“立体几何”大题的常考题型探究(课件)2023年高考数学二轮复习(全国通用)
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因为 平面 ，所以 平面 ，所以 为二面角 的平面角．
因为 ，所以 ．由已知得 ，故 ．又 ，所以 ．因为 , , , , ，所以 ．
提分秘籍 体积问题考查的本质就是点面距离，解题关键是抓住以下几种方法：
（1）等体积法（仅限三棱锥）转换顶点;
（2）顶点不变，延展或缩小底面，如四棱锥的高即同顶点的三棱锥的高，点 到平面 的距离可看作点 到平面 的距离;
设 ，则 , , .设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，则 ，∴平面 的一个法向量为 ， .∵直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，∴直线 与平面 所成角的正弦值等于, ，当且仅当 时取等号.
∴直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .（法二：定义法）如图2， 平面 ， ， 平面 .
大题攻略03 平面与平面所成的角
例3 (2021年全国甲卷)已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为 和 的中点， 为棱 上的点， .
（1）证明： .（2）当 为何值时，平面 与平面 所成的二面角的正弦值最小?
▶审题微“点”
切入点
（1）常规方法是几何法，不过用几何法较为复杂，根据题目条件建系是最优解法；（2）建系是常规方法，也是最优法
▶审题微“点”
切入点
（1）关键是在平面 内找一条直线与 平行,根据线面平行的判定定理即可证明；（2）将包装盒分割成几个规则的锥体和柱体求解
障碍点
（1）在平面 内找直线与 平行；（2）将不规则的几何体分割或补形成几个规则的几何体
隐蔽点
（1）平面 内与 平行的直线；（2）包装盒的高
[解析] （1）如图1所示，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，因为 ， 为全等的正三角形，所以 ， ， .
障碍点
（1）思维定势，采用几何法，又不知如何入手； 的横坐标是参数，运算量大，计算快且准是关键
隐蔽点
与 所在平面垂直；（2）平面 与平面 所成的二面角的正弦值的表达式
[解析] （法一：几何法）
（1）取 的中点 ，连接 ， ,如图1，因为 是 的中点，所以 ， ,所以 ,所以 , , ， 四点共面.
提分秘籍 求二面角所成的角的方法：
（1）几何法：作出二面角的平面角. 常用技巧：①直接选棱上一点，在两个半平面内作棱的垂线；②寻找一个半平面的垂面，然后找到与另一半平面的交线，在交线上选择合适的点，在垂面内作垂线，再用定义法，如果垂面和棱垂直，那么就直接找出平面角.
（2）向量法：求出两平面的法向量 , ，利用两向量的夹角转化，即 .
大题攻略01 空间中平行与垂直关系的证明
例1 (2022年全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， ， ， ， 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直．
（1）证明： 平面 .（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
（4）面面平行的性质定理： ， ， .
2.直线、平面垂直的判定及其性质
（1）线面垂直的判定定理： ， ， ， ， .
（2）线面垂直的性质定理： ， .
（3）面面垂直的判定定理： ， .
（4）面面垂直的性质定理： ， ， ， .
在平面 中，设 ．在平面 中，过点 作 ，交 于点 ，连接 ．
平面 , 平面 ， .又 , , 平面 ， 平面 ， 平面 .又 平面 ， ．又 , , 平面 , 平面 ， 平面 ， 为 与平面 所成的角．设 ，在 中，易求得 ．由 与 相似，得 ，可得 ． ，当且仅当 时等号成立．
因为 ， ，点 到平面 的距离即点 到直线 的距离 ，且 ，所以该几何体的体积 ．
提分秘籍
1.直线、平面平行的判定及其性质
（1）线面平行的判定定理： ， ， .
（2）线面平行的性质定理： ， ， .
（3）面面平行的判定定理： ， ， ， ， .
又 ， ，且 , 平面 ， 平面 ，又 平面 , . ， , , .…………8分
面 平面 ， 平面 ，又 平面 ， .…………6分
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ， ， ， ， ， .
作 ，垂足为 ，因为 平面 ，连接 ，则 为平面 与平面 所成二面角的平面角．设 ， ， ，过 作 交 于点 ．
由 ，得 ．又 ，即 ，所以 ．又 ，即 ，所以 ．所以 ．
则 ，所以当 时，即 , ．
（法二：向量法，最优解）（1）因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，又 平面 ，所以 .因为 ， ，所以 ，又 ，所以 平面 ,所以 , , 两两垂直．以 为坐标原点，分别以 , , 所在直线为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系，如图3所示，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，而 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．（2）如图2所示，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，由（1）知， 且 ，同理有， ， ， ， ， ， .由平面知识可知， ， ， .所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上4倍四棱锥 的体积．
所以 , , ， , , ， , ．由题意设 ，因为 , ，所以 ，所以 ．
（2）设平面 的法向量为 ，因为 , ，所以 即 令 ，则 .因为平面 的法向量为 ，设平面 与平面 所成的二面角的平面角为 ，
则 ，当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 取得最大值，最大值 ，所以 ，此时 ．
隐蔽点
；（2）点 的位置，确定了点 的位置，其纵坐标、竖坐标即可写出，就能快速求出表达式
[解析] （1）在正方形 中， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ， .∵在四棱锥 中，底面 是正方形， , ,又 平面 ， 平面 , , . ， 平面 .（2）（法一：最优解，通性通法） , , 两两垂直，∴建立空间直角坐标系 ，如图1,则 , , , , .
