2023年新高考数学临考题号押题第3题 平面向量(新高考)(解析版)

押新高考卷3题
平面向
量
考点3年考题
考情分析
平面向量
2022年新高考Ⅰ卷第3题2022年新高考Ⅱ卷第4题
2021年新高考Ⅰ卷第10题2021年新高考Ⅱ卷第15题2020年新高考Ⅰ卷第7题2020年新高考Ⅱ卷第3题
高考中平面向量均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查了平面向量的基本定理，平面向量的坐标运算，平面向量数量积与夹角公式，可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕平面向量数量积运算、坐标运算等展开命题．
向量的运算
（1）两点间的向量坐标公式：
()11,y x A ，()22,y x B ，=AB 终点坐标-始点坐标()
1212,y y x x --=（2）向量的加减法
()11,y x a =，()22,y x b =()2121y y x x b a ++=+∴，，()
2121y y x x b a --=-，
（3）向量的数乘运算
()y x a ,=，则：()()
y x y x a λλλλ,,==（4）向量的模
()y x a ,=，则a 2
2y x +=（5）相反向量
已知),(y x a =，则),(y x a --=-；已知（6）单位向量
()
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2
22
22
22
2,
,
,y x y
y x x y x y
y x x y x a 反向单位向量为同向单位向量为（7）向量的数量积
[]πθθθ,0,,,cos ∈⋅⋅=⋅且的夹角，记作与为其中b a b a b a b a ()()2
1212211,,,y y x x b a y x b y x a +=⋅∴==，（8）向量的夹角
2
2
2221212
121cos y x y x y y x x b
a b a +⋅++=
⋅⋅=
θ（9）向量的投影
a
b a b
a b a b b a b b b a b a b a a a b a ⋅=
⋅⋅⋅
=⋅⋅=
⋅⋅⋅
=⋅θθcos cos 上的投影为在上的投影为在（10）向量的平行关系
1
221//y x y x b a b a =⇔=⇔λ（11）向量的垂直关系
02121=+⇔=⋅⇔⊥y y x x b a b a （12）向量模的运算
2
2a
a =1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==
，，则CB
=（）
A ．32m n
-
B ．23m n
-+
C ．32m n
+ D ．23m n
+ 【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
的模为
2，根据正六边形的特征，
AP 在AB
方向上的投影的取值范围是结合向量数量积的定义式，
AB 等于AB 的模与AP 在AB
AB
的取值范围是()2,6-，A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
6．
（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB
=（）A ．2CD CA + B ．2CD CA - C ．2CD CA - D ．2CD CA
+ 【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
()
222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA
-=+=+=+-= 故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
所以12m =
，56n =，所以4
3
m n +=，故选：D
8．（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形则λμ+的取值范围是（）
A ．[]1,1-
B ．[]
0,1【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点【详解】以B 为坐标原点，AB ，BC 所在直线分别为设1AB =，则()()()(0,0,1,0,0,1,B A C D 当点E 在BC 上时，设()[]0,,0,1E m m ∈则()()()1,1,01,1m λμ-=-+-，即m λ--⎧⎨=⎩
当点E 在CD 上时，设()[],1,0,1E t t ∈，
则()()()1,11,01,1t λμ-=-+-，即λμ--⎧⎨=⎩
故选：B
9．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知向量(1,3a = 值为（）
A ．
219
B ．
4
11
C 【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算，垂直向量的坐标运算，可得答案【详解】由题意，()14,51b c λλλ+=+- ，由a 即()143510λλ++⨯-=，解得2
19
λ=.故选：A.
10．（2023·安徽合肥·校考一模）已知非零向量a ，（）
A ．45
B ．60
C
A ．13BE CF --
B ．13BE - 【答案】C
【分析】确定
133222AD BD BE =- 【详解】13BE BD DE BD =+=- 23CF CD DF CD AD =+=- ，则 ①+②两式相加，3322AD CF =- 故选：C.
13．（2023·重庆·统考二模）已知点34x y +=（）
A ．5
B ．6【答案】C
【分析】如图，点O 在AB 、AC 根据数量积的定义求出BC BA ⋅ ，最后根据数量积的运算律得到【详解】如图，点O 在AB 、AC
∴E 是AM 的中点.
分别过C ，N 作CH AM ∥，NF 因为AENF 为平行四边形，所以且12AE AM =
，AF EN ==由此可得AN = 1528AM AB + .故选：C.
15．
（2023·福建泉州·校考模拟预测）理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为
A ．4255a b +
B ．25【答案】A
【分析】根据相似三角形，利用向量的分解可得解【详解】
如图所示，过点E 分别作EM AB ⊥，则AME AEB ，AEN ABE ，
所以AM AE AE AB = ，AN AE BE AB = ，AM 由已知得2AE BF BE == ，
则在Rt AEB 中，tan BE BAE AE ∠== 所以25cos 5BAE ∠=
，sin BAE ∠=即255AE AB = ，55BE AB = ，所以45AM AB = ，2255AN AB ==
A ．[]
28,46B 【答案】C 【分析】利用已知条件，再根据PB 的范围便可求出【详解】如图可知,PE = 因为B 是EF 的中点，所以所以()PE PF PB BE ⋅=+ 即()(PE PF PB BE ⋅=+⋅ 所以22PE PF PB BE ⋅=- 由条件可得，3BE = ，
因为P 为AC 边上的一个动点，
故当P 为AC 中点时，PB 当P 为A 或C 时，PB 最大，所以
[43,8]PB ∈ ，所以2[48,64]PB ∈ ，又因为
A ．2,23⎡⎤⎣⎦
B ．
而ABC 是正三角形，则∠当点P 在弧BD 上时，0θ≤显然3,1,AO OP OAB ==∠所以(AB AP AB AO OP ⋅=⋅+ 32321cos 2
θ=⨯⨯
+⨯⨯=故选：B。