2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(四川成都卷)

2024年中考数学考前押题密卷（四川成都卷）
全解全析
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．2024的倒数是（）
A．2024
−B．2024C．
1
2024
−D．
1
2024
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【解析】解：∵
1 20241
2024
⨯=
，
∴2024的倒数是
1 2024，
故选：D．
2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块组成，其主视图是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】从正面看：共有3列，从左往右分别有1，2，1个小正方形；据此可画出图形．
【解析】如图所示的几何体的主视图是．故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
3．纳米是一种长度单位，常用于度量物质原子的大小，1纳米910−=米，已知某种植物孢子的直径为45000纳米，用科学记数法表示该孢子的直径为（ ） A ．.64510−⨯米 B ．.54510−⨯米 C ．54510−⨯米 D ．.704510−⨯米
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．
【解析】-94-95
450004500010m=4.51010 4.510nm m m =⨯⨯⨯=⨯－ ．
故选：B
【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是熟练的掌握用科学记数法表示较小的数． 4．下列运算正确的是（ ） A ．236a a a ⋅= B ．235236a a a =⋅ C ．()2
2433a a =
D ．2235a a a +=
【答案】B
【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是利用同底数幂的乘法、单项式的乘法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项对各选项逐一分析即可．
【解析】解：A ．2356
a a a a ⋅=≠，故此选项不符合题意；
B ．235
236a a a =⋅，故此选项符合题意；
C ．
()2
244
393a a a =≠，故此选项不符合题意；
D ．2
2355a a a a +=≠，故此选项不符合题意． 故选：B ．
5．如图，OE AB ⊥于E ，若O 的直径为10cm ，3cm OE =，则AB 长为（ ）.
A ．4cm
B ．5cm
C ．6cm
D ．8cm
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，根据勾股定理求出BE 的长是解此题的关键． 【解析】解：如图，连接OB ，OA ，
，
O 的直径为10cm ，
5cm OA OB ∴==，
OE AB ⊥于E ，
2AB BE ∴=，
4cm BE OB ==， 28cm AB BE ∴==，
故选：D ．
6．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为边BC 的中点，连接OE ．若1216AC BD ==，，则OE 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理．由菱形的性质得到
1
62OC AC =
=，182OB BD ==，AC BD ⊥，由勾股定理求出BC 的长，由直角三角形斜边中线的性质，即
可求出OE 的长．
【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴
1
62OC AC =
=，182OB BD ==，AC BD ⊥，
10CB \=，
E 为边BC 的中点， 1
OE BC 52∴=
=．
故选：C ．
7．《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》.其中在《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问绳子、木条长多少尺？”，设绳子长为x 尺，木条长为y 尺，根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A ． 4.51
12x y y x −=⎧⎪⎨−=⎪⎩
B ． 4.5
1
12x y y x +=⎧⎪⎨−=⎪⎩ C ． 4.5112x y x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩
D ． 4.5112x y x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩
【答案】A
【分析】本题的等量关系是:绳长-木长 4.5=;木长1
2−
绳长=1,据此可列方程组求解.
【解析】解:设绳长x 尺,长木为y
依题意得 4.51
12x y y x −=⎧⎪⎨−=⎪⎩, 故选A.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找出等量关系是解决本题的关键. 8．在同一坐标系中，二次函数2y ax b =+的图象与一次函数y bx a =+的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数、一次函数图像与系数的关系，对每个选项一一判断即可．
