全概率公式和贝叶斯公式测习题
2023年高考数学复习----件概率、全概率公式、贝叶斯公式典型例题讲解
2023年高考数学复习----件概率、全概率公式、贝叶斯公式典型例题讲解【典型例题】例1、（2022·全国·高三校联考阶段练习）2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩．为考察某队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次．用该样本的频率估计概率，则：（1）甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；（2）现有小组赛制如下：小组共6支球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级．教练决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在球队顺利晋级，记其获胜的场数为X ，求X 的分布列和数学期望．【解析】（1）设1A =“甲担任前锋”；2A =“甲担任中锋”；3A =“甲担任后卫”；B =“某场比赛中该球队获胜”； 则()1200.2100P A ==，()2300.3100P A ==，()3500.5100P A ==，()114|0.720P B A ==，()221|0.730P B A ==，()340|0.850P B A ==， 由全概率公式可得：()()()()()()()112233|||P A P B A A P B A A P B A B P P P =++0.20.70.30.70.50.80.75=⨯+⨯+⨯=．所以甲参加比赛时，该球队某场比赛获胜的概率是0.75．（2）设i C =“5场中有i 场获胜”()3,4,5i =，D =“甲所在球队顺利晋级”，()3233531270C 441024P C D ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()4144531405C 441024P C D ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()55553243C 41024P C D ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()9181024P D =，()()()()3327053|91817P C D P X P C D P D =====， 同理可得()()()()44405154|91834P C D P X P C D P D =====， ()()()()5524395|91834P C D P X P C D P D =====， 则X 的分布列为：()515913534517343434E X =⨯+⨯+⨯= 例2、（2022·全国·高三专题练习）某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M ，其中由本厂自主生产的配件M 可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M 的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M 的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M 的平均成本控制为640元/件．（1）分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M 的数量；（2）已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M 的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M 是次品的概率；（3）现有一辆轿车由于使用了次品配件M 出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M 来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？【解析】（1）设使用甲厂生产的配件M 的比例为a ，则使用乙厂生产的配件M 的比例为0．8-a ， 由已知可得()6000.88005000.2640a a +−+⨯=，解得a ＝0．5．所以需要从甲厂订购配件M 的数量为10⨯0．5＝5万个； 从乙厂订购配件M 的数量为()100.80.5⨯−＝3万个．（2）由（1）知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M 的比例分别为0．5，0．3，0．2， 所以该汽车厂使用的配件M 的次品率的估计值为0.50.040.30.020.20.010.028⨯+⨯+⨯=，所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M 是次品的概率为0．028．（3）设A ＝“该轿车使用了次品配件M ”，1B =“配件M 来自甲厂”，2B =“配件M 来自乙厂”，3B =“配件M 来自本厂”．由（2）可知()0.028P A ＝ ．该次品配件M 来自甲厂的概率为：()()()()()()11110.50.0450.0287P B P A B P AB P B A P A P A ⨯==== ，该次品配件M 来自乙厂的概率为：()()()()()()22220.30.0230.02814P B P A B P AB P B A P A P A ⨯==== ，该次品配件M 来自本厂的概率为：()()()()()()33330.20.0110.02814P B P A B P AB P B A P A P A ⨯==== ，所以甲厂应承担的费用为514000100007⨯=元，乙厂应承担的费用为314000300014⨯=元，本厂应承担的费用为114000100014⨯=元．例3、（2022·全国·高三专题练习）有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是9%．王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．（1）设X 为这78名密切接触者中被感染的人数，求X 的数学期望；（2）核酸检测并不是100%准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为98%（即假阴性率为2%），特异度为99%（即假阳性率为1%）．已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）． 【解析】（1）X 为这78名密切接触者中被感染的人数， X 可取0，1，2，L ，78，()78,9%XB ，所以()789%7.02E X =⨯=．（2）设事件A 为“核酸检测结果为阳性”，事件B 为“密切接触者被感染”， 由题意()0.09P B =，()|0.98P A B =，()|0.01P A B =，所以()()()()()()()()||P A P AB AB P AB P AB P B P A B P B P A B ==+=+0.090.980.910.010.0973=⨯+⨯=，()()()()()()|0.090.98|0.9060.0973P AB P B P A B P B A P A P A ⨯===≈， 王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，他被感染的概率为0.906．。