则 , , .设 , ,所以 , ，设 为平面 的法向量，
则由 可求得平面 的一个法向量为 ．又平面 的一个法向量为 ，所以 ，解得 ．又点 到平面 的距离为 ，所以 ，所以三棱锥 的体积为 ．
（法二:最优解——作出二面角的平面角）如图2所示，作 ，垂足为点 ．作 ，垂足为点 ，连接 ，则 ．
（1）
（2）
[解析] （1）设点 到平面 的距离为 ， ， ，即 ， .…………4分
（2）连接 交 于点 ， ，∴四边形 为正方形， .又∵平面 平面 ，且平
大题攻略04 求空间距离（体积）
例4 (2021年新高考全国Ⅰ卷)如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
（1）证明： .（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积.
▶审题微“点”
切入点
（1）面面、线面垂直的性质；（2）建系是常规方法，但不是最优法，最优法是利用几何关系找到二面角的平面角，利用几何关系求高
障碍点
（2）计算能力差，或不会找二面角的平面角
隐蔽点
（2）点 坐标的表示
[解析] （1）因为 ， 是 的中点，所以 .因为 平面 ，平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 .因为 平面 ，所以 .（2）（法一：通性通法——坐标法）如图1所示，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，垂直 且过点 的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
提分秘籍
（1）法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线 与平面 所成角的正弦值即为平面 的法向量 与向量 的夹角的余弦值的绝对值，即 ，再根据基本不等式即可求出最大值.法一是本题的通法，也是最优解法.注意求线面角的公式中 ，线面角的取值范围是 .
（2）法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线 与平面 所成的角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出最大值.这是几何法，此法的关键是找出线面角并证明.
（2）写坐标：建立空间直角坐标系，写（或设）点的坐标，求直线的方向向量以及平面的法向量.
（3）求关系：根据已知条件计算夹角或寻找关系.
（4）得结论：根据计算结果得到题目结论.
◎同源变式
如图所示，在三棱柱 中， ， 在平面 的射影为线段 的中点 ，侧面 是菱形，平面 与棱 交于点 ．
3.易错提醒
（1）证明线面平行时，忽略“直线在平面外”“直线在平面内”的条件．
（2）证明面面平行时，忽略“两直线相交”“两直线在平面内”的条件．
（3）证明线面垂直时，容易忽略“平面内两条相交直线”这一条件．
大题攻略02 直线与平面所成的角（解析含两法）
例2 (2020年新高考全国Ⅱ卷)如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 .设平面 与平面 的交线为 ．
（1）证明： 平面 .（2）已知 ， 为 上的点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值．
▶审题微“点”
切入点
（1）关键是找出与 平行的直线 ，利用线面垂直的判定定理证明 平面 ，即可证明结论；（2）建系，求线面角正弦值的代数表达式，然后求最值
障碍点
（2）不会表示点 的坐标，求出表达式后，不会转化为基本不等式
（1）求点 到平面 的距离；
（2）设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值.
▶命题意图 本题考查空间向量的应用，涉及空间几何体的体积，空间线、面位置关系以及利用空间向量求两平面的夹角，考查推理论证能力、运算求解能力，解题过程渗透了逻辑推理、数学运算的核心素养.
▶思维导图
因为 , ，所以 ，所以 .因为四边形 是正方形，且 ，所以 .又 是 的中点，易证 ，则 ．又因为 ，所以 ,则 ．又因为 ， ， 平面 ,所以 平面 ．又因为 平面 ，所以 ．
（2）如图2所示，延长 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，则平面 平面 ．
（3）底面不变，通过平行位置转换顶点（若线面平行，则平行线上的点到该平面的距离均相等）或通过比例关系转换顶点；
（4）若能建立坐标系，可用点到面的距离公式求解.
规范答题 “立体几何”大题的思维构建和答题规范
典例 (2022年新高考全国I卷)如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 .
设平面 的一个法向量为 ，∴ 即 令 ，则 ,即 .…………10分设平面 的一个法向量为 ，
∴ 即 令 ,得 ，即 .设二面角 的平面角为 ， ， .…………12分
解题感悟 求二面角的方法：
（1）找垂直：通过证明垂直关系寻找（或作出）具有公共交点的三条两两互相垂直的直线.
