2023年黑龙江省大庆市中考三模数学试题及参考答案

二 二三年大庆市升学模拟大考卷(三)
数学试卷
考生注意:
1.考试时间120分钟；
2.全卷物共三道大题，总分120分。

一、选择题(每小题3分，共30分)
1.实数2023的相反数是(
)A.-2023 B.-1
2023 C.12023 D.2023
2.石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034用科学记数法表示为(
)A.83.410-⨯ B.93.410-⨯ C.103.410-⨯ D.11
3.410-⨯3.如图，数轴上的两点A ，B 对应的实数分别是a ，b ，则下列式子中成立的是
A.1212a b ->-
B.a b -<-
C.0a b +<
D.0
a b ->4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(
)
A. B. C. D.
5.为了解“睡眠管理”落实情况，某中学随机调查50名学生每天的平均睡眠时间(时间均保留整数)，将样本数据绘制成如图统计图，其中有两个数据被遮盖.关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是()
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
6.如图，圆锥底面圆的半径为7cm ，体积为392πcm 3，则它侧面展开图的面积是
A.1753πcm 2
B.1752πcm 2
C.175πcm 2
D.350πcm 2
7.如图，∠CAD 和∠CBD 的平分线相交于点P ，若28C ∠= ，∠D=22 ，则∠P 的度数为()
A.22°
B.25°
C.28°
D.30°
8.下列四个命题:①一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对角相等，一组对边相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形，其中命题正确的个数有(
)A.4个 B.3个 C.2个
D.1个9.如图，△ABC 中，AB=AC=6，BC=8，点D ，E 分别在BC ，AC ，边上，且ADE B ∠=∠，若△ADE 是以DE 为腰的等腰三角形，则BD 的长为()
A.2或3
B.2或72
C.3或
73
D.2或410.若关于x 的函数y ，当1122t x t -≤≤+时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数2M N h -=，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”，则下列结论:①对于函数y=2.023x ，当1t =时，函数y 的“共同体函数”h 的值为
20232
；②函数(0,y kx b k k =+≠，b 为常数)的“共同体函数”h 的解析式为12h k =；③函数2(1)y x x =
≥的“共同体函数”h 的最大值为12.其中结论正确的个数有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个二、填空题(每小题3分，共24分)
11.在函数12
y x -=-中，自变量x 的取值范围为______________.12.写出一个过点(1，0)且经过第二象限的一次函数关系式___________.
13.已知关于x 的不等式310x m -+>的最小整数解为2，则实数m 的取值范围是___________.
14.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，有如图所示的A ，B 两点，在B 格点上任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率为___________.
15.已知()()202320225a a --=-，则()()2220232022a a -+-=___________.
16.如图，观察下列图形，第1个图形中有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9个三角形……则第n 个图形中有___________个三角形.
17.已知二次函数24y x x c =++的图象与两坐标轴共有2个交点，则__________.
18.如图，在矩形ABCD 中，O 是AB 的中点，M 是CD 的中点，点FDC 在AM 上(不与点A 重合)，且12
OP AB =，连接CP 并延长，交AD 于点N.下列结论:①AP=PM ；②2MAB PBC ∠=∠；③若AN=1，BC=4，则NC=5；④2
4AB NP PC =⋅，其中正确结论的序号为___________.
三、解答题(共66分)
19.(本题4分)
计算:()020231 3.141π-+---20.(本题4分)先化简，再求值22112y x y x y x xy y ⎛⎫-÷
⎪-+-+⎝⎭，其中2x y =.21.(本题5分)
某商场进货员预测一种应季T 恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T 恤衫，面市后果然供不应求，商场又用8800元购进了第二批这种T 恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价费了4元，求该商场购进第一批、第二批T 恤衫每件的进价分别是多少元.
22.(本题6分)
如图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图.量得托板长AB=130mm ，支撑板长CD=80mm ，底座长DE=90mm.托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且CB=40mm ，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动，当80DCB ∠= ，60CDE ∠= 时，求点A 到直线DE 的距
离.(参考数据:sin 400.643≈ ，cos 400.766,tan 0.839, 1.732≈≈ ，结果保留一位小数.
