沪科版习题库之旋转2

１
1. 如果一个长方形ABCD 的长为10cm ，宽为6cm ，现将其绕它的对称中心，旋转90
后达四边形
A B C D ''''的位置，求长方形ABCD 与四边形A B C D ''''重合部分的面积。

2. 如图正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，F 为CB 延长线上一点，且DE BF =，试说明AEF △是等
腰直角三角形．
3. 如图，两个大小一样的长方形木块ABCD ，DEFG ，摆放如图．试说明90BDF ∠=
．
4. 如图ABC △和CDE △都是等边三角形，求证：AE BD =．
5. 如图，正方形ABCD 的BC 边上一点E ，DAE ∠的平分线交CD 于F ，求证：AE DF BE =+（提
示，以A 点为旋转中心，将ABE △逆时针旋转90
）
A E C B
D
２
6. 如图，E F ，分别是长方形ABCD 上的点，且45EAF ∠=
．试说明EF BE DF =+．
7. 如图，E F ，角分别是正方形ABCD 边BC CD ，上的点且EF BE DF =+，试说明45EAF ∠=
．
8. 把边长为2cm 的正方形ABCD ，绕着点D 逆时针旋转45°后，变为正方形A ′B •′C ′D ′，作出上述图
形．
9. 如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上一点，1
2
AF AB =
．问：（1）可以通过平移、翻折、旋转中的哪种方法，使ABE △变到ADF △的位置？（2）指出图中线段BE 与DF 之
间的关系．
A D
F
B E
A D
F
C
B E
Ｆ
３
10. 如图，在四边形ABCD 中90ADC ABC ∠=∠=
，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD 的面积是16，求DP 的长．（提示：将DAP △以D 点为旋转中心，逆时针旋转90
到DFC △的位置）
11. 如图所示，四边形ABCD 是正方形，△ABF 旋转后与△ADE 重合．
（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转角是多少度？（3）试判断△AFE 的形状．
12. 在△ABC 的外部有一定点O ．若△ABC 绕点O 旋转60°，得到△MNP ，连接OA 、OB 、OC 、OM 、ON 、
OP ．先画出图形，然后找出有哪几对全等三角形．（不再标注其他字母）
13. 如图所示，△ABC 是直角三角形，延长AB 到D ，使BD=BC ，在BC 上取BE=AB ，•连接DE ．△ABC 旋
转后能与△EBD 重合，那么：
（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转角是多少度？（3）AC 与ED 的关系怎样？
D
F C B
P A
14. 如图所示，点C是线段AB上任意一点，分别以AC、BC•为边在同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，•试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋转中心、旋转角及旋转方向．
15. 如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是△ABC内的一点，且AP=3，将△ABP绕点A旋转后与△ACP′重合，求PP′的长．
16. 在同学们喜欢玩的电子游戏中，•有一种简单而又引人入胜的游戏──俄罗斯方法，它是通过调整下落方块的形状及位置，消去已有方块而得分的，•现在屏幕的顶端落下如图23-1-11所示的一组方块，试画出变形后的方块形状．
17. （巧题妙解）点P是等边△ABC内一点，且PA=2，
PC=4，求△ABC的边长．
４
18. 如图所示，已知正方形ABCD•的中心为O，•用纸片剪一个大小与正方形ABCD相等的正方形EFGH，然后把正方形EFGH的顶点H固定在点O，让正方形EFGH•绕点O旋转，正方形ABCD与纸片重合的部分随着纸片旋转的位置不同，而形状也会有所改变，它们有什么相同的地方吗？请你探究出问题的结论．探究的过程，不妨参考下面的过程：
（1）旋转过程中，OD落在边HG上，那么OC应落在边HE上，重合的部分是_________，它的面积是正方形ABCD的面积的_____．
（2）旋转过程中与HG⊥CD时，纸片与正方形ABCD重合部分是一个_________．
它的面积是正方形ABCD的面积的_________．
（3）由以上两种旋转过程中的特殊位置可以推测，纸片与正方形ABCD重合部分的形状会发生变化，面积会改变吗？请你总结探索的结论，并加以证明．
19. 如图所示，△ABC是等腰直角三角形，C为直角顶点．
（1）操作并观察：将三角尺45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于点E、F，然后将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转，观察点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB 中最大线段是否始终是EF？
（2）线段AE、EF、BF能组成以EF为斜边的直角三角形吗？请陈述你的理由．
５
６
20. 如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 上一点，△ABD 经过旋转后到达△ACE 的位置。

（1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？
（3）如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后，点M 转到了什么位置？
21. 在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都为l ，△ABC 与△A 1B 1C 1构成的图形是中心对称图形.
