2023-2024学年山东省泰安肥城市高考适应性训练数学模拟试题(一模)含解析

2023-2024学年山东省泰安肥城市高考适应性训练数学模拟试题
（一模）
一、单选题
1．已知集合1|,102x
A y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫
==-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，(){}|ln 2B x y x ==-，则()A B =R ð（
）
A ．[]1,2
B ．()1,2
C ．[)1,+∞
D ．()
1,+∞【正确答案】C
【分析】先求出集合,A B ，然后利用集合补集和并集运算即可.
【详解】由已知1|,102x
A y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-≤≤⎨⎬ ⎪
⎝⎭⎪⎪⎩⎭
[]1,2=，(){}|ln 2B x y x ==-(),2=-∞，[)2,B ∴=+∞R ð，∴()[)1,R A B ∞⋃=+ð.
故选：C.
2．复数z 满足()
1|2i |z =-，则复数z 的虚部为（）
A ．
B ．
C
D 【正确答案】B
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得12z =+，得到12z =，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由复数z 满足()
12i =2z =-，可得211
2z =
+，
所以12z =
，所以复数z 的虚部为故选：B.
3．在ABC 中，点D 为AC 中点，点E 在BC 上且2BE EC =.记,AB a AC b == ，则ED =
（
）
A ．1136
a b -+
B ．1136
a b --
C ．1163a b --
D ．1136
a b
-
【正确答案】B
【分析】利用向量加法、减法法则线性表示即可.【详解】如图所示：
由,AB a AC b == ，
所以BC AC AB b a =-=- ，
又2BE EC = ，()
1133
EC BC b a ∴==- ，
又因为D 为AC 中点，12
CD b ∴=-
，
则1136
ED EC CD a b =+=-- ，
故选：B.
4．已知πsin 43α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则sin 2α=（）
A ．59
-
B ．13
-
C ．
5
9
D ．
13
【正确答案】A
【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算即可.
【详解】已知πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，所以2ππ5sin 2cos 22sin 1249ααα⎛⎫⎛
⎫=-+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
故选：A.
5．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（
）
A ．236
B 2363
C ．42363
D ．32364
【正确答案】C
【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，由等体积转化得出截去的三棱锥的高，由体对角线减去该高，计算即可.
【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，如图所示，由题意可知：π,2,2AD BD AB ADB ==∠=
，所以π
2sin 24
AD ==故该正方体的棱长为22+22，则该小三棱锥几何体的体积为1122232V ⎛=⨯⨯ ⎝
所以该三棱锥的顶点D 到面ABC 的距离
6
313
2234h ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
.
易知鲁班锁两个相对的三角形面平行，且正方体的体对角线MD 垂直于该两面，故该两面的距离(24
2223623633
d =+=故选：C
6．
已知函数()()sin f x A x b ωϕ=++(0,ω>0,0A ϕπ><<),b R ∈的部分图象如图，则（）
A ．π6
ϕ=
B ．π2
6f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
C ．点5π,018⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为曲线()y f x =的一个对称中心
D ．将曲线()y f x =向右平移π
9
个单位长度得到曲线4cos32y x =+【正确答案】D
【分析】由函数图象求出4
2
A b =⎧⎨=⎩，将点()0,4的坐标代入()()4sin 2f x x ωϕ=++求出ϕ可判
断A ；求出()f x 的解析式，求π6f ⎛⎫
⎪⎝⎭
可判断B ；令5π3π,6x k k Z +=∈，求出x ，可判断C ；由图象的平移变换可判断D.
