2010年北京市初二数学竞赛试卷

2010年北京市初二数学竞赛试卷© 2012 菁优网
一、选择题（每小题5分，共25分）
1、设x，y为实数，满足，则x2+y2的值是（）
A、2
B、3
C、4
D、5
2、如图，直线a∥b，∠4﹣∠3=∠3﹣∠2=∠2﹣∠1=d＞0，其中∠3＜90°，∠1=50°，则∠4的最大可能的整数值是（）
A、107°
B、108°
C、109°
D、110°
3、设p是质数，则满足|a+b|+（a﹣b）2=p的整数对（a，b）共有（）对．
A、3
B、4
C、5
D、6
4、设△ABC的三边长分别为BC=2，CA=3，AB=4，h a，h b，h c分别表示边BC、CA、AB上的高，则
=（）
A、B、
C、D、
5、如图，正方形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，已知线段OD、AD的长都是正整数，．则满足上述条件的正方形ABCD面积的最小值是（）
A、324
B、331
C、354
D、361
二、填空题（每小题7分，共35分）
6、如图，已知AB=2，BC=AE=6，CE=CF=7，BF=8，则四边形ABDE与△CDF面积的比值是_________．
7、已知，，则k=_________．
8、如图，在四边形ABCD中，设∠BAD+∠ADC=270°，且E、F分别为AD、BC的中点，EF=4，阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆，则这两个半圆面积的和是_________（圆周率为π）．
9、计算：
=_________．
10、如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接六个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的顶点．则这六个小正方形的面积和是_________．
三、解答题（共40分）
11、如图，在凸五边形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA，∠ABC=2∠DBE．求证：∠ABC=60°．
12、能否2010写成k个互不相等的质数的平方和？如果能，试求k的最大值；如果不能，请简述理由．
13、某次初二数学竞赛，共有99所学校中学报名参加，每校参赛者中既有男选手，也有女选手，证明：存在其中的50所学校的男选手总数不小于全部男选手总数的一半，且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．
答案与评分标准
一、选择题（每小题5分，共25分）
1、设x，y为实数，满足，则x2+y2的值是（）
A、2
B、3
C、4
D、5
考点：完全平方公式；解一元二次方程-因式分解法。

分析：根据x+y=1，得出x2+y2=1﹣2xy，再利用x4+y4=，得出（1﹣2xy）2﹣2x2y2=，进而求出xy的值，即可得出
答案．
解答：解：∵x+y=1，
∴x2+y2+2xy=1，
∴x2+y2=1﹣2xy，
∵x4+y4=，
∴（x2+y2）2﹣2x2y2=，
∴（1﹣2xy）2﹣2x2y2=，
整理得出：2x2y2﹣4xy+1=，
解得：xy=1±，
∴x2+y2=1﹣2（1+1.5）=﹣4（不合题意舍去）或x2+y2=1﹣2（1﹣1.5）=2．
故选：A．
点评：此题主要考查了完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法，熟练地应用完全平方公式得出xy=1±是解
决问题的关键．
2、如图，直线a∥b，∠4﹣∠3=∠3﹣∠2=∠2﹣∠1=d＞0，其中∠3＜90°，∠1=50°，则∠4的最大可能的整数值是（）
A、107°
B、108°
C、109°
D、110°
考点：平行线的性质。

专题：计算题。

分析：利用∠4﹣∠3=∠3﹣∠2=∠2﹣∠1=d＞0变形得到∠4=2∠3﹣∠2，2∠2=∠3+50°，于是得到2∠4=3∠3﹣50°，而∠3＜90°，则∠4＜110°，即可得到4的最大可能的整数值．
解答：解：∵∠4﹣∠3=∠3﹣∠2，
∴∠4=2∠3﹣∠2，
又∵∠3﹣∠2=∠2﹣∠1，∠1=50°，
∴2∠2=∠3+50°，
∴2∠4=4∠3﹣2∠2=4∠3﹣∠3﹣50°=3∠3﹣50°，
∴∠3=，
而∠3＜90°，
∴＜90°，
∴∠4＜110°，
∴∠4的最大可能的整数值是109°．
故选C．
点评：本题考查了直线平行的性质：两直线平行同位角相等．
3、设p是质数，则满足|a+b|+（a﹣b）2=p的整数对（a，b）共有（）对．
A、3
B、4
C、5
D、6
考点：整数问题的综合运用。

