点重合. （I ）过F 的直线与抛物线2C 交于M,N 两点,过M,N 分别作抛物线2C 的切线12,l l ,求直线12,l l 的交点Q 的
轨迹方程;
（II)从圆22
:5O x y +=上任意一点P 作椭圆1C 的两条切线,切点为A,B,证明:AOB ∠为定值,并求出这个
定值.
答案：
（I ）设椭圆的半焦距为c ,则c a =,即a =,则b =,椭圆方程为2222132y x c c +=,将点⎛ ⎝⎭
的坐标代人得2
1c =,故所求的椭圆方程为22132
y x +=焦点坐标(0,1)± 故抛物线方程为2
4x y =.
设直线()()1122:1,,,MN y kx M x y N x y =+, 代人抛物线方程得2
440x kx --=, 则12124,4x x k x x +==-,由于214y x =,所以12
y x '=, 故直线1l 的斜率为
111
,2
x l 的方程为 ()22111111111, ?´ 2224
y x x x x y x x x -=-=-
同理2l 的方程为2
221124
y x x x =-,
令22
112211112424
x x x x x x -=-,即 ()()()1212121
2
x x x x x x x -=-+,显然12x x ≠,
()1212x x x =+,即点Q 的横坐标是()121
2
x x +,
点Q 的纵坐标是()221111*********
124244
y x x x x x x x x x =-=+-==-
即点(2,1)Q k -,
故点Q 的轨迹方程是1y =-.(阿基米德三角形)
（II ）证明：(1)当两切线的之一的斜率不存在时,根据对称性,设点P 在第一象限,则此时P ,
代人圆的方程得P
此时两条切线方程分别为x y =
=此时2
APB π
∠=
若APB ∠的大小为定值,则这个定值只能是
2
π. (2)当两条切线的斜率都存在时,
即x ≠, 设()00,P x y ,切线的斜率为k , 则切线方程为()00y y k x x -=-, 与椭圆方程联立消元得
()()()2
2
2
0000324260k x
k y kx kx y ++-+--=.
由于直线()00y y k x x -=-是椭圆的切线,
故()
()
()2
2
2
200016432260k
y kx k kx y ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦
,
整理得()
222
00002230x k x y k y -++-=.
切线PA,PB 的斜率12,k k 是上述方程的两个实根,故
20122
3
2y k k x -=--, 点P 在圆225x y +=上,故22
0032y x -=-,所以121k k =-,所以2
APB π
∠=
综上可知:APB ∠的大小为定值2
π
,得证.。