华中科技大学《信号与系统》试卷(a)

华中科技大学考试卷（A 卷）
课程：信号与系统（闭卷）（2009/05 /08）
专业 班级 姓名 学号
一、 填空题（每空2分，共20分）
１．已知某系统的输出)(t r 与输入()e t 之间的关系为
∑∞
-∞
=-=
n nT t t e t r )()()(δ，其中T 为常数，则该系统是（线性/非线性） 线性 系统。

２．⎰-=+
π
π
π
δdx x x )2
()sin( -1 。

３．连续时间系统的传输算子为)
2)(1(3
)(+++=
p p p p H ，则描述该系统的方程为
()3()2()()3()r t r t r t e t e t ''''++=+，该系统的自然频率为 -1、-2 。

４． 信号)f(t)=5cos(3t)+10cos(5t ππ的周期是_2_，其平均功率等于 62.5 瓦。

５．信号)(t f 的最高频率为10m f kHz =，其奈奎斯特抽样频率s ω=4410π⨯ 弧度/秒，信号(0.1)f t 的m f = 1kHz ，(0.1)f t 的奈奎斯特抽样间隔=s T 500s μ。

６．已知离散时间LTI 系统的单位函数响应为()cos(/3)()h k k k u k π=，则该系统为（稳定/不稳定）不稳定 系统。

二、（12分）已知)(
t f 的波形如图一所示。

)(t f （1）写出)(
t f 的表达式；
（2）画出()2(1)2
t
g t f =-+的波形； t
（3）求()
()dg t h t dt
=的傅里叶变换。

图一
解：（1）()[()(1)]f t t t t εε=-- （2分）
（2
分） （3 ()2()[()(2)]h t t t t δεε=--- （2分）
2211()2[()](1)2(1)j j H j e e j j ωωωπδωωω
--=-+
-=-- （4分）
三、（18分）已知)(t f 的频谱函数为)(ωj F ，其频谱图如图二所示。

（1） 求t j e t f t f 21)2()(-=的频谱函数)(1ωj F 的表达式；
（2） 画出)(1ωj F 的波形； （3）求)(t f 的表达式。

图二
（4）若让)(t f 经过图三所示系统，试绘出A ，B ，C ，D 各点的信号频谱图。

系统中理想高通滤波器)(ωj H H 和理想低通滤波器)(ωj H L 在通带内的传输值均为1，相移均为0，其系统函数如图四所示。

)(t f )(t r
图三
图四
解：（1）111(2)()()22f t F j F j ω
ω-↔-=， 1111()()[(2)]f t F j F j ωω↔=-
1411
()[(2)]()(4)(2)22
F j F j
G ωωεωεωω=--=--=- （4分）
（2）
（2分）
（3）2()2
()F j G ωω
= 由于()(
),()2()22G t Sa Sa t G ττωττ
ττπω↔↔ （对称性质）
所以222()()()222
t
f t Sa t Sa τττππ==⨯= （4分）
（4）41
()()cos ()[(1)(1)]()2A A f t f t t F j F j j F j j G ωωωω=↔=++-=
11()()()( 1.5)( 1.5)B A H F j F j H j G G ωωωωω==++-
1
()()cos 2()[(2)(2)]2
C B C B B f t f t t F j F j j F j j ωωω=↔=++-
1211
()[( 3.5)()( 3.5)]2
C F j G G G ωωωω=+++-
21
()()()()2
D C L F j F j H j G ωωωω==
（2分） （2分） （2分） （2分）
四、（15分）某LTI 系统保持初始状态不变。

已知当激励为1()()e t t δ=时，其全响应为1()()()t r t t e t δε-=+；当激励为2()()t e t e t ε-=时，其全响应为2()3()t r t e t ε-=。

（1）求系统的单位冲激响应()h t ，说明其因果性； （2）写出描述系统输入输出关系的微分方程； （3）求当激励为3()()(1)e t t t εε=--时的全响应。