23.(本题7分)
百年青春百年梦，初心献党向未来.为热烈庆祝中国共产主义青年团成立100周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神，某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动.为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级甲、乙两班各10名学生的读书数量(单位:本)，并进行了以下数据的整理与分析：
甲班:2
55346-1534乙班:3675834734
依据统计信息，回答问题.
(1)在统计表中，m=_________，在扇形统计图中，C 部分对应的扇形的圆心角的度数为_________；
(2)分别求出甲、乙两班所选学生读书数量的平均数；
(3)若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数.
24.(本题7分)
如图，四边形ABDE 中，90ABD BDE ∠=∠=°，C 为边BD 上一点，连接AC ，EC ，M 为AE 的中点，延长BM 交DE 的延长线于点F ，AC 交BM 于点G ，连接DM 交CE 于点H.
(1)求证MB=MD ；
(2)若AB=BC ，DC=DEC ，求证:四边形MGCH 为矩形.
25.(本题7分)
如图，直线:3(0)l y px p =+≠)与反比例函数k y x
=
在第一象限内的图象交于点A(2，q)，与y 轴交于点B ，过双曲线上的一点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，交直线l 于点E ，且:43:AOB COD S S ∆∆=.(1)求反比例函数及直线l 的表达式；
(2)若OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，求点C 的坐标.
26.(本题8分)
小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看别前面路口是红灯，他立到车减速并在乙处停车等待，等爸智车从家乙外的过程中，速度p(单位，m/s)与时间t(单位，s)的关系如图①中的实线所示，行驶路程:(单位，m)与时间t 的关系如图②所示，在加速过程中，与t 满足表达式2s at =.
(1)根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a 的值；
(2)求图②中点A 的纵坐标h ，并说明它的实际意义；
(3)爸爸在乙处等待了7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度y 与时间t 的关系如图①中的折线O B C --所示，加速过程中行驶路程s 与时间t 的关系也满足表达式2s at =当地行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度.
27.(本题9分)
如图，以AB 为直径的⊙O 中，点Q 为圆心，C 为半圆的中点，过点C 作CD ∥AB ，且CD=OB ，连接AD ，分别交OC ，BC 于点E ，F ，与⊙O 交于点G ，连接BD.
(1)求证:BD 是⊙O 的切线；
(2)求证2
DF EF AF =⋅；
(3)若AB=4，求FG 的长.
28.(本题9分)
新定义:我们把抛物线2y ax bx c =++(其中0ab ≠与抛物线2
y bx ax c =++称为“关联抛物线”，例如，抛物线2231y x x =++的“关联抛物线”为2321y x x =++已知抛物线1C ：2443(0)y ax ax a a =++->的“关联抛物线”为2C ，1C 与y 轴交于点E.
(1)若点E 的坐标为(0，-1)，求1C 的解析式；
(2)设2C 的顶点为F ，若△OEF 是以OF 为底的等腰三角形，求点E 的坐标；
(3)过x 轴上一点P ，作x 轴的垂线分别交抛物线1C ，2C ，于点M ，N.
①当MN=6时，求点P 的坐标；
②当42a x a -≤≤-时，2C 的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值.
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.A
2.C
3.A
4.C
5.B
6.C
7.B 8.C 9.B 10.D
二、填空题(每小题3分，共24分)110x ≥且2x ≠；12.1y x =-+(答案不唯一)；13.47m ≤<；14.
14；15.11；16.(4n-3)；17.0或4；18.②③④三、解答题(共66分)
19.(本题4分)解:原式)1111=-+-=-.................................................(4分)
20.(本题4分)解:原式()()
()2222x y x y x y y x y x y x y x y y x y y x y -+-+--=⋅=⋅=-+++............(2分)当2x y =时，原式2233
y y ==............................................................(2分)21.(本题5分解:设该商场购进第一批，第二批工衫每件的进价分别是x 元和()4x +元，根据题意，得4000880024
x x ⨯=+........................................................(1分)解40x =...............................................................................................(1分)
经检验40x =是原分式方程的解，且符合题意.....................................(1分)
∴440444x +=+=...................................................................(1分)
答:该商场购进第一批、第二批丁恤衫每件的进价分别是40元和44元....(1分)
22.(本题6分)
解:如图，过点A 作AM ⊥DE ，交ED 的延长线于点M ，过点CF AM ⊥，垂足为F ，CN DE ⊥，垂足为N.
