人教版八下数学19.2.2 课时1 一次函数的概念教案+学案

人教版八年级下册数学第19章一次函数
19.2.2一次函数
课时1 一次函数的概念教案
【教学目标】
知识与技能目标
1．结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式；
2．能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系；
3．初步体会用待定系数法求一次函数解析式的方法．
过程与方法目标
1．在一次函数概念的探索过程中,经历观察——猜想——归纳的数学发现过程.
2．体会数形结合和由特殊到一般的数学思想,培养探索创新精神.
情感、态度与价值观目标
学会从实际问题中建立一次函数的模型,体会一次函数在实际生活中的应用价值．
【教学重点】
掌握一次函数的概念及其解析式.
【教学难点】
一次函数与正比例函数关系及从实际中建立一次函数的模型.
【教师准备】
教师准备：教学中出示的教学插图和例题.
学生准备：预习本节内容.
【教学过程设计】
一、情境导入
1．仓库内原有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系式．
2．今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米．据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米，求树高(米)与年数之间的函数关系式，并算一算4年后
这些树约有多高．
3．小徐的爸爸为小徐存了一份教育储蓄．首次存入1万元，以后每个月存入500元，存满3万元止．求存款数增长的规律．几个月后可存满全额？
以上3道题中的函数有什么共同特点？
二、合作探究
知识点一：一次函数的定义
【类型一】辨别一次函数
例1下列函数是一次函数的是()
A．y＝－8x B．y＝－8 x
C．y＝－8x2＋2 D．y＝－8
x＋2
解析：A.它是正比例函数，属于特殊的一次函数，正确；B.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；C.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；D.自变量次数不为1，不是一次函数，错误．故选A.
方法总结：一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
【类型二】一次函数与正比例函数
例2已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋3.
(1)当m、n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
解析：(1)根据一次函数的定义，m－1≠0，2－|m|＝1，据此求解即可；(2)根据正比例函数的定义，m－1≠0，2－|m|＝1，n＋3＝0，据此求解即可．解：(1)根据一次函数的定义得2－|m|＝1，解得m＝±1.又∵m－1≠0即m≠1，∴当m＝－1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
(2)根据正比例函数的定义得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝±1，n＝－3.又∵m－1≠0即m≠1，∴当m＝－1，n＝－3时，这个函数是正比例函数．方法总结：一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠0，自变量的次数为1，常数项b可以为任意实数．正比例函数y＝kx的解析式中，比例系数k是常数，k≠0，自变量的次数为1.
知识点二：根据实际问题求一次函数解析式
【类型一】列一次函数解析式
例3写出下列各题中y与x的函数关系式，并判断y是否是x的一次函数或正比例函数？
(1)某村耕地面积为106(平方米)，该村人均占有耕地面积y(平方米)与人数
x (人)之间的函数关系；
(2)地面气温为28℃，如果高度每升高1km ，气温下降5℃，气温x (℃)与高度y (km)之间的函数关系．
解析：(1)根据人均占有耕地面积y 等于总面积除以总人数得出即可；(2)根据高度每升高1km ，气温下降5℃，得出28－5y ＝x 求出即可．
解：(1)根据题意得y ＝106x ，不是一次函数；
(2)根据题意得28－5y ＝x ，则y ＝－15x ＋285，是一次函数．
方法总结：根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
【类型二】 确定一次函数解析式中系数的值
例4 已知一次函数y ＝kx ＋b 中，当自变量x ＝3时，函数值y ＝5；当x ＝－4时，y ＝－9.求k 和b 的值．
解析：把两组对应值分别代入y ＝kx ＋b 得到关于k 、b 的方程组，然后解方程组求出k 和b .
解：(1)∵当自变量x ＝3时，函数值y ＝5，当x ＝－4时，y ＝－9，∴⎩⎨⎧3k ＋b ＝5，－4k ＋b ＝－9，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝－1.
方法总结：解决此类问题就是将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组解答即可．
三、教学小结
师生共同回顾本节课所学的主要内容:
1.一般地,形如 y =kx +b (k ,b 是常数,k ≠0)的函数,叫做一次函数.
2.一次函数解析式y =kx +b (k ≠0)的条件k ≠0千万不能忽略,如果k =0,y =b 就不是一次函数了.
3.正比例函数是特殊的一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.