（1）画出此中心对称图形的对称中心O ；
（2）画出将△A 1B 1C 1，沿直线DE 方向向上平移5格得到的△A 2B 2C 2；
（3）要使△A 2B 2C 2与△CC 1C 2垂合，则△A 2B 2C 2绕点C 2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度（不要求证明）？
22. 如图，△ABC 的∠BAC ＝120°
，AB ＝AC ，∠DAE ＝60°，把△AEC 绕着点A 旋转到△ABM 的位置. （1）图中有哪些等角？有哪些等线段？ （2）图中有哪些全等三角形？试说明理由.
７
23. 如图，E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，F 是DC 的延长线上一点，且∠BAE ＝∠FAE .求证：BE +DF ＝
AF .
24. 如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 上.求证：S △DEF ≤S △ADE +S △BDF .
25. 如图，在正△ABC 内有一点P ，P A ＝10，PB ＝8，PC ＝6.求∠BPC 的度数.
26. 已知：如图在△ABC 中，AB=AC ，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC ．
（1）试猜想AE 与BF 有何关系？说明理由．
（2）若△ABC 的面积为3cm 2
，求四边形ABFE 的面积； （3）当∠ACB 为多少度时，四边形ABFE 为矩形？说明理由．
D
C
F
D
A
E
C
B
P
C
B
A
P ′
８
27. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中CA=CB ，四边形CDEF 是正方形，连接AF 、BD.
(1)观察图形，猜想AF 与BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
(2)若将正方形CDEF 绕点C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由
.
28. 如果将点P 绕定点M 旋转180°后与点Q 重合，那么点P 与点Q 关于点M 对称，定点M 叫做对称中心．此时
点M 是线段PQ 的中点．如图，在直角坐标系中，△ABO 的顶点A 、B 、O 的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）．点到P 1、P 2、P 3…中的相邻两点都关于△ABO 的一个顶点对称．
点P 1与点P 2关于点A 对称，点P 2与点P 3关于点B 对称，点P 3与点P 4关于点O 对称，点P 4与点P 5关于点A 对称，点P 5与P 6关于点B 对称，点P 6与点P 7关于点O 对称…，对称中心分别是A ，•B ，O ，A ，B ，O ，…，且这些对称中心依次循环，已知P 1的坐标是（1，1），试写出点P 2，P 7，P 100•的坐标．
29. 如图，网格中有一个四边形和两个三角形．
(1)请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数；这个整体图形至少旋转多少度与自身重合．
30. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知△ABC．
(1)将△ABC向x轴负半轴方向平移4个单位得到△A1B1C1，
画出图形并写出点A1的坐标．
(2)以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，画出图形并写出点A2的坐标．
(3) △A2B2C2可以看作是由△A1B1C1先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到的．除此之外，△A2B2C2还可以由△A1B1C1怎样变换得到？请选择一种方法，写出图形变换的步骤．
９
１０
1. 2
36cm ．
2. 提示：ABF △是ADE △以A 为旋转中心逆时针旋转90
得到的，则90EAF ∠=
，AE AF =，即
AEF △是等腰三角形．
3. 提示：利用DGF △绕旋转中心D ，旋转90
与DAB △重合，则90BDF ∠=
．
4. 提示：BDC △以C 为旋转中心，顺时针旋转60
与AEC △重合，即AE BD =．
5. 证明略．
6. 提示：以A 为旋转中心，将ABE △逆时针旋转90
．
7. 提示：以A 为旋转中心，将ABE △逆时针旋转90 ，证明略．