【详解】由图象知：62A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得4
2A b =⎧⎨=⎩
，
将点()0,4的坐标代入()()4sin 2f x x ωϕ=++得1
sin 2
ϕ=
，由图象可知，点()0,4在()y f x =的下降部分上，且0πϕ<<，所以5π
6
ϕ=
，所以A 不正确；将点2π,29⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入()5π4sin 26f x x ω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，得2π5π3π2π962k ω⋅+=，
即3ω=，所以()5π4sin 326f x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，
所以ππ5π4sin 32223666f ⎛⎫⎛⎫
=⨯++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 不正确；
令5π3π,6x k k Z +=∈，解得π5π,318
k x k Z =-∈，取0k =，则5π18x =-
,所以对称中心为5π,218⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，所以C 不正确；
将曲线向右平移
π
9个单位长度得到曲线()π5π4sin 32
96f x x ⎡⎤⎛⎫=-++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦4cos 32x =+，所以D 正确；
故选：D.7．已知1e
4
a =
+，ln3b =，52ln 12c =-，则（
）
A ．c b a >>
B ．a b c
>>C ．c a b
>>D ．b a c
>>【正确答案】A
【分析】根据数的结构构造函数，利用导数法研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小即可.
【详解】令()3ln ,(0)1x
f x x x x -=+
>+，则()222
14(1)0(1)(1)x f x x x x x -'-=≥++=，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.又e 34<<，所以()()()e 34f f f <<，又()3e 4e ln e e 1e 1
f -=+=++，()3ln 3f =，()4ln 154f =-，
所以c ＞b ＞a.故选:A.
8．若正四棱锥S ABCD -的体积为8
3，则
sin AC ASC
∠的最小值为（）
A ．
B ．3
C ．
D ．
【正确答案】B
【分析】由正四棱锥S ABCD -的体积为8
3
得底面边长a 与高h 的关系，用正弦定理把
sin AC ASC
∠化成
24sin AC h ASC h =+∠，再构造函数()24
f h h h =+求其最小值即得答案.【详解】如图：
设正四棱锥底面边长为a ，高为h ，AC 与BD 交于点O ,所以21833V a h ==，即2
8a h
=，
则2
2
222224sin sin 2h a AC SC SC SC a h h SO ASC SAC SO h h h
SA
⎫+⎪⎝⎭=====+=+∠∠，
令()24f h h h =+，()333
88
1h f h h h -=-='，
所以当()0,2h ∈时，()0f h '<，所以函数()f h 在()0,2上单调递减，当()2,h ∈+∞时，()0f h '>，所以函数()f h 在()2,+∞上单调递增，所以当2h =，2a =时，()f h 取最小值()23f =.故选：B.
二、多选题
9．以下说法正确的是（
）
A ．袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球、3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，若已知第一次摸出的是白球，则第二次摸到白球的概率为
2
3
B ．对分类变量X 与Y 来说，2χ越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大
C ．由一组观测数据()11,x y ，()22,x y ，⋅⋅⋅，(),n n x y 求得的经验回归方程为
0.83928.957y x =+，
其中i x 表示父亲身高，i y 表示儿子身高.如果一位父亲的身高为176cm ，他儿子长大成人后的身高一定是177cm D ．已知随机变量()20,X N σ，若()1P X a >=，则()1
102
P X a -<<=
-【正确答案】ABD
【分析】根据古典概型的概率公式可求A 中随机事件的概率，故可判断其正误，根据2χ的意义可判断B 的正误，根据回归方程可判断父亲的大约身高，故可判断C 的正误，根据正态分布的性质可判断D 的正误.
【详解】对于A ：在第一次摸出白球后，样本空间缩小为袋子中共有9个小球，其中白球有6个，所以第二次摸出白球的概率为
62
93
=，故A 正确.对于B ：由2χ独立性检验可知，2χ的值越大，零假设0H 成立的可能性越小，即“X 与Y 有关系”的把握程度越大，所以B 正确.
对于C ：由经验回归方程 0.83928.957y x =+，可得当176x =时， 177y ≈.，可以作出推测，当父亲的身高为176cm 时，儿子身高一般在177cm 左右，所以C 错误.对于D ：因为随机变量()20,X
N σ且()1P X a >=，
由正态分布的性质可得()1P X a <-=，所以()()11
10122
P X P X a -<<=-<-=-，所以D 正确.故选：ABD.