【解析】A．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a>0，b<0，故A选项不可能．B．由一次函数图像可得：a>0，b<0；由二次函数图像可得：a>0，b>0，故B选项不可能．
C．由一次函数图像可得：a<0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b>0，故C选项可能．
D．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b<0，故D选项不可能．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，根据一次函数、二次函数图像判断系数的正负是解题关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．在实数范围内因式分解：3
44
a a
−=．
【答案】
()() 411 a a a
+−
【分析】先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可．
【解析】解：
()()() 32
4441411
a a a a a a a
−=−=+−
，
故答案为
()() 411
a a a
+−
．
【点睛】本题主要考查运用提公因式法、公式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．
10．若分式
225
5
x
x
−
−
的值为0，则x的值为
【答案】－5
【解析】由题意得：x2-25=0且x-5≠0，解之得x=-5．
故答案为：-5．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子的值为0；（2）分母的值不为0．这两个条件缺一不可．
11．如图，在ABC 中，,BAC ABC ∠∠的平分线交于点D ，过点D 作EF AB ∥，分别交,AC BC 于点E ，F ．当
2,4AE BF ==时，EF 的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义．根据角平分线的定义可得,BAD CAD ABD CBD ∠=∠∠=∠，根据平行线的性质可得,BAD ADE ABD BDF ∠=∠∠=∠，进一步可得,CAD ADE CBD BDF ∠=∠∠=∠，可得,DE AE DF BF ==，进一步可得EF 的长．
【解析】解：∵AD ，BD 平分,BAC ABC ∠∠， ∴,BAD CAD ABD CBD ∠=∠∠=∠， ∵EF AB ∥，
∴,BAD ADE ABD BDF ∠=∠∠=∠， ∴,CAD ADE CBD BDF ∠=∠∠=∠， ∴2,4DE AE DF BF ====， ∴246EF DE DF =+=+=， 故答案为：6．
12．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与直线a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，若AC =4，CE =8，
BD =3，则DF 的值是 ．
【答案】6
【分析】根据平行线分线段成比例得438DF =
，即可得出DF 值．
【解析】解：∵直线a ∥b ∥c ， ∴AC BD CE DF =即43
8DF =
，
∴DF ＝6． 故答案为：6．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，62ACB ∠=︒，按以下步骤作图：（1）以点B 为圆心，适当长为半径
画弧，分别交线段BA ，BC 于点M ，N ；（2）以点C 为圆心，BM 的长为半径画弧，交线段CB 于点D ；（3）以点D 为圆心，MN 的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点E ；（4）过点E 作射线CE ，与BA 相交于点F ，则AFC ∠= ︒．
【答案】56
【分析】本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，关键是由基本作图得到BCF B ∠=∠． 由作图可知：BCF B ∠=∠，由直角三角形的性质得到9028B ACB ∠=︒−∠=︒，由三角形外角的性质求出56AFC B BCF ∠=∠+∠=︒．
【解析】解：由作图知：BCF B ∠=∠，
∵90A ∠=︒，62ACB ∠=︒，∴9028B ACB ∠=︒−∠=︒， ∴28BCF ∠=︒，∴56AFC B BCF ∠=∠+∠=︒．故答案为：56．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）()1
计算：0214sin45(3)()3
π−−−+−−；
()2解不等式组：()324
12123x x x x ⎧−−≥⎪⎨−−<⎪⎩
，并在数轴上表示它的解集．
【解析】
()1
原式
419=
−8=8=−；
()2解不等式()324x x −−≥，得：1x ≤，
解不等式
121
23x x −−<，得：1x >−， 则不等式组的解集为11x −<≤， 将解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查的是实数的混合运算与解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（8分）一天中午，小旭和小华两人想利用所学知识测量当地一座古塔的高度AB （古塔的底部不可到达），
如图所示，小旭先在塔影子的顶端C 处竖立长为1.5m 的标杆CD ，测得标杆的影长CE 为2m ，此时小华在标杆的影子顶端E 处放置测角仪EF ，测得塔顶端B 的仰角为35︒，已知测角仪EF 的高度为1.5m ，EF AE ⊥，CD AE ⊥，AB AE ⊥，点A ，C ，E 在同一水平直线上，求该古塔的高度AB ．（参考数据：
tan350.70︒≈，sin350.57︒≈，cos350.82︒≈）