8. 解：如答图所示．
点拨：作图时要注意旋转中心，旋转方向，旋转角度．
9. （1）绕A 点逆时针旋转90
；（2）垂直且相等．
10. 4．
11. 解：（1）旋转中心是点A ．（2）旋转角是90度．（3）△AFE 是等腰直角三角形．
点拨：△ABF 旋转后与△ADE 重合，说明点A 与点A ，点B 与点D ，点F 与点E 是对应点，•线段AB 与AD ，AF 与AE ，BF 与DE 是对应线段，那么由BA 旋转到DA 经过90°，所以旋转中心是A ，旋转角是90°，由AF 旋转至AE ，∠FAE=90°，AF=AE ．故△AEF 是等腰直角三角形．
12. 解：如答图所示，全等三角形有四对，它们是：△ABC ≌△MNP ，△AOB ≌△MON ，△MOP ≌△AOC
，
△BOC≌△NOP
点拨：回忆判断三角形全等的方法．
13.解：（1）旋转中心是点B．（2）旋转角是90°．（3）AC与DE垂直且相等．
点拨：△EBD可看作△ABC绕点B顺时针旋转90°得到，故AC与DE垂直．
14.解：△ACE旋转后能与△DCB完全重合．
旋转中心是点C，旋转角是60°，旋转方向是顺时针方向．
点拨：也可看作△DCB绕点C逆时针旋转60°得到△ACE．
15.解：依题意，AP绕点A旋转90°时得AP′=AP=3，则△APP′是等腰直角三角形．
所以PP′=
点拨：解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等．
16.解：变形后的方块形状如答图所示．
点拨：同学们对这种游戏不会陌生，很多同学都玩过这种游戏，•落下的图形每次旋转90°，原图形顺时针旋转90°时，可得图（1）；顺时针旋转180°时，可得图（2）；顺时针旋转270°时，可得图（3）．
17. 解：如答图，将△APC绕A逆时针旋转到△AP′B，连接PP′．
因为AP′=AP，且∠P′AB=∠PAC，
所以∠P′AP=∠BAC=60°．
所以△AP′P为正三角形，所以PP′=2，
又因为P′B=PC=4．
所以PB2+PP′2=BP′2，且PP=1
2
P′B．
所以△BPP′中，∠BPP′=90°，且∠PP′B=60°．
所以∠APC=∠AP′B=120°，∠APB=150°．
所以∠BPC=90°，
从而由勾股定理，有
即所求△ABC的边长为
点拨：根据题意，考虑到2，4，恰好有22+（2=42，那么PA、PB、PC可构成直角三角形，△ABC又是特殊三角形，应设法把PA、PB、PC集中到一个三角形中，让它们组成一个直角三角形，因此，实施旋转变换即可解决问题．
18.解：（1）△COD；1
4
（2）正方形；
1
4
（3）两个正方形重合部分的面积是正方形ABCD面积的1
4
，不会随着旋转而发生变化，理由如下：如答图所
示，不妨设BC与HE交于点M，CD与HG交于点N．•因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，OC=OD，∠1=∠2=45°，
又因为∠3+∠4=90°，∠4+∠5=90°，
所以∠3=∠5．
所以△DON≌△COM，
所以S△DON=S△COM．
所以重合部分的面积S四边形MONC=S△COM +S△CON =S△DON +S△CON =S△COD =1
4
S正方形ABCD．
点拨：探索先从特殊情况入手，得出问题的结论，然后推广到一般形式，取出一般形式中的一个具体位置，通过对一般情况的证明说明结论的正确性．象这类求定值问题，通常都是由特殊情况求定值，再由一般情形证定值．
19.解：（1）不论旋转到什么位置，最大线段始终是EF．
（2）线段AE、EF、BF能组成以EF为斜边的直角三角形．
理由如下：把△FCB绕着点C按顺时针方向旋转90°到△GCA的位置．
连接GE．则△GCA≌△FCB．如答图23-1-12所示．
依题意：∠1+∠2=∠ECF=45°，
因为△GCA≌△FCB，
所以∠2=∠3，FC=GC，∠4=∠B=45°，
所以∠1+∠3=∠ECF=45°，
所以△GCE≌△FCE，所以GE=EF．
又因为∠5+∠B=90°，所以∠4+∠5=90°．
即△GAE是直角三角形．由于GA=FB，GE=FE．
所以AE、EF、FB能组成以EF为斜边的直角三角形．
点拨：题目的证明难度较大，同学们首先应该把AE、EF、FB这三条线段转移到同一个三角形中，判断这个三角形的形状即可．
20.解：（1）旋转中心是A点；
（2）逆时针旋转角∠BAC＝60°；
（3）点M转到了AC的中点位置上。

21.（1）连结任意一组对应点，再找出其线段的中点即为对称中心O或连结任意两组对应点，其线段的交点即为对称中心O，（2）略，（3）90°.
