2证明三角形全等的基本思路

1. 如图M12-12，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，
PD⊥OB，垂足分别是点C，D，则下列结论错误的是( B )
A. PC=PD
B. ∠CPO=∠DOP
C. ∠CPO=∠DPO
D. OC=OD
2. (2017台州)如图M12-13，点P是∠AOB平分线OC上一点，
PD⊥OB，垂足为点D，若PD=2，则点P到边OA的距离是(Ａ)
解：在△PCD和△APB中， ∠PCD=90°-36°= 54°=∠APB, PB＝CD， ∠CDP=90°=∠PBA，
∴△PCD≌△APB (ASA). ∴AB=PD. ∴AB＝36-10=26. 答：楼高AB是26 m.
三角形全等证明的解题思路⑴
AD
BE
CF
AD
C
B
E
D
B
C
A
D D
E
全等三角形在位置上通常有着特殊的关系，可以用旋转、翻折、平移等 图形变换方式来描述，运用图形变换有利于找对应边和对应角，从而有助于 证明三角形全等.
∠ADB=∠CDB, BD=BD, ∴△ABD≌△CBD(SAS). ∴∠A=∠C.
10. 如图M12-20，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB＝∠DFB＝
90°，∠D＝28°，求∠GBF的度数.
解：∵Rt△ABC≌Rt△DBF， ∴∠A＝∠D，AB＝DB，BC＝BF. ∴AF＝DC. 又∵∠AFG＝∠DCG＝90°， ∴△AFG≌△DCG. ∴FG＝CG. 又∵GF⊥FB，GC⊥CB， ∴BG平分∠ABD. ∵∠D＝28°， ∴∠ABD＝90°－∠D＝62°. ∴∠GBF＝ ∠ABD＝31°.
9. (2017武汉)如图M12-8，点C,F,E,B在一条直线上，
∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关 系，并证明你的结论.
解：CD∥AB，CD=AB. 证明：∵CE=BF，∴CE-EF=BF-EF. ∴CF=BE. 在△DFC和△AEB中， CF=BE,
∠CFD=∠BEA, DF=AE, ∴△DFC≌△AEB(SAS). ∴CD=AB，∠C=∠B. ∴CD∥AB.
DE=DM, ∴Rt△DEF≌Rt△DMN (HL). ∴∠EDF=∠MDN.
∵∠FAD+∠ADF=∠NAD+∠ADN=90°,∠FAD=∠NAD, ∴∠ADF=∠ADN. 又∵∠ADF=∠ADE+∠EDF,∠ADN=∠ADM+∠MDN, ∴∠ADE=∠ADM. 在△ADE和△ADM中， ∠EAD=∠MAD,
12. 如图M12-22，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂
足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，
求△EDF的面积. 解：如答图M12-1，作DM=DE交AC于 点M，作DN⊥AC交AC于点N. ∵DE=DG，∴DM=DG. ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， DN⊥AC， ∴DF=DN. 在Rt△DEF和Rt△DMN中， DF=DN,
A. 2
B. 3
C.
D. 4
3. 如图M12-14所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC ＝OD，连接AD,BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的
是( A )
①△APC≌△BPD；②△ADO≌△BCO；③△AOP≌△BOP； ④△OCP≌△ODP. A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④
=____2_∶__3_∶_4_____.
8. 如图M12-18，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和 ∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8，则点P到BC的 距离是___4_____.
9. 如图M12-19，已知AD=CD，BD 平分∠ADC，∠A=∠C吗？ 试证明.
解：∠A=∠C. 证明:∵ BD 平分∠ADC, ∴ ∠ADB=∠CDB. 在△ABD和△CBD中, AD=CD,
(2)解:∵AC=DC，∴AC=DC=EC=BC. 又∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴△ACB≌△DCE(SAS). ∴AB=DE. 由(1)可知,∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC, ∴∠DOM=∠AON=90°. ∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BNC(ASA). ∴CM=CN,DM=AN. ∴△AON≌△DOM(AAS). ∴AO=DO. ∵AB=DE，AO=DO，∴Rt△AOB≌Rt△DOE(HL). ∴四对全等的直角三角形为 Rt△ACB≌Rt△DCE,Rt△EMC≌Rt△BNC, Rt△AON≌Rt△DOM,Rt△AOB≌Rt△DOE.
AD=AD, ∠ADE=∠ADM, ∴△ADE≌△ADM(ASA). ∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
1. 有长为3 cm，4 cm，6 cm，8 cm的木条各两根，小明与 小刚分别取了3 cm和4 cm的木条各一根，再取第三根木条 时要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩
8. 小强为了测量一幢高楼AB的高，在旗杆CD与楼之间选定 一点P. 在P点仰望旗杆顶点C和高楼顶点A（身高忽略不计）， 测得视线PC与地面夹角∠DPC=36°，视线PA与地面夹角 ∠APB=54°，量得点P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等 于10 m，量得旗杆与楼之间距离为DB=36 m. 利用这些数据 小强计算出了楼高，请问楼高AB是多少米？
的距离BD与CD间的关系是( )C
A. BD>CD C. BD＝CD
B. BD<CD D. 不能确定
4. 如图M12-25，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，
现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办
法是(
Ｃ)
A. 带①去
B. 带②去
C. 带③去
D. 带①和②去
5. 如图M12-26，把两根钢条AA′，BB′ 的中点连在一起，可以做成一个测量工 件内槽宽的工具(卡钳)，若测得AB＝
7. 有一座锥形小山，如图M12-28，要测量锥形小山两端A,B 的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接 AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使 CE=CB，连接DE，量出DE的长为50 m，你能求出锥形小 山两端A,B间的距离吗？
解：在△DEC和△ABC中， CD=CA， ∠DCE=∠ACB， CE=CB， ∴△DEC≌△ABC (SAS). ∴AB=DE=50(m).