10．已知函数()()()2ln e 1x
f x ax a ++=∈R ，下列说法错误的是（
）
A ．若1a =，则函数()y f x =图象在0x =处的切线方程为2ln 20x y -+=
B ．若1a =-，则函数()y f x =是奇函数
C ．若2a =-，则函数()y f x =存在最小值
D ．若函数()f x 存在极值，则实数a 的取值范围是()2,0-【正确答案】BC
【分析】对于A ：根据导数的几何意义求出切线方程可知A 正确；对于B ：根据偶函数的定义判断可知B 错误；对于C ：利用导数得()f x 在R 上为单调递减函数，可知C 错误；对于D ：根据()0f x '=有零点，求出a 的范围，可知D 正确.
【详解】对于A ：1a =，222e ()1e 1
x
x f x '=++；(0)2f '=，(0)ln 2f =，
所以切线方程为2ln 20x y -+=，所以A 正确.
对于B ：函数的定义域是R ，若1a =-，则2()ln (e 1)x f x x =+-，
所以222e 1()ln(e
1)ln e x x
x f x x x
-⎛⎫
+-=++=+ ⎪⎝⎭
()()()222ln e 1ln e ln e 1x x x x x f x =+-+=+-=，
所以()y f x =是偶函数，所以B 错误.对于C ：2a =-时，2()ln(e 1)2x f x x =+-，
则2222e 2
()20e 1e 1
x x x f x -'=-=<++，所以()f x 在R 上为单调递减函数，无最小值，所以C 错误.
对于D ：222e ()2e 1e 1
22
x x x f x a a '=
+=+-++，若函数()f x 存在极值，则()0f x '=有零点，令()0f x '=，即2(2)0e 2
1
x
a +-
=+，222e 1
x
a ∴+=
+.因为2e 0x >，所以22
21
e 0x <<+，即022a <+<，解得：20a -<<，故D 正确.故选：BC.
11．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于()11,A x y 、()22,B x y 两点，
8AB =，直线AB 左边的抛物线上存在一点()00,P x y ，则（
）
A ．121
x x ⋅=B ．124
y y +=C ．若点()1,3Q -
，则0
QA QB ⋅>
D ．当PAB 的面积最大时，面积为【正确答案】ACD
【分析】设直线AB 的方程为1x my -=，联立抛物线方程联立，由韦达定理可判断A ；利用弦长公式求出12y y +可判断B ；根据AB 是焦点弦，可以得以AB 为直径的圆与准线相切，求出圆与准线的切点可判断点Q 在圆外，可判断C 正确；当过点P 的切线与直线AB 平行时，点P 到直线AB 的距离最大，设()00,P x y ，结合导数可得P 点坐标，再求P 点到正弦AB 的距离d ，再利用1
2
d AB ⨯⨯可得答案.
【详解】对于A ，设直线AB 的方程为1x my -=，
联立抛物线方程24y x =，消去x 化简得：2440y my --=，∴12124,4y y y y m =-+=，代入抛物线方程得：121=x x ，A 正确；
对于B
，∵
12-AB y y
8=，解得1m =±，所以124y y +=±，B 错误；
对于C ：分别做AA l '⊥、BB l '⊥于A '、B '点，弦AB 的中点MM l '⊥于M '，所以11'=+AA x ，21'=+BB x ，
1212111222
++++==+AB x x x x
，21
12+'=+
x x MM ，所以2
'=AB MM ，所以以AB 为直径的圆M 与准线相切，由选项B 得，1m =时，121242=-=++x x y y ，得1232x x
+=，1m =-时，
()121242=--=++x x y y ，得
12
32
x x +=，所以圆心()3,2±M ，所以与准线的切点为()1,2-±，所以点()1,3Q -在圆外，所以AQB ∠是锐角，即0QA QB ⋅>
，
C 正确；
对于D ：直线AB 方程为10x y --=，斜率为1，
当过点P 的切线与直线AB 平行时，点P 到直线AB 的距离最大，当0y
>
时，y
=，所以y '=()00,P x
y ，所以
1k ==，得01x =，所以点()1,2P ，
此时d =
所以PAB
面积的最大值为1
2
d AB ⨯⨯=当斜率
为
1-时，同理求得面积为D 正确.
故选：ACD.
