九年级数学上册1.4用解决问题专项练习二等积变形面积问题新版苏科版043.doc

第一章第4节用一元二次方程解决问题专项练习二
二、等积变形、面积问题2：
1．某家庭农场要建一个长方形的养兔场，兔场的两边靠墙（两堵墙互相垂直，长度不限），另两边用木栏围成，木栏总长20米．
（1）兔场的面积能达到100平方米吗？请你给出设计方案；
（2）兔场的面积能达到110平方米吗？如能，请给出设计方案，若不能说明理．
2．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
3．如图，学校打算用16 m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如下图），面积是30 m2．求生物园的长和宽．
4．现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，求出剪去的小正方形的边长？
5．校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？
6．要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化、设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩
形ABCD面积的1
4
，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
7．如图，在矩形ABCD中，BC=24cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
8．如图，要建一个面积为150 m2的矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边沿用原来的一堵墙，墙长为a m，其余三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆的长为35 m.
(1)如果a＝40，那么养鸡场的长和宽各为多少米？
(2)如果a是一个可以变化的量，那么墙的长度a对所建的养鸡场有怎样的影响？
9．如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽
10．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC 方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，几秒后△PCQ的
面积为Rt△ACB面积的5
8
？
11．做一个底面积为24 cm2，长，宽，高的比为4∶2∶1的长方体．求：
(1)这个长方体的长、宽、高分别是多少？
(2)长方体的表面积是多少？
12．把一边长为36cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为676cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为880cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）
13．在一块长，宽为的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
（）小芳说，‘我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同’，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度．
（）小华说，‘我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形荒地的四条边上’，请你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩形，在图和图中画出相应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理由．
14．用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)．并制成一个长方体纸盒。

（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
答案详解：
1．（1）10 m；（2）110 m2．
试题分析：（1）设AB=x，则BC=20–x，利用矩形的面积作为等量关系列方程，解方程求解即可，根据方程解的情况给出方案；（2）设AB=x，则BC=20–x，利用矩形的面积作为等量关系列方程，若一元二次方程有解则可求出长和宽从而可设计方案，若方程无解，则不能围成上述条件的长方形．
试题解析：
（1）设AB=x，则BC=20–x，根据题意，得x（20–x）=100
整理，得x2–20x+100=0，
解得x1=x2=10，
所以兔场的面积能达到100 m2，
设计方案为：AB=BC=10 m．
（2）设AB=x，则BC=20–x，根据题意，得x（20–x）=110，
整理，得x2–20x+110=0，∵Δ=400–440<0，∴原方程无解．
故兔场的面积不能达到110 m2．
点拨：本题考查了一元二次方程的应用，解决这类题目要读懂题意，准确的找到等量关系列方程，解出方程的解后要注意代入实际问题中判断是否符合题意，进行值的取舍．
2．700．
试题分析：本题可设无盖长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米，根据刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，结合图形可列出方程，求出答案．
试题解析：设长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米．
依题意，有x（x+2）×1=15．
整理，得x2+2x-15=0，
解得x1=-5（舍去），x2=3，
∴这种运动箱底部长为5米，宽为3米．
由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为
（5+2）×（3+2）=35
∴做一个这样的运动箱要花35×20=700（元）．
答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元
3．长和宽分别是3、10或5、6.
试题分析：首先设生物园的宽为x米，则长为（16-2x）米，根据题意可得等量关系：长方形的长×宽=面积30米2，由等量关系列出方程x×（16-2x）=30，再解方程即可．
试题解析：设宽为x m，则长为（16-2x）m．
由题意，得x×（16-2x）=30，
解得 x1=3，x2=5．
当x=3时，16-2×3=10，
当x=5时，16-2×5=6．
4．3cm．
试题分析：设剪去的小正方形的边长为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
试题解析：设剪去的小正方形的边长为xcm，
根据题意得：（20-2x）（10-2x）=56，
整理得：（x-3）（x-12）=0，
解得：x=3或x=12，
经检验x=12不合题意，舍去，
∴x=3，
则剪去小正方形的边长为3cm．
5．2m
首先设道路的宽为xm，然后根据种植面积列出方程（32-x）（20-x）=540，整理，得x2-52x+100=0，∴（x-50）（x-2）=0，∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去），小道的宽应是2m．
故答案为：2.
点拨：此题应熟记长方形的面积公式，另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.
6．两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．
试题分析：可把P，Q通过平移看做一个矩形，设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，用含x的代数式分别表示出绿地的长为60﹣3x，宽为40﹣2x，利用“两块绿地面积的和为矩形ABCD
面积的”作为相等关系列方程求解即可．
解：设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，根据题意，得
解之得
x1=10，x2=30
经检验，x2=30不符合题意，舍去．
答：两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．
7．（1）x=4时点P与点N重合；（2）当x=2或时四边形NQMP是平行四边形.
分析：（1）P、N两点重合，即AP+DN=AD=BC，联立方程解答即可；
（2）把P、N两点分两种情况讨论，点P在点N的左侧或点P在点N的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可．
详解：（1）当点P与点N重合时，由x2+2x=24，得x1=4、x2=-6（舍去），
所以x=4时点P与点N重合．
（2）因为当N点到达A点时，x2=24，解得：，
∴此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧，
①如图1，当点P在点N的左侧时，由24-（x+3x）=24-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2；故当x=2时四边形PQMN是平行四边形；
②如图2，当点P在点N的右侧时，由24-（x+3x）=（2x+x2）-24，解得，
（舍去）；故当时四边形NQMP是平行四边形；
综上：当x=2或时四边形NQMP是平行四边形.
点拨：本题主要考查一元二次方程的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的性质； 关键是能借助图形的性质找出数量关系，并能针对具体问题进行分类讨论.