∴四边形CEMN 是矩形，CN=FM ，.................................................(1分)
由题意可知AC=AB-CB=130-40=90
∵CD=80，60CDE ∠= ，3sin 80
2
FM CN CD CDE ==⋅∠=⨯
=∵30DCN ∠= ，80DCB ∠= ，∴50BCN ∠=
...........................................................................(1分)
∵,AM DE CN DE ⊥⊥，
∴AM ∥CN ，................................................................................(1分)
∴50
A BCN ∠=∠= ∴40ACF ∠= ............................................................................(1分)
在Rt △ACF 中，sin 40900.64358.87AF AC =⋅≈⨯=
，
∴57.87127.2AM AF FM =+=+(mm)...............................(1分)
∴点A 到直线DE 的距离约为127.2mm...........................................(1分)
23.(本题7分)
解:(1)9.108 ..................................................................................(2分)(2)2535461534 3.810
x +++++++++=
=甲(本)......................(1分)3675834734510
x +++++++++==乙(本)............................(1分)(3)632009020+⨯=(人)................................................................(2分)答:估计该校八年级学生读书在4本以上的有90人.........................(1分)
24.(本题7分)
证明:(1)∵90
ABC CDE ∠=∠= ∴AB ∥DF.......................................................................(1分)
∴ABF F ∠=∠，
∵M 为AE 的中点，
∴AM=ME ，在△ABM 和△EFM 中，ABF F AMB EMF AM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ABM EFM ∆∆≌.............................................................(1分)
∴BM MF =，
∴DM 为Rt △BDF 斜边上的中线
∴MB MD =......................................................................(1分)
(2)由(1)知AB EF =，又AB BC =，DC DE =，
∴BD BC CD AB DE EF DF DF =+=+=+=，
∴△BDF 为等腰直角三角形。

又由(1)知BM MF =，
∴DM BF ⊥，45DBF F BDM ∠=∠=∠= ，............................(1分)
又Rt △ABC 和Rt △CDE 都是等腰直角三角形.
∴45CED ACB ∠=∠= .......................................................(1分)
∴CED F ∠=∠，ACB BDM ∠=∠，
∴CE ∥BF ，AC ∥DM ，
∴四边形MGCH 为平行四边形..............................................(1分)
∵90
GMH ∠= ∴平行四边形MGCH 为矩形，................................................(1分)
25.(本题7分)
解:(1)∵直线3y px =+与y 轴的交点为B ，
∴B(0，3)，则3OB =...............................................................(1分)
∵点A 的横坐标为2.∴13232
AOB S ∆=
⨯⨯=.........................................................(1分)∵:3:4AOB COD S S ∆∆=，∴4COO S ∆=，
设C ,
k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴142k a a
⋅=，解得8k =，∴反比例函数的表达式为8y x =
..................................................(1分)∵点A(2，q)在双曲线8y x
=
上，∴4q =，把点A(2，4)代入3y px =+，得12p =
，∴直线l 的表达式为132
y x =+.............................................(1分)(2)设8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32E m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形.
∴BOE COE S S ∆∆=，∵32BOE S m ∆=，211813342242COE
S m m m m m ∆⎛⎫=⨯+-=+- ⎪⎝⎭，∴23134242
m m m =+-...........................................................(1分)解得4m =或4m =-(不符合题意，舍去).....................................(1分)
∴点C 的坐标为(4，2).............................................................(1分)
26.(本题8分)
解:(1)由图象得小明家到乙处的路程为180m....................................(1分)
∵点(8，48)在抛物线2
s at =上，
∴2488a =⨯，∴34
a =.............................................................................(1分)(2)由图及已知得()4812178156h =+⨯-=............................(1分)
∴点A 的纵坐标为156，实际意义为小明爸爸出发17s 时，到达距家156m 的甲处.........................(1分)
(3)设OB 所在直线的表达式为v kt =，
∵(8，12)在直线v kt =上.