【解析】解：如图：
设m AC x =，
由题意得：
CE AC
CD AB =， ∴21.5x AB =
， ∴0.75AB x =，
由题意得： 1.5m EF CD AG ===，2m DF CE ==，m DG AC x ==， ∴(2)m FG DF DG x =+=+， 在Rt BFG △中，35BFG ∠=︒， ∴tan 350.7(2)m BG FG x =⋅︒≈+， ∵AG BG AB +=， ∴1.50.7(2)0.75x x ++=， 解得：58x =， ∴58m AC =，
∴0.7543.5(m)AB x ==， ∴该古塔的高度AB 约为43.5m ．
16．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：A “剪纸”、B “沙画”，
C “葫芦雕刻”，
D “泥塑”，
E “插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进
行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为______；统计图中的=a ______，b =______．
(2)通过计算补全条形统计图．若该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数； (3)剪纸比较优秀的是1A ，2A 两名女生和1B 男生三名同学，若从比较优秀的3名同学中随机选取两名同学，参加市举办的剪纸比赛，请利用列表法或树状图法，求恰好选到一名男生和一名女生的概率． 【解析】（1）解：1815%120÷=名，
∴本次调查的学生人数为120名，即样本容量为120， ∴12010%12a =⨯=，12030%36b =⨯=， 故答案为：120，12，36；
（2）解：E 类别的人数为：1201812303624−−−−=（人）
补全条形统计图如图所示：
C 类别所占的百分比为：3012025%÷=，250025%625⨯=（人） ∴全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为625人． （3）解：画树状图如下：
由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中恰好选到一名男生和一名女生的结果数有4种， ∴恰好选到一名男生和一名女生的概率
4263=
=
．
17．（10分）如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，过点D 的直线EF 交AC 于
点F ，交AB 的延长线于点E ，且2BAC BDE ∠=∠．
(1)求证：DF 是O 的切线；
(2)当2,30CF E =∠=︒时，求图中阴影部分的面积． 【解析】（1）证明：如图1，连接OD ，AD
∵AB 是O 的直径 ∴90ADB ∠=︒ ∴AD BC ⊥ ∵AB AC = ∴2BAC BAD ∠=∠ ∵2BAC BDE ∠=∠ ∴BDE BAD ∠=∠ ∵OA OD = ∴BAD ADO ∠=∠ ∵ADO ODB 90∠+∠=︒ ∴90BDE ODB ∠+∠=︒ ∴90ODE ∠=︒即DF OD ⊥ 又∵OD 是O 的半径 ∴DF 是O 的切线．
（2）解：如图2，过点D 作DM AE ⊥于点M ，
∵AB AC AD BC ⊥=， ∴BD CD = ∵BO AO =
∴OD 是ABC 的中位线 ∴
12OD AC OD AC =
∥，
∵30E OD DF ︒∠=⊥， ∴60DOE ∠=︒
∵OD AC ∥，∴60CAB DOE ∠=∠=︒ ∴ACB △和BOD 为等边三角形 在Rt CFD △中，9060CFD C ︒∠︒∠==， ∴30CDF ∠=︒ ∴4CD =
∴4OD BD CD ===
在Rt ODM 中，304ODM OD ︒∠==，
∴DM =
∵
BOD
BOD S S S =−阴影
扇形，26041=43602π⨯−⨯⨯83π
=−
∴阴影部分的面积为83π
−
90°，中位线，含30°的直角三角形，等边三角形的判定与性质，扇形的面积等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18．（10分）已知点(),5m m +、()2,1m m ++均在反比例函数()0k
y x x
=>的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，点P 是反比例函数()0k
y x x
=>图象上一点，PA x ⊥轴于点A ，点B 是y 轴上一点，BD BA ⊥交射线AP 于点D ，点M 为线段BD 上一点，连接MA ，点C 为MA 的中点，点N 为射线AP 上一点，当
四边形MBCN 为菱形且面积为P 的坐标；
(3)如图2，点Q 为反比例函数图象()20y x x
=<上一动点，过Q 作QE y ⊥轴于点E ，连接QO 并延长，交反比例函数()0k
y x x
=>图象于点H ，过E 作EF OQ ∥，交反比例函数()0k y x x
=>图象于点F ，连接OF ，试判断EOF S △是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）解：∵(),5m m +、()2,1m m ++均在反比例函数()0k
y x x =>的图象上，
∴
()()()
521k m m m m =+=++，
解得1m =，6k =， ∴反比例函数表达式为
6y x =
；
（2）如图，连接BN ，
∵MBCN 为菱形，
∴,BM BC MN BMC NMC ∠∠===， ∵BD BA ⊥，点C 为MA 的中点，
BM BC CM ∴==，
∴6030BMC BAM ∠∠=︒=︒，， ∴ABM ANM ≌， ∴30BAM NAM ∠∠==︒， ∴30BAO ∠=︒， 令2CM t BM ==，