8．（1）养鸡场的长、宽分别为20 m ，7.5 m 或15 m ，10 m.（2）建成长为15 m ，宽为10 m 或长为20 m ，宽为7.5 m 的养鸡场． 分析：
（1）设与墙垂直的一边长为xm ，则由题意可得与墙平行的一边长为（35-2x ）m ，根据长方形的面积计算公式结合题意列出方程，解方程即可求得养鸡场的长和宽；
（2）由养鸡场与墙平行的一边的长度不大于墙的长度a ，结合（1）中所得结果进行分析即可. 详解：
(1)设养鸡场与墙垂直的一边长为x m ，则与墙平行的一边长为(35－2x )m ，根据题意得：x (35－2x )＝150，
解得：x 1＝10，x 2＝7.5， 当x ＝10时，35－2x ＝15； 当x ＝7.5时，35－2x ＝20.
答：养鸡场的长、宽分别为20 m ，7.5 m 或15 m ，10 m.
(2)由题意可知，养鸡场与墙平行的一边的长度不大于墙的长度a ，结合（1）中的结果可知： ①当a ＜15时，问题无解；
②当15≤a ＜20时，问题有一解，即可建成长为15 m 、宽为10 m 的养鸡场；
③当a ≥20时，问题有两解，即可建成长为15 m ，宽为10 m 或长为20 m ，宽为7.5 m 的养鸡场． 点拨：（1）“读懂题意，结合图形，知道用竹篱笆只围了养鸡场的三面”是解答第1小题的关键；（2）“读题题意，知道养鸡场与墙平行一边的长度不大于墙的长度a ”是解答第2小题的关键. 9．花边的宽为1米.
试题分析：可以设花边的宽为x 米，可以列出方程解题. 试题解析：解：设花边的宽为x 米，列方程为
()()262340x x ++=
解之得1211
1,2
x x ==-
（舍去）答：花边的宽为1米. 10．10秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的5
8
．
试题分析：设运动时间为t 秒，表示出PC 、QC ，再根据三角形的面积公式列出方程，然后根据一元
二次方程的解法求解即可．
试题解析：设运动时间为t秒，则PC=8﹣0.2t，QC=6﹣0.1t，
由题意得，1
2
（8﹣0.2t）（6﹣0.1t）=
5
8
×
1
2
×6×8，
整理得，t2﹣100t+900=0，解得t1=10，t2=90（舍去），
答：10秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的5
8
．
11．(1)这个长方体的长、宽、高分别是cm，，； (2)长方体的表面积是84 cm2. 试题分析：(1)(2)设出长宽高，利用底面积，求出长宽高，最后再求出表面积.
试题解析：
(1)设长方体的高为x，则长为4x，宽为2x，由题意得4x×2x＝24解得x4x＝，2x
＝答：这个长方体的长、宽、高分别是， cm， cm
＋)×2＝(24＋12＋6)×2＝42×2＝84(cm2)．答：长方体的表面积是84 cm2
12．（1）①剪掉的正方形的边长为5cm，②当剪掉的正方形的边长为9cm时，长方形盒子的侧面积最大为648cm2；（2）剪掉的正方形的边长为8cm．此时长方体盒子的长为20cm，宽为10cm，高为8cm．分析：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（36-2x）2=676，求出即可；
②设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为Scm2，则y与x的函数关系为：S=4（36-2x）x，利用二次函数最值求出即可；
（2）设剪掉的长方形盒子的高为acm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为880cm2，得出等式方程求出即可．
详解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm．
则（36﹣2x）2=676，即36﹣2x=±26，
解得：x1=31（不合题意，舍去），x2=5，
∴剪掉的正方形的边长为5cm．
②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为Scm2，
则S与x的函数关系为：
S=（36﹣2x）×x×4=﹣8x2+144x=﹣（x﹣9）2+648，
∴x=9时，S最大=648．
即当剪掉的正方形的边长为9cm时，长方形盒子的侧面积最大为648cm2；
（2）在如图的一种剪裁图中，
设剪掉的正方形的边长为acm，长为（36﹣2a）cm，宽为（18﹣a）cm，高为acm．
（36﹣2a）×36+2a（18﹣a）=880
解得：a1=﹣26（不合题意，舍去），a2=8．
∴剪掉的正方形的边长为8cm．此时长方体盒子的长为20cm，宽为10cm，高为8cm．
点拨：本题考查了二次函数的应用及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，建立数学模型，利用所学知识求解．
13．（）能，宽度为米;（）见解析
分析：（）设宽度为米，根据花园面积是荒地面积的一半列出方程，求解即可；
（）作矩形的中点四边形，得菱形，则菱形面积矩形面积，
以矩形两宽的中点连线为直径，作圆，交两长于、，得矩形，则．
详解：（）设宽度为米，则，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
答：路宽为米．
（）如图①，作矩形的中点四边形，得菱形，则菱形面积矩形面积，
如图②，以矩形两宽的中点连线为直径，作圆，
交两长于、，得矩形，则．
点拨：本题主要考查了应用设计与作图，正确作图是解题的关键．
14．（1）；；（2）
分析：（1）根据图形可知剩余部分的面积=长方形的面积﹣4个小正方形的面积，从而可以用代数式表示出来，纸盒的底面是一个长方形，面积=长×宽；
（2）根据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程，求解即可．
详解：（1）由题意得：纸片剩余部分的面积是ab﹣4x2；纸盒的底面积=(a-2x)(b-2x)，
（2依题意有：－42=42
将=6，=4，代入上式，得2=3
解得
即正方形的边长为．
点拨：本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）利用长方形的面积减去四个正方形的面积，列出代数式；（2）根据剩余部分与减去部分面积间的关系，列出一元二次方程．。