概率论与数理统计随机事件与概率全概率公式与贝叶斯公式
概率论与数理统计第1章随机事件与概率第5讲全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式，乘法公式以及条件概率的综合运用.全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥.乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0.设甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量Ὅ例1分别占总数的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，从这批产品中任取一件，求它是次品的概率.解分别表示产品由甲、乙、丙厂生产完备事件组全概率公式两两互斥B 表示产品为次品01 全概率公式02 贝叶斯公式本 讲 内容O F (x )x1)O f (xx称满足上述条件的A1,A2,…,A n为完备事件组.全概率公式设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,A n是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n, 则对任一事件B，有证明两两互不相容，得也两两互不相容；乘法公式B加法公式某一事件B 的发生有各种可能的原因(i =1,2,…,n )，如果B 是由原因A i 所引起，则B 发生的概率是：每一原因都可能导致B 发生，故B 发生的概率是各原因引起B 发生概率的总和，即全概率公式.P (BA i )=Ὅ 全概率公式的关键数学模型完备事件组P (A i )P (B |A i ).设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮Ὅ例2件进入账户1，另有20%的邮件进入账户2，其余10%的邮件进入账户3. 根据以往经验，三个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%, 5%，问某天随机收到的一封邮件为垃圾邮件的概率.解分别表示邮件来自账户1、2、3B表示邮件为垃圾邮件全概率公式完备事件组甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的25%, 35%, 40%，次品率分别为5%,4%,2%，随机地从中任取一件，发现是次品，问它来自哪个厂的可能性大？Ὅ例3解实际中还有另一类问题：已知结果求原因乙厂生产的可能性最大贝叶斯公式有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的Ὅ例4占 20%，二厂生产的占 70%，三厂生产的占10%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 3%, 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?解对于这个问题，大家都有一个直观的认识，容易求出这一概率为若记A表示“产品为次品”，B1，B2，B3表示“产品分别来自一、二、三厂”，则上式可以表示为：其中B1，B2，B3正是样本空间的一个划分.01全概率公式02 贝叶斯公式本 讲 内容该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致B 发生的每个原因的概率.设A 1,A 2,…,A n 是完备事件组，则对任一事件B ，有贝叶斯公式贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.——后验概率在B 已经发生的前提下，再对导致 B 发生的原因的可能性大小重新加以修正.P ( A i ) ——先验概率它是由以往的经验得到的，是事件 B 的原因.（医学模型——稀有病症的诊断率问题）甲胎蛋Ὅ例5白（AFP）免疫检测法被普遍用于肝病的早期诊断和普查. 已知肝病患者经AFP检测呈阳性的概率为95%，而非肝病患者经AFP检测呈阳性（误诊）的概率为2%. 设人群中肝病的发病率为0.04%，现有一人经AFP检测呈阳性，求此人确实患肝病的概率.解记A={肝病患者}，{经"AFP" 检测呈阳性} ,B=由贝叶斯公式经AFP检测显阳性的人，真患有肝病的人不到2%. 可见，对于稀有病症，一次检测的结果不必过于担心.对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%.每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%.已知某日早上第一件产品是合格品时,试求机器调整良好的概率.Ὅ例6解A1=B=显然A1∪A2=“机器未调整良好”，“机器调整良好”，A2=“产品是合格品”，S，由题意，A1A2=∅由贝叶斯公式，有即机器调整良好的概率为97%.某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分Ὅ例7别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2. 现机器发生了故障，问应从哪类元件开始检查？解设D表示“机器发生故障”，A表示“元件是A类”，B表示“元件是B类”，C表示“元件是C类”，由全概率公式由贝叶斯公式同理故应从C元件开始检查.第5讲 全概率公式与贝叶斯公式这一讲我们学习了两个重要的公式——全概率公式与贝叶斯公式.家需要牢记，并会熟练运用.在概率的计算中，经常用到这两个公式，大 知识点解读——全概率公式与贝叶斯公式学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。
1.5(全概率公式和贝叶斯公式)
由全概率公式得
α = P (B )
= P ( A0 ) P ( B A0 ) + P ( A1 ) P ( B A1 ) + P ( A2 ) P ( B A2 ) = 0.94
1.5.2 贝叶斯公式
(2) 由贝叶斯公式 P ( A0 ) P ( B A0 ) β = P ( A0 B ) = P ( B)
i =1 n
n
n
n
i =1
由假设及乘法公式得到
P ( B ) = ∑ P ( BAi ) = ∑ P ( Ai )P ( B Ai ).
