6-1剪枝-概述

COMPUTER ALGORITHM
最大利益优先——分支限界算法
分支限界法就是最佳优先(包括广度优先在内)的搜索法。

分支限界法将要搜索的结点按评价函数的优劣排序，让
好的结点优先搜索，将坏的结点剪去。

所以准确说，此
方法应称为界限剪支法。

分支限界法中有两个要点：
分支限界法是最佳优先搜索法
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评价函数的构造；
搜索路径的构造。

评价函数的构造
评价函数要能够提供一个评定候选扩展结点的方法，以便确定哪个结点最有可能在通往目标的最佳路径上。

一个评价函数f(d)通常可以由两个部分构成：⑴从开始结点到结点d的已有耗损值g(d)，和⑵再从结点d到达目标的期望耗损值h(d)。

即：
f(d) = g(d) + h(d)
通常g(d)的构造较易，h(d)的构造较难。

在回溯法中，每次仅考察一条路径，因而只需要构造这
一条路径即可：前进时记下相应结点，回溯时删去最末
尾结点的记录。

这比较容易实现。

在分支限界法中，是同时考察若干条路径，那么又该如何构造搜索的路径呢？搜索路径的构造
对每一个扩展的结点，建立三个信息： 这样一旦找到目标，即可逆向构造其路径。

用一个表保存准备扩展的结点，称为Open表。

用一个表保存已搜索过的结点，称为Closed表。

该结点的名称； 它的评价函数值； 指向其前驱的指针；
分支限界法的一般算法
⑴计算初始结点s 的f(s); [s, f(s), nil]放入Open;
⑵while (Open ≠Φ) {
⑶从Open 中取出[p, f(p), x](f(p)为最小);
⑷将[p, f(p), x]放入Closed;
⑸若p 是目标，则成功返回；否则
⑹{ 产生p 的后继d 并计算f(d) ；对每个后继d
有二种情况：①d ∈Closed || ∈Open ；②d Open && d Closed 。

⑺{ 若([d, f’(d), p]∈Closed || [d, f’(d), p]∈Open) && f(d)＜f’(d)，则删去旧结点并将[d, f(d), p] ⑻将[d, f(d), p] 插入到Open 中}}}。

分支限界法求单源最短路径
单源最短路径问题的评价函数的构造：
g(d)定义为从源s到结点d所走的路径长度：
g(d) = g(p) + C[p][d]
这里p为d的前驱结点，C[p][d]为p到d的距离。

h(d)定义为0。

于是f(d) = g(d)。

源s的评价函数f(s) = 0。

评价函数的下界为0；上界初始时为∞，以后不断用取得的更短路径的长度来替代。

分支限界法求最短路径举例
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2050100301060赋权图G
初始时，将源[1, 0, 0]放入Open ，Closed 为空。

Open 表[1, 0, 0]Closed 表[1, 0, 0]放入Closed ；生成其后继[2, 10, 1]、[4, 30, 1]和[5, 100, 1]，并依序放入Open 。

[1, 0, 0][5, 100, 1][4, 30, 1][2, 10, 1]取出[2, 10, 1]放入Closed ；生成其后继[3, 60, 2]，并依序插入Open 。

[2, 10, 1][3, 60, 2][4, 30, 1]取出[4, 30, 1][3, 50, 4]和[5, 90, 4] ，修订Open 中已有的两个结点并依序排列。

[4, 30, 1]
[5, 90, 4][3, 50, 4][3, 50, 4]放入Closed ；生成其后继[2, 100, 3]和3]，前者因劣于Closed 中的[2, 10, 1]而被抛弃，后者修订了Open 中的[5, 90, 4]。

[3, 50, 4][5, 60, 3][5, 60, 3]，因其已经是目标结点，算法成功并终止。

依据逆向指针可得最短路径为1→4→3→5。

界限(Bounding)
评价函数f(d)关系着算法的效率乃至成败。

因为在大多数问题中f(d)只是个估计值，所以单靠f(d)是不够的。

通常还要设计它的上下界函数U(d)和L(d)。

L(d)≤f(d)≤U(d)。

所谓分支限界法就是通过评价函数及其上下界函数的计算，将状态空间中不可能产生最佳解的子树剪去，减少搜索的范围，提高效率。

因而更准确的称呼应是“界限剪支法”。