因为 ，所以 ．由已知得 ，故 ．又 ，所以 ．因为 , , , , ，所以 ．
提分秘籍 体积问题考查的本质就是点面距离，解题关键是抓住以下几种方法：
（1）等体积法（仅限三棱锥）转换顶点;
（2）顶点不变，延展或缩小底面，如四棱锥的高即同顶点的三棱锥的高，点 到平面 的距离可看作点 到平面 的距离;
设 ，则 , , .设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，则 ，∴平面 的一个法向量为 ， .∵直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，∴直线 与平面 所成角的正弦值等于, ，当且仅当 时取等号.
∴直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .（法二：定义法）如图2， 平面 ， ， 平面 .
大题攻略03 平面与平面所成的角
例3 (2021年全国甲卷)已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为 和 的中点， 为棱 上的点， .
（1）证明： .（2）当 为何值时，平面 与平面 所成的二面角的正弦值最小?
▶审题微“点”
切入点
（1）常规方法是几何法，不过用几何法较为复杂，根据题目条件建系是最优解法；（2）建系是常规方法，也是最优法
▶审题微“点”
切入点
（1）关键是在平面 内找一条直线与 平行,根据线面平行的判定定理即可证明；（2）将包装盒分割成几个规则的锥体和柱体求解
障碍点
（1）在平面 内找直线与 平行；（2）将不规则的几何体分割或补形成几个规则的几何体
隐蔽点
（1）平面 内与 平行的直线；（2）包装盒的高
[解析] （1）如图1所示，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，因为 ， 为全等的正三角形，所以 ， ， .
障碍点
（1）思维定势，采用几何法，又不知如何入手； 的横坐标是参数，运算量大，计算快且准是关键
隐蔽点
与 所在平面垂直；（2）平面 与平面 所成的二面角的正弦值的表达式
[解析] （法一：几何法）
（1）取 的中点 ，连接 ， ,如图1，因为 是 的中点，所以 ， ,所以 ,所以 , , ， 四点共面.
提分秘籍 求二面角所成的角的方法：
（1）几何法：作出二面角的平面角. 常用技巧：①直接选棱上一点，在两个半平面内作棱的垂线；②寻找一个半平面的垂面，然后找到与另一半平面的交线，在交线上选择合适的点，在垂面内作垂线，再用定义法，如果垂面和棱垂直，那么就直接找出平面角.
（2）向量法：求出两平面的法向量 , ，利用两向量的夹角转化，即 .
大题攻略01 空间中平行与垂直关系的证明
例1 (2022年全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， ， ， ， 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直．
（1）证明： 平面 .（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
（4）面面平行的性质定理： ， ， .
2.直线、平面垂直的判定及其性质
（1）线面垂直的判定定理： ， ， ， ， .
（2）线面垂直的性质定理： ， .
（3）面面垂直的判定定理： ， .
（4）面面垂直的性质定理： ， ， ， .
在平面 中，设 ．在平面 中，过点 作 ，交 于点 ，连接 ．
平面 , 平面 ， .又 , , 平面 ， 平面 ， 平面 .又 平面 ， ．又 , , 平面 , 平面 ， 平面 ， 为 与平面 所成的角．设 ，在 中，易求得 ．由 与 相似，得 ，可得 ． ，当且仅当 时等号成立．
因为 ， ，点 到平面 的距离即点 到直线 的距离 ，且 ，所以该几何体的体积 ．
提分秘籍
1.直线、平面平行的判定及其性质
（1）线面平行的判定定理： ， ， .
（2）线面平行的性质定理： ， ， .
（3）面面平行的判定定理： ， ， ， ， .
又 ， ，且 , 平面 ， 平面 ，又 平面 , . ， , , .…………8分
面 平面 ， 平面 ，又 平面 ， .…………6分
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ， ， ， ， ， .
作 ，垂足为 ，因为 平面 ，连接 ，则 为平面 与平面 所成二面角的平面角．设 ， ， ，过 作 交 于点 ．
由 ，得 ．又 ，即 ，所以 ．又 ，即 ，所以 ．所以 ．
则 ，所以当 时，即 , ．
（法二：向量法，最优解）（1）因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，又 平面 ，所以 .因为 ， ，所以 ，又 ，所以 平面 ,所以 , , 两两垂直．以 为坐标原点，分别以 , , 所在直线为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系，如图3所示，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，而 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．（2）如图2所示，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，由（1）知， 且 ，同理有， ， ， ， ， ， .由平面知识可知， ， ， .所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上4倍四棱锥 的体积．
所以 , , ， , , ， , ．由题意设 ，因为 , ，所以 ，所以 ．
（2）设平面 的法向量为 ，因为 , ，所以 即 令 ，则 .因为平面 的法向量为 ，设平面 与平面 所成的二面角的平面角为 ，
则 ，当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 取得最大值，最大值 ，所以 ，此时 ．
隐蔽点
；（2）点 的位置，确定了点 的位置，其纵坐标、竖坐标即可写出，就能快速求出表达式
[解析] （1）在正方形 中， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ， .∵在四棱锥 中，底面 是正方形， , ,又 平面 ， 平面 , , . ， 平面 .（2）（法一：最优解，通性通法） , , 两两垂直，∴建立空间直角坐标系 ，如图1,则 , , , , .