∵
1
2BMNC S CM BN ==
⨯⨯菱形，
∴
BN =
，
又∵2(sin 60)BN BM =⨯︒=，
∴1
1t t ==−，(舍)， ∴2BM =，
在Rt AMB 中，30BAM ∠=︒，
∴AB ==， ∵30BAO ∠=︒，
∴
3OA AB =，
又∵点P 是反比例函数()0k
y x x =
>图象上一点，
∴点P 的坐标为
()32，．
（3）过点F 作FG x ⊥轴于点G ，EF 与x 轴交于点T ，
设点2,Q a a ⎛⎫
⎪⎝
⎭，点F 坐标为,k b b ⎛⎫ ⎪
⎝⎭， 则
2k
QE a OE FG a b =−=−=
，，， ∵四边形QETO 是平行四边形， ∴EQO ETO QE OT a ∠∠===−，， ∵ETO FTG ∠=∠, ∴EQO FTG ∠=∠， 又∵90OEQ FGT ∠∠==︒， ∴OEQ FGT ∽，∴
FG TG
OE QE =
，
∴TG OG OT b a =−=+，∴2k
b a
b a a +=−−
，解得b a =，
∵a ，b 异号，0k >，
∴b a =
，
∴
11222EOF
S
OE b b a ⎛⎫=⨯⨯=⨯−⨯= ⎪⎝⎭，
由（1）知6k =，
∴
EOF
S
=
，为定值．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的图像上点的特点，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
B 卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知m 是一元二次方程2510x x −−=的一个根，则220225m m −+的值为 ． 【答案】2021
【分析】根据已知条件得2
51m m −=，然后将其代入所求代数式，即可求解．
【解析】解：
m 是一元二次方程2510x x −−=的一个根，
251m m ∴−=，
220225m m ∴−+=2
2022(5)m m −−=20221−=2021．
故答案为：2021．
【点睛】此题考查了代数式的求值与一元二次方程的根的概念，熟练运用相关概念与整体代入的思想是解此题的关键．
20．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在
阴影区域的概率为 ．
【答案】1
3
【分析】如图，将阴影部分分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a ，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可． 【解析】解：如图，
根据题意得：图中每个小三角形的面积都相等，
设每个小三角形的面积为a ，则阴影的面积为6a ，正六边形的面积为18a ，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为
61
183a a =． 故答案为：1
3．
【点睛】本题主要考查几何概率，根据正六边形的性质得到图中每个小三角形的面积都相等是解题的关键．
21．若数a 关于x 的不等式组()()11223321x
x x a x ⎧−≤−⎪⎨⎪−≥−⎩
恰有两个整数解，且使关于y 的分式方程132211y a y y −−=−−−的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是 ． 【答案】5
【分析】先解不等式得出解集x≤2且x≥25a +，根据其有两个整数解得出0＜2
5a +≤1，解之求得a 的范围；解分式方程求出y ＝2a −1，由解为正数且分式方程有解得出2a −1＞0且2−a 1≠1，解之求得a 的范围；综合以上a 的范围得出a 的整数值，从而得出答案．
【解析】解：()()11223321x x x a x ⎧−≤−⎪⎨
⎪−≥−⎩①②
解不等式①得：x≤2
解不等式②得：x≥25a + ∵不等式组恰有两个整数解，
∴0＜25a +≤1 解得32
a −≤＜， 解分式方程132211y a
y y −−=−−−得：21y a =−， 由题意知210211a a −>⎧⎨−≠⎩，解得
12a >
且1a ≠ 则满足32
a −≤＜，1
2a >
且1a ≠的所有整数a 的值是2和3；
它们之和是2+3=5 故答案为：5
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和求方程的正数解，解题的关键是根据不等式组整数解和方程的正数解得出a 的范围，再求和即可．
22．如图，抛物线241y x x =−++与y 轴交于点P ，其顶点是A ，点P '的坐标是()3,2−，将该抛物线沿PP '方
向平移，使点P 平移到点P '，则平移过程中该抛物线上P 、A 两点间的部分所扫过的面积是 ．
【答案】18
【分析】将0x =代入求P 点坐标，由
()2
24125
y x x x =−++=−−+，可知A 点坐标，如图，连接PA ，AA '，
A P ''，过A 作BC x ∥轴，交y 轴于
B ，过P '作DE x 轴，交y 轴于D ，过A '作E
C BC ⊥于C ，交DE 于E ，
则四边形BCED 是矩形，
()()()()
0,55,50,25,2B C D E −−，，，，由题意知四边形APP A ''的面积即为平移过
程中该抛物线上P 、A 两点间的部分所扫过的面积，根据ABP
PDP ACA A EP BCED APP A S S S
S
S
S
'
'
''
''=−−−−矩形四边形，
计算求解即可．
【解析】解：当0x =时，1y = ∴()
0,1P
∵()2
24125
y x x x =−++=−−+
∴()
2,5A
∵
()
3,2P '−，抛物线沿PP '方向平移
∴A 平移后的点坐标为
()
5,2A '