i =1 i =1 n n
利用全概率公式求事件B的概率， 利用全概率公式求事件 的概率，关键是寻求完 的概率 备事件组A1，A2，…，An; 备事件组 ， 寻求完备事件组A 寻求完备事件组 1 ， A2 ， …， An 相当于找导致 ， 事件B发生的所有互不相容的事件 发生的所有互不相容的事件． 事件 发生的所有互不相容的事件．
(1.8)式称为贝叶斯公式． 式称为贝叶斯公式． 式称为贝叶斯公式
1.5.2 全概率公式知： 条件概率公式、乘法公式及全概率公式知
P ( BAi ) P ( Ai B ) = P( B)
= P ( B Ai ) P ( Ai )
n
,
j
∑ P( B A )P( A )
下面就介绍为解决这类问题而引出的公式： 下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：
Bayes(贝叶斯 公式 贝叶斯)公式 贝叶斯
1.5 全概率公式和贝叶斯公式
1.5.2 贝叶斯公式
定理1.3 设试验 的样本空间为Ω ，B为E的事件， 设试验E的样本空间为 的事件， 定理 为 的事件 A1，A2，…，An为完备事件组，且P(B) > 0， ， 为完备事件组， ， P(Ai) > 0，i = 1，2，…，n，则 ， ， ， ， ，
本科概率1-全概,习题课(白底)
概率统计第一章习题课
习题一
4. 从一副扑克牌的 张黑桃 中，有放回抽三次 ， 13 求取出的三张牌中: (1)没有同号的概率 ； (2)有同号的概率.
13 ⋅12 ⋅11 P( A) = 133
13 ⋅12 ⋅11 P( A) = 1 − P( A) = 1 − 133
5.某城市有A, B, C三种报纸.在居民中, 订A报的占 45%, 订B报的占35%, 订C报的占30%,同时订A与 B报的占10%,同时订A与C报的占8%,同时订B与 C报的占5%,同时订A, B与C报的占3%, 求下列概率：
P ( A3 ) = P ( H1H2 H3 )
加法公式 独立性
P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14. P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 × 即飞机被击落的概率为0.458. 即飞机被击落的概率为
P( (1)只订A报的； AB C ) = P( A) − P( AB) − P( AC) + P( ABC ) = 0.3
(2)只订A与B报的； P( ABC ) = P( AB) − P( ABC ) = 0.07 (3)只订一种报的； P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC) = 0.73 (4)恰好订两种报的；P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC) = 0.14
∑ P( A ) P( B｜A )
k =1 k k
3
将这里得到的公式一般化， 将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式练习题
例题讲解:例题 1.市场上某产品由三家厂家提供，根据以往的记录，这三个厂家的次品率分别为，0.020.,0.01,0.03，三个厂家生产的产品所占的市场份额分别0.15,0.8,0.05.产品出厂后运到仓库，见面后再进入市场，设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合（1）在仓库中随机的取一个产品，求它的次品的概率。
（2）在仓库中随机的取一个产品，发现为次品，如果你是管理者，该如何追究三个厂家的责任？例题2保险公司把被保险人分成三类”谨慎的”,”一般的”和”冒险的”，统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为，0. 5. 0.15. 和0.30. 如果”谨慎的”被保险人占20%”一般的”，被保险人占50%，”冒失的”被保险人占30%，确认一个被保险人在一年内出事故的概率。
练习:1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。
解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品}A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2则有分解B=A 1B ∪A 2B由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88由全概率公式P(B)= P(A 1) P(B|A 1)+ P(A 2) P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868.2. 盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。
解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式()()()()()P B P A P B A P A P B A =+， 由题意(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b a b c +====++++++ 所以()()()()()()b b c ab b P B a b a b c a b a b c a b+=+=+++++++ 3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
全概率公式和贝叶斯公式
当n 100, p 0.01时，近似效果则非常好。
设：B：买到一件次品 A1 : 买到一件甲厂的产品 A2 : 买到一件乙厂的产品 A3 : 买到一件丙厂的产品
P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BA3 ) P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A2 ) P( A2 ) P( B | A3 ) P( A3 )
这说明老师们依据试卷成绩来衡量学 生平时的学习状况还是有科学依据的.
得到:
由贝叶斯公式，可得 P (C ) P ( A | C ) P (C | A) P (C ) P ( A | C ) P (C ) P ( A | C ) 代入数据计算得: P(C｜A)= 0.1066
现在来分析一下结果的意义.