解：（1）设该系统的零输入响应为()zi r t ，则由题意，有 ()()*()()()t zi r t t h t t e t δδε-+=+
1
()()*()3()t t zi r t e t h t e t εε--+= 对两式分别取拉氏变换，得
1()()11
13()()11zi zi
R s H s s R s H s s s ⎧
+=+⎪⎪+⎨⎪+=⎪++⎩
解之得，1()111()1zi H s s
R s s s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪+⎩
即()()()()(1)()t
zi h t t t r t e t δεε-=-⎧⎨=+⎩ （4分） 由于系统单位冲激响应满足：()0,0h t t =<，故该系统是因果系统。

（2分） （2）由零输入响应知系统有两个特征根：0、-1，故系统函数
22(1)(1)1
()(1)s s s H s s s s s
-+-==++
则系统方程为：()()()()r t r t e t e t '''''+=- （3分）
（3）31
()(1)s E s e s
-=-
3332111
()()()(1)(1)()(1)s s zs R s H s E s e E s e s s s
--==--=--
3()()(1)()(1)(1)(1)()(2)(1)zs r t t t t t t t t t t t εεεεεε=---+--=-+-- 故全响应3()(2)()(2)(1)t r t t e t t t εε-=-++-- （6分）
五、（10分）某因果系统如图五所示。

（1）写出该系统的系统函数； （2）试问K 为何值时，系统稳定；
（3）在临界稳定条件下，求冲激响应。

图五
解：（1）()()/(1)1()(4222G s Ks Ks Ks
H s G s s 4s 4s 4s 4s K )s 4
=
=-=-+++++-+ （3分）
)
（2）当40,K 4K -><即时，系统稳定。

（3分）
（3）当K=4时，系统临界稳定，此时系统函数
()24s
H s s 4
=+
则系统冲激响应 ()4cos 2()h t t t ε= （4分）
六、（10分）设计一个离散系统，使其输出()y k 是:,1,,1k k k M --+各点输入之平均。

（1）确定描述该系统输出()y k 与输入()e k 之关系的差分方程； （2）求该系统的系统函数)(z H ；
（3）当3=M 时，采用加法器，标量乘法器和单位延时器画出系统的结构框图，要求尽可能地少用单位延时器。

解：（1）依题意，输出()y k 与输入()e k 之关系的差分方程为
1
(){()(1)(1)}y k e k e k e k M M =
+-++-+ （3分） （2）由于)]()()([1
)(11z E z z E z z E M
z Y M +--+++=
所以 ∑-=-+--=+++==
10
111
]1[1)()()(M n n
M z
M
z z M z E z Y z H （3分）
（3）3=M 时 ， 1
21
()[1]3
H z z z --=++ （1分）
3=M 时系统的结构框图：
3分）
七、（15分）已知某离散系统的差分方程为(2)5(1)6()(1)y k y k y k e k +-++=+，
试求解下列问题：
（1）若系统是因果的，求系统的单位函数响应()h k ； （2）若系统是稳定的，求系统的单位函数响应()h k ；
（3）求系统在初始条件(0)2,(1)1zi zi y y ==下的零输入响应()zi y k ； （4）若系统函数的收敛域为23z <<，求此时系统在单位阶跃序列()k ε激励下的零状态响应()zs y k 。

解：（1）对系统差分方程取Z 变换，得2(56)()()z z Y z zE z -+= 则系统函数表达式为 2()5632
z z z
H z z z z z =
=-
-+-- 系统是因果的，则系统函数的收敛域为3z >
系统的单位函数响应()(32)()k k h k k ε=- （3分）
（2） 若系统稳定，则系统函数的收敛域一定包含单位圆，即为2z < 此时系统为反因果系统，系统的单位函数响应
()(23)(1)k k h k k ε=--- （3分）
（3）系统有两个不相等的特征根：2、3，则零输入响应 12()(23)()k k zi y k c c k ε=+
代入初始条件(0)2,(1)1zi zi y y ==，得
1212(0)2(1)231zi zi
y c c y c c =+=⎧⎨=+=⎩ 解之得1253c c =⎧⎨=-⎩
于是()[5(2)3(3)]()k k zi y k k ε=- （4分） （4）2(),1;(),23156
z z
E z z H z z z z z =
>=<<--+
2()()()
15613222,23
123zs Y z E z H z z z
z z z z z
z z z z z ==
⨯--+=-+<<---
13
()()2(2)()(3)(1)22
k k zs y k k k k εεε=---- (5分)。