如图，连接PA ，AA '，A P ''，过A 作BC x ∥轴，交y 轴于B ，过P '作DE x 轴，交y 轴于D ，过A '作EC BC ⊥于C ，交DE 于E
∴四边形BCED 是矩形，
()()()()
0,55,50,25,2B C D E −−，，，
由题意知四边形APP A ''的面积即为平移过程中该抛物线上P 、A 两点间的部分所扫过的面积 ∴
ABP
PDP ACA A EP BCED APP A S S S
S
S
S
'
'
''
''=−−−−矩形四边形
1111
=7542333342
2222⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯ 18=
故答案为：18．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，二次函数与面积综合等知识．解题的关键在于确定P 、A 两点间的部分．
23．如图：正方形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在BC 的延长线上，且AE CF =，DG EF ⊥于H 交BC 于
G ．若3
tan 4
BHG ∠=
，BGH V 的面积为3，求DK 的长为 ．
【答案】5
【分析】如图，连接DE DF 、，作BM EF ⊥于M ，BN DG ⊥于N ，则四边形BMHN 是矩形，由
3
tan tan 4MH BHG HBM BM ∠=∠=
=
，可以假设34MH BN k BM k ===，，则5BH k =，证明EAD FCD ≌
△△，进而证明DEF 是等腰直角三角形，则有5EH HF BH k ===，再根据条件求出k ，进一步证明
DHK BME ∽，得
DK DH BE BM =，由此即可解决问题． 【解析】解：如图，连接DE DF 、，作BM EF ⊥于M ，BN DG ⊥于N ．则四边形BMHN 是矩形
3
tan tan 4MH BHG HBM BM ∠=∠=
=
，
∴设34MH BN k BM k ===，，则5BH k =，
在EAD 和FCD 中，
AD DC A FCD AE CF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴EAD FCD ≌
△△， ∴DE DF ADE CDF =∠=∠，， ∴90EDF ADC ∠=∠=︒， ∴EDF 是等腰直角三角形， ∵DG EF ⊥，
∴5EH HF BH k ===， ∵HG
BM ，
∴FHG FMB ∽， ∴GH HF BM FM =
，
5
2GH k
∴=，
∵BGH V 的面积为3， ∴15
3322k k ⨯⨯=，
∴
245k =
， ∵0k >，
∴
k =
，
∴
4DH BH EM BE ===
==，
∵BEM DKH BME DHK ∠∠=∠∠=，， ∴DHK BME ∽，
∴
DK DH
BE BM =，
4DK =， ∴5DK =， 故答案为：5．
【点睛】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重
要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）某品牌山地自行车经销商经营的A 型车去年销售总额为50000元，今年每辆车的售价比去年降
低500元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少12500元．A 、B 两种型号车今年的进货和销售价格信息如表所示．
（1）今年A 型车每辆售价为多少元?
（2）该品牌经销商计划新进一批A 型车和B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的3倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批自行车售出后获利最多?最大利润是多少? 【解析】解：（1）今年A 型车每辆售价为m 元，由题意得：500005000012500
m 500m −=
+，
解得：1500m =，
经检验，1500m =是方程的解，且符合题意．
1500m ∴=（元），
答：今年A 型车每辆售价为1500元；
（2）设经销商新进A 型车x 辆，则B 型车为60x −（）辆，获利y 元．由题意得：
150011002000140060y x x =−+−−（）（）（），
即20036000y x =−+，
B 型车的进货数量不超过A 型车数量的2倍，
603x x ∴−≤，15x ∴≥，
由y 与x 的关系式可知，2000−<，y 的值随x 的值增大而减小．
15x ∴=时，y 的值最大，最大利润为33000元． 60601545x ∴−=−=（辆），
∴当经销商新进A 型车15辆，B 型车45辆时，获利最多，最大利润为33000元．
答：当经销商新进A 型车15辆，B 型车45辆时，获利最多，最大利润为33000元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练
掌握一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据等量关系列出分式方程．
25．（10分）平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(2,0)，(0,3)，点D 是经过点B ，
C 的抛物线2y x bx c =−++的顶点． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标；
（3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动，若平移后的抛物线与射线．．BD 只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围．
【解析】（1）矩形OABC ， ∴OC=AB ，