1 P ( B | A) , P ( B | A) 1, P ( AB) P ( A) p 5 由全概率公式: P ( B) P ( B | A) P ( A) P ( B | A) P ( A) 1 4 p 1 p (1 p) 5 5
P ( AB) 5p P ( A | B) P ( B) 4 p 1 1 5 p 例如，若 则 P ( A | B) 2 6
A S,
i i 1
n
则对任一事件B，有
n
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
n
全概率公式的来由, 不难由上式看出:
“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用
全概率公式与贝叶斯公式
(0.05)
清 1 (0.05)
0 不
(0.1)
n
P(B)＝∑ P( Ai )P(B | Ai )
i =1
(1.4.5)
就称为全概率公式 式(1.4.5)就称为全概率公式。 就称为全概率公式。
有甲乙两个袋子， 例5 (P17)有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白 有甲乙两个袋子 个红球， 球 ， 1个红球 ， 乙袋中有两个红球 ， 一个白 个红球 乙袋中有两个红球一球放入乙袋， 任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取 一球，问此球是红球的概率？ 一球，问此球是红球的概率？
全概率公式与贝叶斯公式
三、全概率公式与贝叶斯公式
例 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。
设：B：买到一件次品 A1 : 买到一件甲厂的产品 A2 : 买到一件乙厂的产品 A3 : 买到一件丙厂的产品
定义 (p17)事件组A1，A2，…，An (n可为∞)， 称为样本空间S的一个划分，若满足：
( i ) U Ai = S ;
i =1
n
( ii ) Ai A j = φ , ( i ≠ j ), i , j = 1, 2 ,..., n.
… … B … … … An A2 A1
定理1、 定理 、(p17) 设A1，…, An是S的一个划 的一个划 分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)， ， ＝ ， ， ， 则对任何事件B∈ 有 则对任何事件 ∈S有
答: P( A | B) = P( A1 B) = P( B | A1 ) P( A1 ) = 4 1
第4节 全概率公式与贝叶斯公式
例6 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌 引起的疾病占总人数的0.5%．一种血液化验以95%的概 率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1%的概率 误将不患此疾病的人检验出呈阳性．现设某人检查出 呈阳性反应，问他确患有此疾病的概率是多少？
解 记 A " 检验呈阳性 "
B1 " 检验者患此疾病 " B2 " 检验者不患此疾病 " 且已知 P ( B1 ) 0.005 P( B2 ) 0.995
0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.7 0.41 ,
P( B3 ) P( A1 A2 A3 ) 0.4 0.5 0.7 0.14 ,
由贝叶斯公式有 P ( B 3 ) P (C | B 3 ) 0.14 P ( B3 | C ) 3 0.306 . 0.458 P ( B i ) P (C | B i )
a ， 这 体 现 了 抽 签 好坏与先后次序无关的公平性. ab
——抽签与顺序无关——
2
定理1.1 全概率公式
如果事件A1 , A2 ,, An构成一个完备事件组，
而且P( Ai ) 0, i 1, 2,, n. 则对任何一个事件B有，
P ( B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
显然 A1 B, A2 B,, An B 也两两互不相容，
A3 A1 A2 A5 A6 B A4
Ω
A7
A8
4
设 A1 , A2 ,, An 为 一 个 完 备 事 件 组,对任一事件 B,有
B B ( A1 A2 An )B
A1 B A2 B An B ,
概率统计贝叶斯公式在体育比赛的应用例题
概率统计贝叶斯公式在体育比赛的应用例题概率统计贝叶斯公式在体育比赛的应用例题1. 引言体育比赛一直是人们热衷的话题，而要对比赛结果进行预测，概率统计和贝叶斯公式就起到了至关重要的作用。
在本文中，我们将探讨概率统计贝叶斯公式在体育比赛中的应用，并给出一些例题加深理解。
2. 概率统计和贝叶斯公式简介概率统计是研究随机现象的规律性和数量关系的数学分支，而贝叶斯公式是概率统计中的重要工具之一，用于计算在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率。
在体育比赛中，我们可以利用贝叶斯公式来对比赛结果进行概率预测。
3. 应用例题分析我们以足球比赛为例，假设在一场欧洲足球比赛中，球队A与球队B 进行比赛，我们已经知道球队A在过去的几次比赛中的得分情况，并且知道球队B的进攻和防守能力。
现在我们希望利用概率统计和贝叶斯公式来预测球队A能够在该场比赛中取得胜利的概率。
4. 数据收集和整理我们需要收集和整理球队A在过去比赛中的得分情况，包括进球数、失球数以及比赛结果。
我们也需要收集球队B的进攻和防守数据，包括进攻时的得分能力和防守时的失球情况。
5. 建立模型建立模型是预测的关键步骤，我们可以将球队A在过去得分情况建立成一个概率分布，同时根据球队B的进攻和防守能力建立相应的概率分布。
6. 计算预测结果利用贝叶斯公式，我们可以结合球队A的历史得分情况和球队B的进攻和防守能力，计算出球队A在该场比赛中取得胜利的概率。
7. 结果分析根据计算结果，我们可以得出球队A在该场比赛中获胜的概率为X%，进一步分析得出比赛结果的不确定性以及其他可能的结果。
8. 总结与回顾通过这个例题，我们深入了解了概率统计和贝叶斯公式在体育比赛中的应用。
我们也意识到了预测结果的不确定性，以及需要对数据进行更加深入的分析和建模。
9. 个人观点和理解在实际应用中，概率统计和贝叶斯公式可以帮助我们对体育比赛结果进行更加科学的预测，同时也提醒我们要注意数据的真实性和准确性。
2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册：4.1.2第2课时全概率公式、贝叶斯公式