【板书设计】
19.2.2一次函数
课时1 一次函数的概念
1．一次函数的定义
2．一次函数与正比例函数的区别和联系
3．根据实际问题求一次函数解析式
4．例题讲解:
【学习检测】
1.下列说法中不正确的是 ( )
A.正比例函数一定是一次函数
B.一次函数不一定是正比例函数
C.不是一次函数就不是正比例函数
D.正比例函数不是一次函数
解析:利用一次函数和正比例函数的关系解决本题即可.故选D .
2.下列说法正确的是 ( )
A .y =kx +b 是一次函数 B.一次函数是正比例函数
C.正比例函数是一次函数
D.不是正比例函数就一定不是一次函数 C(解析:根据一次函数的概念及一次函数与正比例函数的关系解决本题即可.)
3.下列函数中,是一次函数的有 ,是正比例函数的有 .
(1)y =-8x ;(2)y =;(3)y =5x 2+6;(4)y =-0.5x -1;(5)y =-;(6)y =2(x +3);(7)y =4-3x.
(1)(4)(6)(7) (1)(解析:利用一次函数的概念判定一次函数,根据正比例函数的概念判定正比例函数即可.)
4.已知方程3x －2y =1,把它化成y =kx +b 的形式是 ;这时k = ,b = ;当x =﹣2时,y = ,当y =0时,x = .
解析:利用一次函数的概念即可确定k ,b 的值,把x =﹣2代入解析式即可求出y 的值,把y =0代入解析式即可求出x 的值.
答案:y =23x －21 23 －21 ﹣27 3
1 5.关于x 的一次函数y =(m -2)x n -1+n 中,m ,n 应满足的条件分别是 .
解析:根据一次函数的概念,可知m -2≠0,n -1=1,求出m ,n 符合的条件即可.故填m ≠2,n =2.
6.已知y ＋b 与x ＋a (a ,b 是常数)成正比例.
(1)试说明y 是x 的一次函数;
(2)如果x =3时y =5,x =2时y =2,求y 与x 的函数关系式.
引导学生分析:(1)根据正比例函数的定义,把y ＋b 与x ＋a 分别看作一个整体,分别作为一个变量,可得y ＋b =k (x ＋a ),所以y =kx ＋ka -b.根据一次函数的定义可知y 是x 的一次函数;
(2)设y 与x 的一次函数解析式为y =mx +n ,分别把x =3,y =5和x =2,y =2代入解析式中,得到关于m ,n 的方程组,解方程组即可.
解:(1)设y ＋b 与x ＋a 的函数解析式为y ＋b =k (x ＋a ),得y =kx ＋ka －b. 根据一次函数的概念可知y 是x 的一次函数.
(2)设y 与x 的函数解析式为y =mx ＋n.
把x =3,y =5和x =2,y =2分别代入,得:⎩⎨⎧＋n＝2
m 2＋n＝53m 解得⎩
⎨⎧==﹣43n m 则y =3x －4.
归纳总结:判断一次函数,利用一次函数的定义判断即可. 通常是利用待定系数法求一次函数的解析式.
7.下列函数中是一次函数的有哪些?并说出k 和b 的值.
(1)y =-x ;(2)y =+2;(3)y =5x 2-3;(4)m =2.5n -0.3;(5)y =3x +3(1-x );(6)l =r -.
引导学生分析:根据一次函数y =kx +b 的特征去判断,注意(1)是正比例函数,当然也是一次函数;(5)化简得y =3,不符合k ≠0的要求,故不是一次函数.
解:是一次函数的有(1),其中k =-,b =0;有(4),其中k =2.5,b =-0.3;有(6),其中k =,b =-. 归纳总结:(1)一次函数成立的条件:①自变量的指数为1;②一次项系数k ≠0.
(2)一次函数与正比例函数的关系:正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.一次函数y =kx +b 中,当b =0时,一次函数就变成了正比例函数,所以正比例函数是特殊的一次函数.
8.已知y +b 与x +a (a ,b 是常数)成正比例.
(1)试说明y 是x 的一次函数;
(2)如果x =3时y =5,x =2时y =2,求y 与x 的函数关系式.