6. 如图M12-5，点B，E，C，F在同一直线上，且AB=DE， AC=DF，BE=CF，请将下面证明△ABC≌△DEF的过程和理 由补充完整. 证明：∵BE=CF （＿已＿知＿）， ∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中,
AB=＿DE＿＿（＿已＿知＿）， ＿AC＿＿=DF（＿已＿知＿）， BC=＿E＿F ＿（＿已＿证＿）， ∴△ABC≌△DEF （＿＿SS＿S）.
11. 如图M12-21，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E， DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线． 证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠BED=∠CFD. ∴△BDE与△CDE是直角三角形. 在Rt△BDE和Rt△CDF中, EB＝CF,
BD＝CD, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE=DF. ∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， ∴AD是∠BAC的平分线．
4. 如图M12-15，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆
心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分
别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交
于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则
△ABD的面积是( B )
A. 15
B. 30
C. 45
D. 60
∴∠MOP＝∠NOP
OP＝OP
∴△AOP≌△BOP(AAS)
O
BN
∴AO ＝wenku.baidu.comBO
类型一：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型) 如图,已知四边形ABCD中,AB＝CD且AB∥CD,连接BD,在BD上截取BE＝
∴BC=EF
∴AC=DF
类型一：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)
如图A、B分别为OM、ON上的点,点P在∠AOB的平分线上,且∠PAM＝
∠PBN,求证:AO ＝ BO 证明：∵∠PAM＝∠PBN 在△AOP和△BOP中
M
∴∠PAO＝∠PBO
∠PAO＝∠PBO
AP
∵点P在∠AOB的平分线上 ∠MOP＝∠NOP
取的第三根木条应为( B )
A. 一个人取长为6 cm的木条，一个人取长为8 cm的木条 B. 两人都取长为6 cm的木条 C. 两人都取长为8 cm的木条 D. B，C两种取法都可以
2. 如图M12-23，两棵大树间相距13 m，小华从点B沿BC走
向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树
10. (2017广州)如图M12-9，点E，F在AB上，AD=BC， ∠A=∠B，AE=BF. 求证：△ADF≌△BCE.
证明：∵AE=BF， ∴AE+EF=BF+EF. ∴AF=BE. 在△ADF和△BCE中，
AD=BC, ∠A=∠B, AF=BE, ∴△ADF≌△BCE(SAS).
11. 已知，如图M12-10，△ACB和△ECD都是等腰直角三角 形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点． 求证：△ACE≌△BCD.
(1)证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角 形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴AC=BC，DC=EC. ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD. ∴∠BCD=∠ACE. 在△ACE与△BCD中，
AC=BC, ∠ACE=∠BCD, CE=CD, ∴△ACE≌△BCD(SAS). ∴AE=BD.
5. 如图M12-16，AC平分∠BAD，CM⊥AB于点M，
CN⊥AN，且BM＝DN，则∠ADC与∠ABC的关系是( B)
A. 相等
B. 互补
C. 和为150° D. 和为165°
6. 已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB的平分线交于点 O，则∠BOC的度数为____1_2_0_°.
7. 如图M12-17，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20， 30，40，其三条角平分线的交点为O，则
的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED. 已
知大树AB的高为5 m，小华行走的速度为1 m/s，则小华走
的时间是( B )
A. 13 s B. 8 s
C. 6 s
D. 5 s
3. 如图M12-24，两根长度为12 m的绳子，一端系在旗杆上， 另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部
7. 如图M12-6，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方 形，B点的坐标为(2，1)，则D点的坐标为_(_－__1_，_2_)__.
8. 如图M12-7，AC⊥BC，AD⊥DB，下列条件中，能使 △ABC≌△BAD的有__①__②_③____. （填序号） ①∠ABD=∠BAC；②∠DAB=∠CBA；③AD=BC；④ ∠DAC=∠CBD．
证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角 三角形，∴AC=BC，CD=CE. ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD.∴∠ACE=∠BCD. 在△ACE和△BCD中， AC=BC,
∠ACE=∠BCD, CE=CD, ∴△ACE≌△BCD（SAS）.
12. (1)如图M12-11①，△DCE和△ACB均为等腰直角三角 形，求证：AE=BD； (2)如图M12-11②，△DCE和△ACB均为等腰直角三角形， 若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图M1211②中四对全等的直角三角形.
类型一：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)
如图，点B、E、C、F在同一直线上，如果AB=DE，BE=CF，AB∥DE，求证 ：AC＝DF.
A
D 证明：
∵AB∥DE
在△ABC和△DEF中 AB=DE
∴∠ABC＝∠DEF
∠ABC=∠DEF
∵BE＝CF
BC=EF
B
E
C
F ∴BE＋EC＝CF＋EC ∴△ABC≌△DEF(SAS)
5 cm，则内槽宽为＿＿５＿＿cm.
6. 如图M12-27，要测量河岸相对的两点A,B之间的距离，先 从点B处出发，沿与AB成90°角方向，向前走50 m到点C处 立一根标杆，然后继续朝前走50 m到点D处，在点D处右转 90°，沿DE方向再走17 m，到达点E处，使点A，C，E在 一条直线上，那么测得点A，B间的距离为___1_7___m.