课时分层作业(十一) 全概率公式、贝叶斯公式(建议用时：40分钟)一、选择题1．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地的概率为( )A ．0.72B ．0.96C ．0.86D ．0.84C [设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘火车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P (B )＝0.4，P (C )＝0.6，P (A |B )＝0.8，P (A |C )＝0.9.由全概率公式得P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (C )P (A |C )＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选C.]2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )A ．0.8B ．0.832 5C ．0.532 5D ．0.482 5D [设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A 1，A 2，A 3，A 4，则它们构成样本空间的一个划分．设B ＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：P (B )＝∑4i ＝1P (A i )P (B |A i ) ＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.故选D.]3．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产12，乙、丙两厂各生产14，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )A ．0.025B ．0.08C ．0.07D ．0.125A [设A 1，A 2，A 3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B 表示次品，则P (A 1)＝0.5，P (A 2)＝P (A 3)＝0.25，P (B |A 1)＝0.02，P (B |A 2)＝0.02，P (B |A 3)＝0.04，∴P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025.故选A.]4．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为13，而乱猜正确的概率为23.在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )A.13B.23C.34D.14B [设A ＝“考生答对”，B ＝“考生知道正确答案”，由全概率公式：P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (B －)P (A |B －)＝13×1＋23×14＝12.又由贝叶斯公式：P (B |A )＝P (B )P (A |B )P (A )＝1312＝23.故选B.] 5．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )A.29B.38C.112D.58B [用A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用B k 表示丢失的一箱为k ，k ＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得P (A )＝∑3k ＝1P (B k )P (A |B k )＝12·C 24C 29＋15·C 25C 29＋310·C 25C 29＝836. P (B 1|A )＝P (B 1)P (A |B 1)P (A )＝12·C 24C 29P (A )＝336÷836＝38.故选B.] 二、填空题6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P (A |C )＝0.95，P (A －|C －)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P (C )＝0.005, 则P (C |A )＝______.(精确到0.001)0.087 [由题设，有P (C －)＝1－P (C )＝0.995，P (A |C －)＝1－P (A －|C －)＝0.05，由贝叶斯公式，得P (C |A )＝P (A |C )P (C )P (A |C )P (C )＋P (A |C －)P (C －)≈0.087.]7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．5285 915 [设A ＝“第二次取出的均为新球”，B i ＝“第一次取出的3个球恰有i 个新球”(i ＝0,1,2,3)．由全概率公式P (A )＝P (B 0)P (A |B 0)＋P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝C 36C 315·C 39C 315＋C 19C 26C 315·C 38C 315＋C 29C 16C 315·C 37C 315＋C 39C 315·C 36C 315 ＝5285 915.]8．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为25，传送“–”时失真的概率为13，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．34[设A＝收到“·”，B＝发出“·”，由贝叶斯公式P(B|A)＝P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)＋P(B－)P(A|B－)＝58×3558×35＋38×13＝34.]三、解答题9．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：(1)从乙盒取出2个红球的概率；(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．[解](1)设A1＝从甲盒取出2个红球；A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B＝从乙盒取出2个红球．则A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝C22C25×C23C27＋C23C25×C27＋C13C12C25×C22C27＝370.(2)P(A1|B)＝P(A1B)P(B)＝P(A1)P(B|A1)∑3i＝1P(A i)P(B|A i)＝170370＝13.10．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．