A(2，0)，C(0，3)， ∴OA=2，OC=3， ∴B(2，3)，
将点B ，C 的坐标分别代入二次函数解析式，
423
3b c c −++=⎧⎨
=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
， ∴抛物线解析式为：2
23y x x =−++．
（2）如图，在对称轴上取一点E ，连接EC 、EB 、EA ，当点C 、E 、A 三点共线时，EA+EC 最小，即EAB 的周长最小，
设直线解析式为：y=kx+b ，
将点A 、C 的坐标代入可得：203k b b +=⎧⎨=⎩，解得：323
k b ⎧
=−
⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数解析式为：
3
=32y x −
+．
223
y x x
=−++=2
(1)4
x−+
-，
∴D(1，4)，
令x=1，y=
3
3
2
−+
=
3
2．
∴E(1，
3
2)．
（3）设直线CD解析式为：y=kx+b，
C(0，3)，D(1，4)，
∴
4
3
k b
b
+=
⎧
⎨
=
⎩，解得
1
3
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩，
∴直线CD解析式为：y=x+3，
同理求出射线BD的解析式为：y=－x+5(x≤2)，
设平移后的顶点坐标为(m，m+3)，
则抛物线解析式为：y=－(x－m)2+m+3，
①如图，当抛物线经过点B时，－(2－m)2+m+3=3，解得m=1或4，∴当1<m≤4时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点；
②如图，当抛物线与射线恰好只有一个公共点H时，
将抛物线解析式与射线解析式联立可得：－(x －m)2+m+3=－x+5，即x2－(2m+1)x+m2－m+2=0， 要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点，
即要使一元二次方程有两个相等的实数根，∴22
[(21)]4(2)0m m m ∆=−+⨯−+=－，解得
7
8m =
．
综上所述，14m <≤或
78m =
时，平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点．
【点睛】本题为二次函数、一次函数与几何、一元二次方程方程综合题，一般作为压轴题，主要考查了图形的轴对称、二次函数的平移、函数解析式的求解以及二次函数与一元二次方程的关系，本题关键在于：①将三角形的周长最小问题转化为两线段之和最小问题，利用轴对称的性质解题；②将二次函数与一次函数的交点个数问题转化为一元二次方程实数根的个数问题．
26．如图1，在矩形ABCD 中，BG AC ⊥交AC 于点G ，E 为AB 的中点，EG 的延长线交AD 于点F ，连接
CF ．
(1)若AF FD =，证明：EAF ABC △∽△； (2)在（1）的条件下，求tan ABG ∠的值；
(3)如图2，若90EFC ∠=︒，M 为CD 的中点，连接BF ，FM ﹒已知AB =． ①求证：BF FM ⊥； ②求k 的值．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，
∴90EAF ABC ∠=∠=︒，AD BC =． ∵E 为AB 的中点，
∴
1
2EA AB =． ∵AF FD =，
∴11
22AF AD BC =
=， ∴1
2AF A AB BC E ==， ∴EAF ABC △∽△； （2）∵EAF ABC △∽△， ∴AEG EAG ∠=∠， ∴AG EG =．
∵E 为AB 的中点，BG AC ⊥， ∴
1
2AG EG AE BE AB ====
，
∴30ABG ∠=︒，
∴
tan ABG ∠=
；
（3）①证明：∵90EAF EFC ∠=∠=∠=︒， ∴90AFE CFD ∠+∠=︒，90DCF CFD ∠+∠=︒， ∴AFE DCF ∠=∠， ∴AFE DCF ∽， ∴
AF AE
CD DF =． ∵E 为AB 的中点，M 为CD 的中点， ∴
1
2AE AB =
，2CD DM =，
∴1
22AB AF DM
DF =
，即AF AB DM DF =， ∴ABF DFM ∽， ∴AFB DMF ∠=∠．
∵90DMF DFM ∠+∠=︒， ∴90AFB DFM ∠+∠=︒， ∴90BFM ∠=︒，即BF FM ⊥；
②设AE x =，AF y =，则2AB CD x ==， ∵AF AE
CD DF =， ∴2y x x DF =
，
解得：
2
2x DF y =
． ∵30ABG ∠=︒， ∴60BAG AGE ∠=∠=︒， ∴30CAF ∠=︒．
∵60CGF AGE ∠=∠=︒，90CFG ∠=︒， ∴30FCG CAF ∠=︒=∠， ∴CF AF y ==．
在Rt CDF △中，222
CD DF CF +=，
∴()2
22
2
22x x y y ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭，
∴22
x y
=，
∴
2222242222222222(2)4441
44()244AB AE x x x y x AD AF DF x y x y y x y y ======+⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭，
∴22
1)AB AD =．
∵AB ，
∴22
AB kAD =，
∴1k =．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，求角的正切值，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性强，为压轴题．熟练掌握三角形相似的判定定理是解题关键．。