22.（1）∠1＝∠2，∠ABE＝∠C＝30°，∠DAE＝∠MAD＝∠MBD＝60°，∠AEC＝∠AMB，∠BAC＝∠MAE，∠ADM＝∠ADE，∠AMD＝∠AED；AE＝AM，EC＝BM，DM＝DE，（2）△AEC≌△AMB，△ADE≌△ADM.由AC＝AB，AE＝AM，EC＝MB得△AEC≌△AMB，由AE＝AM，∠DAE＝∠DAM＝60°，AD＝AD得△ADE ≌△ADM.
23.将△ABE绕A点逆时针旋转90°到△ADE′，则由正方形和旋转的特征可知，DE′＝BE，∠DAE′＝∠BAE，∠E′＝∠AEB，且DE′与DF成一条直线，由于∠BAE＝∠FAE，而∠AEB＝∠DAE，所以∠AEB＝∠FAE′，即∠E′＝∠FAE′，所以E′F＝AF，故BE+DF＝AF.
24.将△ADE绕点D旋转，使得AD与BD重合，得△BDE′，其中E′是E的对应点，这样△ADE≌△BDE′，所以S△ADE+S△BDF＝S△BDE′+S△BDF＝S四边形BFDE′，因为D是EE′的中点，所以S△DEF＝S△DE′F，故S△DEF＝S△DE′F≤S四边形BFDE′＝S△BDF+ S△BDE′.即S△DEF≤S△ADE+S△BDF.
25.以C中心，将△APC旋转60°，得到△BP′C，则BP′＝AP＝10，CP′＝CP＝6，∠PCP′＝60°，所以△PCP′是等边三角形，即PP′＝6，又PB＝8，BP′＝P A＝10，所以BP′2＝PP′2+BP2.所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°.所以∠BPC＝∠BPP′+∠P′PC＝90°+60°＝150°.
26.（1）AE与BF平行且相等，
∵ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，
∴△ABC•与△FEC关于C点中心对称，
∴AC=CF，BC=CE，
∴四边形ABFE为平行四边形，•
∴AE•平行于BF；
（2）∵AC=CF，
∴S△BCF=S△ABC=3，
∵BC=CE，
∴S△ABC=S△ACE=3，
∴S△CEF=S△BCF=3，
∴S ABFE=3×4=12（cm2）．
（3）•当∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴AB=BC=CA.
27. (1)猜想：AF=BD且AF⊥BD.
证明：设AF与DC交点为G.
∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF.
∴△ACF≌△BCD.
∴AF=BD.
∴∠AFC=∠BDC.
∵∠AFC+∠FGC=90°, ∠FGC=DGA，
∴∠BDC+∠DGA=90°.
∴AF⊥BD.
∴AF=BD且AF⊥BD.
(2)结论：AF=BD且AF⊥BD.
图形不惟一，只要符合要求即可.如：
①CD 边在△ABC 的内部时； ②CF 边在△ABC 的内部时.
28. P 2（1，-1），P 7（1，1），P 100（1，-3）.
说明：去年在教学这部分内容时，发现学生对旋转知识的掌握有点难度，而中心对称和与旋转及中心对称有关的作图题大都会做，因此安排的与旋转有关的题目多了些！
29. （1）如图．
（2）4条对称轴，这个整体图形至少旋转90
．
30. （1）1A 的坐标为(13)-，；图略； （2）2A 的坐标为(33)-，
；图略；
（3）将111A B C △先以点1B 为旋转中心，顺时针旋转90
得111A B C '''△，然后将111A B C '''△向下平移2个单
位得111A B C ''''''△，接着将111A B C ''''''△向右平移4个单位，即可得222A B C △．（答案不惟一，变换正确即可）．。