分析：因为a、b都是整数，所以|a+b|与（a﹣b）2的奇偶性相同，所以P为偶数，偶数中只有2是质数，所以P=2，因为|a+b|与（a﹣b）2都是非负数，（a﹣b）2是完全平方数所以（a﹣b）2只能为0或者1．
解答：解：由于a+b+a﹣b=2a，而2a为偶数，推出|a+b|+（a﹣b）2=P必为偶．
在质数中，唯一的偶质数只有2一个，故P=2．
则|a+b|+（a﹣b）2=2，
可知：任何整数的平方最小是0，然后是1，4，9…所以此处的（a﹣b）2只有0和1两个选择：
①当（a﹣b）2=0，则|a+b|=2，
解得：a=b，
所以|2b|=2，|b|=1，则a=b=±1；
②（a﹣b）2=1，则|a+b|=1，
解得：a﹣b=±1，a+b=±1，
组成4个方程组：
a﹣b=1
a+b=1，解之得：a=1，b=0；
a﹣b=1
a+b=﹣1，解之得：a=0，b=﹣1；
a﹣b=﹣1
a+b=1，解之得：a=0，b=1；
a﹣b=﹣1
a+b=﹣1，解之得：a=﹣1，b=0．
综上，符合条件的整数对（a，b）共有6对：（1，1）（﹣1，﹣1）（1，0）（0，﹣1）（0，1）（﹣1，0）．
故选D．
点评：此题主要考查了整数问题的综合应用，解答本题的关键是判断出P的值，再依次推导出|a+b|和（a﹣b）2的值即可．
4、设△ABC的三边长分别为BC=2，CA=3，AB=4，h a，h b，h c分别表示边BC、CA、AB上的高，则
=（）
A、B、
C、D、
考点：三角形的面积。

专题：计算题。

分析：根据三角形的面积公式列出关于h a，h b，h c间的关系式BC•h a=CA•h b=AB•h c，然后求得它们之间的数量
关系，将这种数量关系代入化简后的代数式并求值．
解答：解：∵△ABC的三边长分别为BC=2，CA=3，AB=4，h a，h b，h c分别表示边BC、CA、AB上的高，
∴BC•h a=CA•h b=AB•h c，即2h a=3h b=4h c；
故设2h a=3h b=4h c=t（t＞0），则h a=，h b=，h c=，
∴=（++）（++）=•=，即
=．
故选B．
点评：本题考查了三角形的面积．解答此类题目，可以利用比例的基本性质将h a，h b，h c间的数量关系解答出来．5、如图，正方形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，已知线段OD、AD的长都是正整数，．则满足上述条件的正方形ABCD面积的最小值是（）
A、324
B、331
C、354
D、361
考点：一次函数综合题。

分析：根据直线将正方形分成面积相等的两部分，可见OE必过正方形ABCD的中心O′，设BE=a，OD=m，表示出O′的坐标，将坐标代入OE的解析式y=kx，求出m的值，再根据线段OD、AD的长都是正整数，求出a的最小值．
解答：解：OE一定过正方形ABCD的中心O′．不妨设BE=a，OD=m．
∴CE=20a，正方形边长为21a；
∴O′（m+10.5a，10.5a），E（m+21a，20a），
设OE解析式为y=kx，
∴k（m+10.5a）=10.5a，k（m+21a）=20a，
∴=，
化简得：m=a，
∵线段OD、AD的长都是正整数，
∴m，21a都是正整数，
∴21a的最小值为19，此时m=1．
此时正方形ABCD的最小面积为（21a）2=192=361．
故选D．
点评：本题考查了一次函数与正方形的性质，找到OE一定过正方形ABCD的中心O′并设出心O′的坐标是解答此类题目的关键．
二、填空题（每小题7分，共35分）
6、如图，已知AB=2，BC=AE=6，CE=CF=7，BF=8，则四边形ABDE与△CDF面积的比值是1．
考点：面积及等积变换。

专题：数形结合。

分析：由题意得AC=CB+BA=8，可得AC=BF，利用SSS可证得△AEC≌△BCF，从而可得S△AEC=S△BCF，也就得出S△CDF+S△CDB=S ABDE+S△CDB，这样可求出四边形ABDE与△CDF面积的比值．
解答：解：由题意得AC=CB+BA=8，
∴AC=BF，
在△AEC和△BCF中，
∴△AEC≌△BCF，∴S△AEC=S△BCF，
故可得S△CDF+S△CDB=S ABDE+S△CDB⇒S ABDE=S△CDF，
∴四边形ABDE与△CDF面积的比值是1．
故答案为：1．
点评：本题考查了面积及等积变换的知识，难度一般，根据题意证明△AEC≌△BCF是解答本题的关键，另外要注意等量代换在解答数学题目中的运用．
7、已知，，则k=﹣1．
考点：分母有理化。

专题：计算题。

分析：先从等式右边进行分母有理化，即原式=﹣2，然后依次循环即可求k的值．
解答：解：由原式可知=+2﹣4=﹣2，
∴4+=+2，
依次类推得：=+2，
∴k=﹣1．
故答案为﹣1．
点评：本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分母有理化，那样会简便些．
8、如图，在四边形ABCD中，设∠BAD+∠ADC=270°，且E、F分别为AD、BC的中点，EF=4，阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆，则这两个半圆面积的和是8π（圆周率为π）．
考点：面积及等积变换；平行线的性质；三角形内角和定理；勾股定理；三角形中位线定理；多边形内角与外角；圆的认识。