引导学生分析:(1)根据正比例函数的定义,把y +b 与x +a 分别看作一个整体,分
别作为一个变量,可得y+b=k(x+a),所以y=kx+ka-b.根据一次函数的定义可知y是x 的一次函数;
(2)设y与x的一次函数解析式为y=mx+n,分别把x=3,y=5和x=2,y=2代入解析式中,得到关于m,n的方程组,解方程组即可.
解:(1)设y+b与x+a的函数解析式为y+b=k(x+a),得y=kx+ka-b.
根据一次函数的概念可知y是x的一次函数.
(2)设y与x的函数解析式为y=mx+n.
把x=3,y=5和x=2,y=2分别代入,得:
解得
则y=3x-4.
归纳总结:判断一次函数,利用一次函数的定义判断即可.通常是利用待定系数法求一次函数的解析式.
9.已知y=(m+1)x2-|m|+n+4.
(1)当m,n取何值时,y是x的一次函数?
(2)当m,n取何值时,y是x的正比例函数?
解析:一次函数y=kx+b的解析式中k≠0,自变量的次数为1,常数项b可以为任意实数;正比例函数的解析式中,比例系数k是常数,k≠0,自变量的次数为1.
解:(1)根据一次函数的定义,得2-|m|=1,解得m=±1.又∵m+1≠0,即m≠-1,∴当m=1,n为任意实数时,这个函数是一次函数.(2)根据正比例函数的定义,得2-|m|=1,n+4=0,解得m=±1,n=-4,又∵m+1≠0,即m≠-1,∴当m=1,n=-4时,这个函数是正比例函数.
10.已知关于x的函数y=(k+2)x+k2-4,
(1)当k满足什么条件时,它是正比例函数?
(2)当k满足什么条件时,它是一次函数?
解析：(1)根据正比例函数的定义可知:k2-4=0且k+2≠0确定k的值.
(2)根据一次函数的定义可知:k+2≠0确定k的值即可.
解:(1)当k2-4=0且k+2≠0时,即k=2时,它是正比例函数.
(2)当k+2≠0,即k≠-2时,它是一次函数.
【教学反思】
成功之处：在本节函数本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——总结升华”为主线,使学生亲身体验一次函数特征的探索,深化一次函数与正比例函数的关系的理解,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.
不足之处：在教学过程中,高估了学生对一次函数的概念及与正比例函数关系的理解能力,主要困难在于对一次函数的特征的掌握不牢固,对于正比例函数只不过是一次函数的特例的理解不够深入.
再教设计：适当增加学生练习的时间,通过学生独立思考并通过讨论分析,正确完成解题过程,达到理解概念并掌握一次函数与正比例函数的目的.
人教版八年级下册数学第19章平行四边形
19.2.2一次函数
课时1 一次函数的概念学案
【学习目标】
1．理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系；
2．能利用一次函数解决简单的实际问题．
【教学重点】
掌握一次函数的概念．
【教学难点】
能利用一次函数解决简单的实际问题．
【自主学习】
一、知识链接
1.一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数.
2.下列哪些函数是正比例函数？如果是，请说出比例系数.
（1）y=3x；（2）y=2
3
x
；（3）y=
2
x
；（4）y=3x2；（5）x
y）
（1
+
=π.
二、新知预习
1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
(1)有人发现，在20 ℃～25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t（单位：℃）有关，且c 的值约是t 的7 倍与35的差；
(2)一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是，以cm为单位量出身高值h ，再减常数105，所得差是G 的值；
(3)某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话x min 的计时费（按0.1元/min收取）；
(4)把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少x cm，宽不变，矩形面积y（单位：cm2）随x的值而变化．
(5)观察以上出现的四个函数解析式，很显然它们不是正比例函数，那么它们有什么共同特征呢？
2.自主归纳：
一般地，形如（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
三、自学自测
1.下列哪些函数是一次函数？如果是，请分别说出k，b是多少.
(1)y=3x+2；(2) y=4（x+1）；(3)y=2
3
x
；
(4)y=x（3x+2）；(5)y=21 3
x
.
2.当m ,n 时，函数y=(m-3)x n+m+2是一次函数.
四、我在自学过程中产生的疑惑
【新知探究】
一、新知梳理
知识点1：一次函数的概念
问题1：一次函数的定义是什么？它与正比例函数又有何联系？
【典例探究】
例1已知函数y=(m-1)x+1-m2
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
要点归纳：
1.一次函数y=kx+b的特点如下：
（1）解析式中自变量x的次数是次;
（2）比例系数k ；
（3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.