则 , , .设 , ,所以 , ，设 为平面 的法向量，
则由 可求得平面 的一个法向量为 ．又平面 的一个法向量为 ，所以 ，解得 ．又点 到平面 的距离为 ，所以 ，所以三棱锥 的体积为 ．
（法二:最优解——作出二面角的平面角）如图2所示，作 ，垂足为点 ．作 ，垂足为点 ，连接 ，则 ．
（1）
（2）
[解析] （1）设点 到平面 的距离为 ， ， ，即 ， .…………4分
（2）连接 交 于点 ， ，∴四边形 为正方形， .又∵平面 平面 ，且平
大题攻略04 求空间距离（体积）
例4 (2021年新高考全国Ⅰ卷)如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
（1）证明： .（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积.
▶审题微“点”
切入点
（1）面面、线面垂直的性质；（2）建系是常规方法，但不是最优法，最优法是利用几何关系找到二面角的平面角，利用几何关系求高
障碍点
（2）计算能力差，或不会找二面角的平面角
隐蔽点
（2）点 坐标的表示
[解析] （1）因为 ， 是 的中点，所以 .因为 平面 ，平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 .因为 平面 ，所以 .（2）（法一：通性通法——坐标法）如图1所示，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，垂直 且过点 的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
提分秘籍
（1）法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线 与平面 所成角的正弦值即为平面 的法向量 与向量 的夹角的余弦值的绝对值，即 ，再根据基本不等式即可求出最大值.法一是本题的通法，也是最优解法.注意求线面角的公式中 ，线面角的取值范围是 .
（2）法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线 与平面 所成的角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出最大值.这是几何法，此法的关键是找出线面角并证明.
（2）写坐标：建立空间直角坐标系，写（或设）点的坐标，求直线的方向向量以及平面的法向量.
（3）求关系：根据已知条件计算夹角或寻找关系.
（4）得结论：根据计算结果得到题目结论.
◎同源变式
如图所示，在三棱柱 中， ， 在平面 的射影为线段 的中点 ，侧面 是菱形，平面 与棱 交于点 ．
3.易错提醒
（1）证明线面平行时，忽略“直线在平面外”“直线在平面内”的条件．
（2）证明面面平行时，忽略“两直线相交”“两直线在平面内”的条件．
（3）证明线面垂直时，容易忽略“平面内两条相交直线”这一条件．
大题攻略02 直线与平面所成的角（解析含两法）
例2 (2020年新高考全国Ⅱ卷)如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 .设平面 与平面 的交线为 ．
（1）证明： 平面 .（2）已知 ， 为 上的点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值．
▶审题微“点”
切入点
（1）关键是找出与 平行的直线 ，利用线面垂直的判定定理证明 平面 ，即可证明结论；（2）建系，求线面角正弦值的代数表达式，然后求最值
障碍点
（2）不会表示点 的坐标，求出表达式后，不会转化为基本不等式
（1）求点 到平面 的距离；
（2）设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值.
▶命题意图 本题考查空间向量的应用，涉及空间几何体的体积，空间线、面位置关系以及利用空间向量求两平面的夹角，考查推理论证能力、运算求解能力，解题过程渗透了逻辑推理、数学运算的核心素养.
▶思维导图
因为 , ，所以 ，所以 .因为四边形 是正方形，且 ，所以 .又 是 的中点，易证 ，则 ．又因为 ，所以 ,则 ．又因为 ， ， 平面 ,所以 平面 ．又因为 平面 ，所以 ．
（2）如图2所示，延长 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，则平面 平面 ．
（3）底面不变，通过平行位置转换顶点（若线面平行，则平行线上的点到该平面的距离均相等）或通过比例关系转换顶点；
（4）若能建立坐标系，可用点到面的距离公式求解.
规范答题 “立体几何”大题的思维构建和答题规范
典例 (2022年新高考全国I卷)如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 .
设平面 的一个法向量为 ，∴ 即 令 ，则 ,即 .…………10分设平面 的一个法向量为 ，
∴ 即 令 ,得 ，即 .设二面角 的平面角为 ， ， .…………12分
解题感悟 求二面角的方法：
（1）找垂直：通过证明垂直关系寻找（或作出）具有公共交点的三条两两互相垂直的直线.