专题：计算题。

分析：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，EM交BC于N，根据三角形的中位线定理推出EM=AB，FM=CD，
EM∥AB，FM∥CD，推出∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，求出∠EMF=90°，根据勾股定理求出ME2+FM2=16，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可．
解答：解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，延长EM交BC于N，
∵∠BAD+∠ADC=270°，
∴∠ABC+∠C=360°﹣270°=90°，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM=AB，FM=CD，EM∥AB，FM∥CD，
∴∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90°，
∴∠NMF=180°﹣90°=90°，
∴∠EMF=90°，
由勾股定理得：ME2+FM2=EF2=42=16，
∴阴影部分的面积是：π+=π×（ME2+FM2）=π×16=8π．
故答案为：8π．
点评：本题主要考查对勾股定理，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，三角形的中位线定理，圆的面积，平行线的性质，面积与等积变形等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并求出ME2+FM2的值是解此题的关键．9、计算：
=．
考点：有理数的混合运算。

专题：规律型。

分析：把前面2010个分数的和看作被减数，后面2009个分数的和的看作减数，本题就是求它们的差．由于被减数中每一个分数的分子都是1，分母都是2个数的乘积，且这两个数的和为1+2010=2+2009=…=2010+1=2011，所以将每一个分数改写成两个分数的和，==（+），==（+），依此类推，=（+）；同理，减数中每一个分数也可以改写成两个分数的和，=（+），=（+），…，=（+），然后根据运算法则及乘法的分配律计算即可．
解答：解：
=（++++…++）﹣×（++++…++）
=（++++…++﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）
=（+）
=×
=．
故答案为：．
点评：本题考查了有理数的混合运算，属于竞赛题型，难度较大．关键是通过观察，发现分数之间的特点，从而将每一个分数改写成两个分数的和．
10、如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接六个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的顶点．则这六个小正方形的面积和是．
考点：面积及等积变换。

专题：综合题；数形结合。

分析：如图，过点Q作QF⊥AD，垂足为F，可以得到△BQP∽△FQN，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到QB和DN，根据勾股定理可求QN的长，从而求出六个小正方形的面积和．
解答：解：如图所示：
∵正方形ABCD边长为10，
∴∠A=∠B=90°，AB=10，
过点Q作QF⊥AD，垂足为F，则∠4=∠5=90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴∠2+∠3=90°，QF=AB=10，
∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠PQB，
∴△BQP∽△FQN，
∴==，
∴=，
∴QB=2．
∴AF=2．
同理DN=2．
∴NF=AD﹣DN﹣AF=6．
∴QN===2，
∴小正方形的边长为，
则六个小正方形的面积和是6×（）2=．
故答案为：．
点评：考查了面积及等积变换，本题主要利用相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性质和勾股定理，综合性较强，有一定的难度．
三、解答题（共40分）
11、如图，在凸五边形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA，∠ABC=2∠DBE．求证：∠ABC=60°．
考点：等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质。

分析：等腰三角形的底角相等，一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
解答：解：
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，同理∠CBD=∠CDB．
∵∠ABC=2∠DBE，
∴∠ABE+∠CBD=∠DBE．
∵∠ABE=∠AEB，∠CBD=∠CDB，
∴∠AEB+∠CDB=∠DBE，
∴∠AED+∠CDE=180度．
∴AE∥CD，
∵AE=CD，
∴四边形AEDC为平行四边形．
∴DE=AC=AB=BC．
∴三角形ABC是等边三角形所以∠ABC=60°
点评：本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理．
12、能否2010写成k个互不相等的质数的平方和？如果能，试求k的最大值；如果不能，请简述理由．
考点：质数与合数。

专题：探究型。

分析：先把2010分解成分解为几个质数的平方和的形式，再求出k的值即可．
解答：解：∵22+32+72+132+172+232+312=2010；
22+32+72+112+132+172+372=2010．
∴k=7．
点评：本题考查的是质数与合数，能把2010分解为几个互不相等的质数的平方和的形式是解答此题的关键．
13、某次初二数学竞赛，共有99所学校中学报名参加，每校参赛者中既有男选手，也有女选手，证明：存在其中的50所学校的男选手总数不小于全部男选手总数的一半，且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．考点：推理与论证。

专题：应用题。

分析：根据题意通过假设的方法依次进行论证．
解答：解：（1）如果有50所学校的男选手总数大于或等于全部男选手总数的一半，那就无需证明成立了，
（2）如果有50所学校的男选手总数小于全部男选手总数的一半，那么剩下的49所学校的男选手总数就应该超过全部男选手总数的一半，
因此，这49所学校的男选手数再任加1所学校的男选手数，其总数也必超过男选手总数的一半，
同样道理，可证参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．
点评：本题主要考查了推理与论证的方法，需要考虑周全，比较简单．
参与本试卷答题和审题的老师有：
zhangjx111；gbl210；gsls；冯延鹏；ZJX；caicl；HLing；bjf；fzf；HJJ；nhx600。

（排名不分先后）菁优网
2012年2月15日。