2.（1）当b 时，y=kx+b 即y= (k≠0)，此时该一次函数是正比例函数. （2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
例2 已知一次函数y=kx+b，当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1．求k 和 b 的值．
方法总结：将两组自变量及对应的函数值代入函数解析式中，得到关于k，b的方程组，
解方程即可.
【跟踪练习】
1.已知函数y=2x|m|+(m+1).
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
2.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)求x＝2.5时，y的值．
知识点2：一次函数的简单应用
例3 汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升, 求油箱的油量y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y是x 的一次函数吗？
【跟踪练习】
1.我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为：（3860-3500）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的函数解析式；
(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
2.如图，△ABC是边长为x的等边三角形.
(1)求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
(2)当
x的值.
(3)求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？
【学习检测】
1.下列说法正确的是（）
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.正比例函数是一次函数
2.若函数y=(m-3)x+m+3是正比例函数,则m=.
-3(解析:根据一次函数与正比例函数的关系,一次函数y=kx+b,当k≠0且b=0时,一次函数即为正比例函数.)
3.在函数①y=2-x；②y=8+0.03t；③y=1+x+1
x
；④y=
+3
x
x
中，是一次函数的有
________.
4.若函数y=(m-3)x+2-m是一次函数,则m.
≠3(解析:根据一次函数的概念可知,一次函数y=kx+b应满足的条件是k≠0.)
5.要使y=(m-2)x n-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足_________,_________.
6.仓库内原有粉笔400盒,如果每个星期领出36盒,则仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系式是,它是函数.
Q=400-36t一次(解析:仓库内余下的粉笔盒数=原有粉笔盒数-t个星期领出的盒数=400-36t,根据一次函数的定义可知它是一次函数.)
7.如果长方形的周长是30cm，长是xcm，宽是ycm.
(1)写出y与x之间的函数解析式，它是一次函数吗？
(2)若长是宽的2倍，求长方形的面积.
8.已知函数y=(2-m)x+2m-6.
(1)当m为何值时,此函数为一次函数?
(2)当m为何值时,此函数为正比例函数?
解:(1)当2-m≠0,即m≠2时,此函数为一次函数.(2)当2-m≠0且2m-6=0,即m=3时,此函数为正比例函数.
9.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s．
(1)求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式；
(2)求第2.5 s 时小球的速度；
(3)时间每增加1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？
10.一种移动通讯服务的收费标准为:每月基本服务费为30元,每月免费通话时间为120分,以后每分收费0.4元.
(1)写出每月话费y(元)与通话时间x(x>120)(分)的函数关系式;
(2)分别求每月通话时间为100分,200分的话费.
解:(1)y=30+(x-120)×0.4=0.4x-18.(2)当x=100时,y=30(元),当x=200时,y=0.4×200-18=62(元).
11.今年植树节,同学们种的树苗高约1.80米.据介绍,这种树苗在10年内平均每年长高0.35米.
(1)求树高y与年数x之间的函数关系式;
(2)同学们在3年之后毕业,则这些树高是多少米?
解:(1)y=1.80+0.35x(0≤x≤10).(2)当x=3时,y=1.80+0.35×3=2.85(米).
12.一个弹簧不挂重物时长12 cm,挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比例.如果挂上1.5 kg的物体后,弹簧伸长2 cm.
(1)求弹簧总长y(单位:cm)随所挂物体质量x(单位:kg)变化的函数解析式;
(2)求所挂重物为6 kg时,弹簧的总长.
解:(1)每挂1 kg物体弹簧伸长的长度为= cm,则挂x kg物体弹簧伸长的长度为x cm,所以弹簧总长度y=12+x.(2)当x=6时,y=12+×6=20(cm).
【拓展探究】
13.某种气体在0 ℃时的体积为100 L,温度每升高1 ℃,它的体积增加0.37 L.
(1)写出气体体积V(L)与温度t(℃)之间的函数解析式;
(2)求当温度为30 ℃时气体的体积;
(3)当气体的体积为107.4 L时,温度为多少摄氏度?
解:(1)V=100+0.37t.(2)当t=30时,V=100+0.37×30=111.1(L).(3)当V=107.4时,有107.4=100+0.37t,解得t=20,因此,当气体的体积为107.4 L时,温度为20 ℃.。