∴128k =.
∴32
k =，∴OB 所在直线的表达式为32v t =
...........................................(1分)设妈妈加速所用的时间为x s.由题意，得
()23321715642x x x ++-=..................................(1分)整理，得2562080x x -+=.
解得14x =，252x =，(不符合题意，舍去)
∴4x =...........................................................................(1分)∴3462
v =⨯=，答:此时妈妈驾车的行驶速度为6m/s....................................(1分)
27.(本题9分)
(1)证明:∵CD ∥AB ，CD=OB ，
∴四边形OBDC 为平行四边形...........................................(1分)∵C 为半圆的中点，
∴CO ⊥AB ，即90COB ∠= ，
∴平行四边形OBDC 为矩形.
∴90OBD ∠= ................................................................(1分)∴BD 是⊙O 的切线..........................................................(1分)
(2)证明:由(1)知平行四边形OBDC 为矩形，
∵OC OB =，
∴矩形OBDC 为正方形.
∴CE ∥BD ，CD=BD=OB ，∴EF CE CE DF BD CD
==.........................................................(1分)∵CD ∥AB ，∴
DF CD BD AF AB AB
==，CDE DAB ∠=∠，..................................(1分)∴tan tan CDE DAB ∠=∠，∴CE BD CD AB
=，∴DF EF AF DF =，∴2DF EF AF =⋅............................................................(1分)
(3)解，如图，连接BG ，
∵AB=4，
∴2CD OA OA ===，
∴1CE OE ==，AE DE ==
..............................................(1分)∵CEF BDF ∆∆∽，∴12
EF CE DF BD ==，
∴3
EF =，∵AB=4，1tan tan 2BAG OAE ∠=∠=
，
∴BG =，AG =，.....................................................(1分)
∴53FG =-=...........................................(1分)28.(本题9分)
解：∵C 1与y 轴交点的坐标为E(0，-1)，
∴431a -=-，解得12
a =
.......................................................(1分)∴C 1的解析式为21212y x x =+-...........................................(1分)(2)根据“关联抛物线”的定义可得2C 的解析式为2
443y ax ax a =++-，∵()2244323y ax ax a a x =++-=+-，
∴2C 的顶点F 的坐标为(-2，-3)...........................................(1分)易得点E ()0,43a -，
过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，连接EF.
∴34OE a =-，4EH a =，2FH =，
∵OE EF =，
∴22EF OE =，即()()2222434a a +=-.解得524
a =
...........................................................................(1分)∴点E 的坐标为(0，136-).......................................................(1分)(3)①设点P 的横坐标为m ，
∵过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线1C ，2C 于点,M N ，∴()2,443M m am am a ++-，()2,443N m am am a ++-，∴()22244344333MN am am a am am a am am =++--++-=-，∵6MN a =，∴2336am am a -=，解得1m =-或2m =，
∴P(-1，0)或(2，0)................................................................(2分)②∵2C 的解析式为()223y a x =+-，
∴当2x =-时，3y =-，
当4x a =-时，()()22
42323y a a a a =-+-=--；
当2x a =-时，()232233y a a a =-+-=-.根据题意可知，需要分三种情况讨论:
Ⅰ.当422a a -<-<-时，02a <<，且当01a <≤时，函数的最大值为()223a a --；函数的最小值为-3.
∴()223(3)2a a a ----=，解得2a =-或2a =(舍)或0a =(舍)；当12a <<时，函数的最大值为33a -，函数的最小值为-3.
∴()3332a a ---=，解得a =或a =舍)或0a =(舍)；
Ⅱ.当242a a -≤-≤-时，2a ≥，函数的最大值为33a -；函数的最小值为()223a a --，
∴()2
33232a a a a ⎡⎤----=⎣⎦，解得32
a =(舍)或0a =(舍)；Ⅲ.当422a a -≤-≤-时，0a ≤，不符合题意，舍去.
综上，a 的值为2-.......................................................(2分)。