[解]设A表示枪已校正，B表示射击中靶．则P(A)＝35，P(A－)＝25，P(B|A)＝0.9，P(B－|A)＝0.1，P(B|A－)＝0.4，P(B－|A－)＝0.6.(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A－)P(B|A－)＝35×0.9＋25×0.4＝0.7.(2)P(A－|B－)＝P(A－)P(B－|A－)P(A－)P(B－|A－)＋P(A)P(B－|A)＝25×0.625×0.6＋35×0.1＝0.8.11．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，则在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率为________．(精确到0.001)0.998[设A＝任取一产品，经检查是合格品，B＝任取一产品确是合格品，则A＝BA＋B－AP(A)＝P(B)P(A|B)＋P(B－)P(A|B－)＝0.96×0.98＋0.04×0.05＝0.942 8，故所求概率为P(B|A)＝P(B)P(A|B)P(A)＝0.96×0.980.942 8≈0.998.]12．8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8; 用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________．4049[设B1＝{使用的枪校准过}, B2＝{使用的枪未校准}, A＝{射击时中靶}，则P(B1)＝58，P(B2)＝38，P(A|B1)＝0.8，P(A|B2)＝0.3.由贝叶斯公式，得P(B1|A)＝P(A|B1)P(B1)P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＝4049.所以，所用的枪是校准过的概率为4049.]13．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下， 其价格上涨的概率为40%, 则该支股票将上涨的概率为________． 64% [记A 为事件“利率下调”，那么A －即为 “利率不变”， 记B 为事件“股票价格上涨”. 依题设知P (A )＝60%，P (A －)＝40%，P (B |A )＝80%，P (B |A －)＝40%，于是P (B )＝P (AB )＋P (A －B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝60%×80%＋40%×40%＝64%.]14．(一题两空)某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为110，114，118.现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．(1)则取得的一个产品是次品的概率为________．(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001)(1)0.083 (2)0.287 [(1)设A ＝{取得一个产品是次品}，B 1＝{取得一箱是甲厂的}，B 2＝{取得一箱是乙厂的}，B 3＝{取得一箱是丙厂的}．三个厂的次品率分别为110，114，118，∴P (A |B 1)＝110，P (A |B 2)＝114，P (A |B 3)＝118.12箱产品中，甲占612，乙占412，丙占212，由全概率公式得P (A )＝∑3k ＝1P (A |B k )P (B k )＝612×110＋412×114＋212×118≈0.083. (2)依题意，已知A 发生，要求P (B 2|A )，此时用贝叶斯公式：P (B 2|A )＝P (B 2)P (A |B 2)P (A )≈412×1140.083≈0.287.]15．某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？[解] 设A i ＝“第i 次接通电话”，i ＝ 1,2,3，B ＝“拨号不超过3次接通电话”，则事件B 的表达式为B ＝A 1∪A －1A 2∪A －1A －2A 3.利用概率的加法公式和乘法公式P (B )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＋P (A －1A －2A 3)＝P (A 1)＋P (A －1)P (A 2|A －1)＋P (A －1)P (A －2|A －1)P (A 3|A －1A －2)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.若已知最后一位数字是奇数，则P (B )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＋P (A －1A －2A 3)＝P (A 1)＋P (A －1)P (A 2|A －1)＋P (A －1)P (A －2|A －1)P (A 3|A －1A －2)＝15＋45×14＋45×34×13＝35.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
全概率公式和贝叶斯
全概率公式和贝叶斯好的，以下是为您生成的文章：在咱们的数学世界里，全概率公式和贝叶斯这俩家伙，就像是一对神秘而又实用的好搭档。
咱先来说说全概率公式。
这玩意儿啊，就像是个超级计算器，能把一堆复杂的可能性给整得明明白白。
比如说，咱假设要出门，有三种交通工具可以选：公交、地铁和打车。
坐公交迟到的概率是 20%，坐地铁迟到的概率是 10%，打车迟到的概率是 5%。
但是呢，选择坐公交的概率是 40%，坐地铁是 30%，打车是 30%。
那咱们综合算一下，总的迟到概率是多少呢？这时候全概率公式就派上用场啦，能算出一个综合的迟到概率来。
记得有一次，我和朋友约好了出去玩。
那天早上，我就在纠结到底怎么去集合地点。
脑子里就不自觉地用上了全概率公式。
要是坐公交，可能会被堵在路上，但价格便宜；地铁相对稳当一些，可还得走一段路；打车倒是快，但费用高。
我就在那算啊算，最后根据时间、费用还有可能迟到的概率，选择了地铁。
再讲讲贝叶斯。
贝叶斯公式就像是个能让我们不断更新认知的神奇工具。
比如说，一开始我们觉得某种病在人群中的发病率是 1%，但如果有了新的症状或者检查结果，贝叶斯公式就能帮我们重新评估这个人得病的概率。
有一回，我身体有点不舒服，去医院检查。
医生说某项指标有点异常，我心里那个紧张啊！然后医生就用贝叶斯的思路给我解释，说虽然这个指标异常，但结合我的年龄、症状还有其他因素，真正得病的概率其实没有那么高。
听到这个，我心里的大石头才算落了地。
全概率公式和贝叶斯，它们在生活中的应用那可真是无处不在。
