高考数学圆锥曲线与方程章总结题型详解

圆锥曲线与方程

题型一 定义运用

1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线2

2x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N 是直线2y =上

的两点，且2MN =，MNP ∆的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ．

4

5

B ．

25

C ．

23

D ．

13

【答案】A

【解析】由题意，22p = ，则

122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2⎛⎫

⎪⎝⎭

，由抛物线的定义得，点P 到准线1

2y =-

的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭

. 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3

'2

PP =

. 当点,M N 在P'的同一侧（不与点P'重合）时，35

2=622

PM PN MN ++>

++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由

2=6PM PN MN ++= ，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍去，

综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以

24552

sin MPN <=

=

，故选A. 2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2

:8C y x =相交于A ，B 两点，F

为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3

【答案】A

【解析】由题意得，设抛物线2

8y x =的准线方程为:2l x =-，直线()2y k x =+恒过定点()2,0-，

如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ， 由2FA FB =，则2AM BN =，点B 为AP 的中点， 因为点O 是PF 的中点，则1

2

OB AF =

，

所以OB BF =，所以点B 的横坐标为1，所以点B 的坐标为(，

同理可得点(4,A ，所以点A 到抛物线准线的距离为426+= ，故选A.

3．（2019·河南高考模拟（理））已知抛物线2

4y x =的焦点为F ，l 为准线，点P 为抛物线上一点，且在第

一象限，PA l ⊥，垂足为A ，若直线AF 的斜率为，则点A 到PF 的距离为（ ）

A. B.

3

D.2

【答案】A

【解析】因为直线AF 的斜率为 所以直线AF 的倾斜角为120︒，

则60PAF ∠=︒，由抛物线的定义得PF PA =， 所以PAF ∆为等边三角形，又1OF =， 所以|AF|=4,

所以A 到PF 的距离等于 故选：A.

题型二 标准方程

1.（2019·天津市宁河区芦台第一中学高考模拟（理））已知双曲线C:

y 2

a 2

−x 2

b 2=1(a >0,b >0)的离心率e =

√52

，点P 是抛物线y 2=4x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0,c )的距离与到直线x =−1的距离之和的最小值为√6，则该双曲线的方程为（ ）

A.

y 22

−

x 23

=1 B.

y 24

−x 2

=1

C.y 2−

x 24

=1 D.

y 23

−

x 22

=1

【答案】B

【解析】因为双曲线C:

y 2a

2−

x 2b 2

=1(a >0,b >0)的离心率e =√

5

2

，所以a =2b,c =√5b ，

设F 为抛物线y 2=4x 焦点，则F(1,0)，抛物线y 2=4x 准线方程为x =−1，

因此P 到双曲线C 的上焦点F 1(0,c)的距离与到直线x =−1的距离之和等于PF 1+PF ， 因为PF 1+PF ≥F 1F ，所以F 1F =√6，即√1+c 2=√6∴c =√5,a =2,b =1， 即双曲线的方程为

y 24

−x 2=1，选B.

2．（2019·天津南开中学高考模拟）已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的离心率为32，过右焦点F 作渐

近线的垂线，垂足为M ，若FOM ∆O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（ ）

A ．2

2415

y x -=

B ．22

2125

x y -=

C ．22

145

x y -=

D ．22

11620

x y -=

【答案】C

【解析】由题意可得 32c e a ==①， 可得b a == ， 设 (),0F c ， 渐近线为b

y x a

=

， 可得 F 到渐近线的距离为

MF b == ，

由勾股定理可得 OM a === ，

因为FOM ∆1

2

ab =② ，

又 222+=a b c ③，由①②③ 解得2,3b a c =

== ，

所以双曲线的方程为22

145

x y -= ,故选C.

3．（2019·山东高考模拟（文））若方程22

44x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）

A.4k >

B.4k =

C.4k <

D.04k <<