比如在投资决策里，我们要考虑不同投资产品的盈利概率和我们选择它们的可能性，用全概率公式就能算出总体的盈利期望。
而贝叶斯呢，可以根据市场的新变化来调整我们对某个投资产品未来表现的看法。
在保险行业，保险公司得评估各种风险发生的概率。
像是车险，要考虑司机的年龄、驾驶记录、车型等等因素，用全概率公式算出总体的赔付概率，从而确定保险费率。
而当有了新的事故记录或者交通法规变化时，贝叶斯就能帮助更新对某个司机或者车型的风险评估。
全概率公式和贝叶斯公式
（2）从定理的证明过程来看，B1, B2, Bn互不相容
是必须有的，而 n Bk 是可有可无的，可以改为 k 1 n Bk A 。 k 1 推论2 设 B1, B2, Bn是一列互不相容的事件，对任
一事件A，且有 n Bk A, P(Bk ) 0,(k 1,2, k 1 P(A) n P(Bk )P(A / Bk ) 。
３个阄内不写字，五人依次抓取，问各人抓到“有” 字阄的概率是否相同？ 相同 怎样算出来的？ 可用乘法公式求解
2 理——理清知识原理，掌握数学思想
• 定理： 设 B1, B2, Bn是一列互不相容的事件，且 有 n Bk , P(Bk ) 0(k 1,2, ，n)则对任一事件 A，有
k 1
n
P(A) P(Bk )P(A / Bk ) k 1
例题 3 12个乒乓球中有9个新球，3个旧 球，第一次比赛时取出了3个，用完后放回去， 第二次比赛时又取出3个，求已知第二次比赛 时取到的3个球有2个是新球，求第一次比赛 时取到的3个球都是新球的概率？ （利用条件概率公式）
贝叶斯公式
• 定理： 设 B1, B2, Bn是一列互不相容的事件，且
有 n Bk , P(A) 0, P(Bk ) 0，(k 1,2, n)则对任一事件 A，
的样本空间为 2 , 那么, 对于 E2 的任一事件 A ，可 利用全概率公式求解。 • 找完备事件组的方法： （1）利用产生这种结果的所有可能现实生活，解决实际问题
• 实例：提出排球比赛赛制，热心的球迷总有提
前估计中国队夺冠可能性大小的好奇心，用全概 率公式可以满排球迷的这种好奇心。
2.1 关键词：划分（不相容）——完备事件组 2.2基本思想 全概率公式基本思想，是借助样本空间的一个划 分，把一个复杂事件分解成若干个互不相容的事件 的和事件，然后利用概率的加法公式，最后用乘法 公式求出每一小部分交事件的概率，进而解决整个 问题。全概率公式体现了数学中“整体——部分— —整体”（划整为零的思想）的思维形式，在教学 中，掌握这种重要的思维方式，有利于解决复杂问 题。
全概率公式和贝叶斯公式的选择题
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中两个重要的公式，在概率论和统计学中有着广泛的应用。
在选择题中，我们经常会遇到涉及到这两个公式的问题，因此了解和掌握这两个公式对于解题至关重要。
全概率公式是概率论中的一个重要概念，它是指在一组互斥事件中，事件A的概率可以表示为所有事件发生的概率之和。
数学表达式为：P(A) = ∑ P(A|B_i) * P(B_i)，其中B_i为一组互斥事件。
在选择题中，当我们需要计算某个事件的概率时，如果已知它与一组互斥事件的条件概率，就可以通过全概率公式来求解。
贝叶斯公式是一种根据先验概率和新的证据来更新概率的方法。
它在概率统计和机器学习中有着广泛的应用，尤其是在分类和预测问题中。
贝叶斯公式的数学表达式为：P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
在选择题中，当我们需要根据新的证据来更新某个事件的概率时，就可以使用贝叶斯公式来计算。
在选择题中，我们在使用全概率公式和贝叶斯公式时要注意以下几点：1. 确定互斥事件：在使用全概率公式时，要确保所选取的一组事件是互斥的，即它们之间没有交集。
这样才能保证全概率公式的有效使用。
2. 先验概率的选择：在使用贝叶斯公式时，要根据具体问题选择合适的先验概率。
先验概率是在获得新的证据之前，对事件概率的估计值，它的选择对于结果的准确性有着重要影响。
3. 结果解释：在计算出最终的概率后，要对结果进行合理的解释和分析。
这样才能确保我们对问题的理解和计算没有偏差。
全概率公式和贝叶斯公式在选择题中有着重要的应用价值，通过合理的运用这两个公式，我们可以更准确地计算和预测事件的概率，从而在选择题中取得更好的成绩。
个人观点和理解：全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的重要工具，在选择题中的运用可以帮助我们更深入地理解和解决问题。
通过不断的练习和思考，我们可以在实际的选择题中游刃有余地应用这两个公式，提高我们的解题能力和逻辑思维。
全概率公式和贝叶斯公式选择题
Module 8 Sports life学习目标1、学会本单元重点单词和重点词组的运用2、语法知识点：被动语态（2）重点知识点1、decide (v.)决定常见搭配:decide to do sth=make a decision to do sth 决定做某事decision (v.)决定（可数名词）常见搭配：make a decision 下决心2、beat & win【练习】单项选择（）1.--Did you the first place of the basketball match?--Of course we did. We all the other teams.A. beat; beatB.win; beatC. win; wonD.beat;win（）2.--He hasn’t watched the movie”So Yong”,has he?-- .He told me it’s very moving and interesting, he’d like to watch it again.A. Yes, he has.B. Yes, he hasn’tC.No, he hasn’tD.No, he has3、by 的用法4、take pride in...=be proud of...感到骄傲、自豪5、encourage to do sth 鼓励某人做某事be encouraged to do sth 被鼓励做某事6、from+时间+on 从...开始7、set up & found & build & put up【练习】完成句子1、去年他开了一家公司。
Last year he a new company.2.两年前，我们学校建立了一间图书馆。
A library in our school two years ago.3.中华人民共和国是在1949 年10 月1 日成立。
全概率公式和贝叶斯公式练习题
1。
设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0。
12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,求该产品合格的概率.解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品｝A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1，2则有分解B=A 1B ∪A 2B由题意P(A1)=2/5，P （A2)=3/5，P(B ｜A1)=0。
85，P(B ｜A2)=0。
88 由全概率公式P （B)= P （A 1） P （B ｜A 1)+ P(A 2） P(B ｜A 2）=0。
4＊0。
85+0.6＊0.88=0.868.2. 盒中有a 个红球,b 个黑球,今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回,并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球,求第二次抽出的是黑球的概率。
解:设A=｛第一次抽出的是黑球｝,B={第二次抽出的是黑球｝,则B AB AB =+， 由全概率公式()()()()()P B P A P B A P A P B A =+， 由题意(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b a b c +====++++++ 所以()()()()()()b b c ab b P B a b a b c a b a b c a b+=+=+++++++ 3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1,货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0。
01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
解：设B=｛中途停车修理}，A1=｛经过的是货车}，A2=｛经过的是客车}，则B=A 1B ∪A 2B ，由贝叶斯公式有111112220.02()()3()0.80.21()()()()0.020.0133P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+⨯+⨯ 4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。
全概率公式和贝叶斯公式
首先记事件A为“小孩说谎”，记事件B为“小孩可信”。
不妨设村民过去对这个小孩的印象为
我们现在用贝叶斯公式来求
，亦及这个小孩
说了一次谎后，村民对他的可信程度的改变。
在贝叶斯公式中我们要用到
，这两个概
率的含义是：前者为“可信”(B)的孩子“说谎”(A)的可能
在计算机诊断、模式识别、基因组成、蛋白质结构等
很多方面都有应用
Thomas Bayes
Born: 1702 in London, England Died: 17 Apr. 1761 in Tunbridge
Wells, Kent, England
例 解
由贝叶斯公式得所求概率为
例 解
由贝叶斯公式得所求概率为
看一个例子:
某人从任一箱中任意摸出一 球，发现是红球,求该球是取自1
号箱的概率.
或者问:
1红4白
该球取自哪号箱的可能性最
大?
12 3
这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中更为常 见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下， 探求各原因发生可能性大小.
接下来我们介绍为解决这类问题而引出的
贝叶斯公式
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4 个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人
从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求 该球是取自1号箱的概率 .
?
1红4白
12
3
?
某人从任一箱中任意摸出一球，发现
是红球，求该球是取自1号箱的概率.
1红4白
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
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全概率公式和贝叶斯公
式测习题
集团公司文件内部编码：（TTT-UUTT-MMYB-URTTY-ITTLTY-
1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。
解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品}
A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2
则有分解B=A 1B ∪A 2B
由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88
由全概率公式P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868.
2.盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。
解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式()()()()()
P B P A P B A P A P B A =+， 由题意(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b a b c +====++++++ 所以()()()()()()b b c ab b P B a b a b c a b a b c a b
+=+=+++++++ 3.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
解：设B={中途停车修理}，A1={经过的是货车}，A2={经过的是客车}，则B=A 1B ∪A 2B ，由贝叶斯公式有
4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。
求下列事件的概率：
(1)随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
(2)合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解(1)记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知10/6)|(1=A B P ，14/8)|(2=A B P ，所以 (2)12
72414)(==B P。