12．定义在R 上的函数()f x 满足()()112f x f x x =-++，函数()32f x +的图象关于()0,1对称，则（
）
A ．()f x 的图象关于()2,1对称
B ．4是()f x 的一个周期
C ．()01f =-
D ．()2023
110112023
k f k ==⨯∑【正确答案】ACD
【分析】由函数(32)f x +的图象关于(0,1)对称，可得(2)(2)2f x f x -++=，即可判断A ；先求出()g x 最小正周期为4，再推出由(4)()4f x f x +=+可判断B ；令1x =，求出()01f =-可判断C ；求出(1)(2)(3)(4)4g g g g +++=-，可判断D.
【详解】对于A ，由函数(32)f x +的图象关于(0,1)对称，可推得(32)(32)2f x f x -+++=，令3x 等价于x ，则(2)(2)2f x f x -++=，()f x 的图象关于(2,1)对称，所以A 正确.对于B ，令()()g x f x x =-由(2)(2)2f x f x -++=，(2)(2)(2)(2)2f x x f x x ---++-+=-，所以，(2)(2)2g g x x -++=-，所以()g x 关于(2,1)-对称.
由(1)(12)f x f x x +=-+，所以(1)(1)(1)(1)x f x f x x +-+=---，所以，(1)(1)g x g x +=-，所以，()g x 关于1x =对称.令x 等价于1x -，则()(2)g x g x =-，
又因为(2)2(2)g x g x -=--+，所以()2(2)g x g x =--+令x 等价于2x +，(2)2(4)
g x g x +=--+所以[]()2(2)22(4)(4)g x g x g x g x =--+=----+=+，所以可得出()g x 最小正周期为4.
(4)4()x x f f x x +--=-，(4)()4f x f x +=+，所以4不是()f x 的周期，所以B 错误.
对于C ，令1x =，则()()2021f f =+=，所以，所以C 正确.
对于D ，因为()g x 图象关于(2,1)-对称，所以(2)1=-g ，()(1)32g g +=-因为()01f =-，(0)(0)01g f =-=-，因为()g x 最小正周期为4，所以()(4)01g g ==-，所以(1)(2)(3)(4)4g g g g +++=-，
(1)(2)...(2023)4505(1)(2)(3)2023g g g g g g +++=-⨯+++=-，
有()()()
2023
20232023
11
1
2023120232023101120232
k k k f k g k k ===+=
+=-+
=⨯∑∑∑，选项D 正确.
故选：ACD.
关键点点睛：令()()g x f x x =-是解题的关键，通过研究()g x 的对称性和周期性得到()f x 的性质，即可求解.
三、填空题
13．若()()()5
5
0153411x a a x a x -=+-+⋅⋅⋅+-，则123452345a a a a a ++++=____.
【正确答案】240
【分析】观察已知条件，通过求导赋值构造出式子123452345a a a a a ++++计算即可.【详解】已知()()()5
5
0153411x a a x a x -=+-+⋅⋅⋅+-，对式子两边同时求导，得()()()()4
2
4
12351534213151x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，令2x =，得()4
1251532425240a a a ⨯⨯-=++⋅⋅⋅+=.故240
14．已知数列{}n a 满足11n n n a a a ++=，12a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2023S =____.【正确答案】1013
【分析】利用已知条件变形得出数列的递推公式，利用递推公式找出周期，利用周期计算即可.
【详解】由11n n n a a a ++=可知，0n a ≠，所以111n n
a a +=-
，由12a =，可得212a =
，31a =-，42a =，51
2
a =，61a =-，72a =⋅⋅⋅，
所以{}n a 是周期为3的周期数列，且312332
S a a a =++=
，所以2023S =133
6746742101322
a ⨯+=⨯+=，
故答案为.1013
15．已知函数()4
e ax
f x x =-有三个不同的零点，其中有两个正零点，则实数a 的取值范围
为____.
【正确答案】40,e ⎛⎫
⎪
⎝⎭
【分析】依题意可得4e ax x =，显然0x ≠，两边取对数可得4ln ax x =，令()4ln x g x x
=
，
()(),00,x ∈-∞⋃+∞，首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，即可得到函
数图象，再数形结合即可得解.
【详解】由4e 0ax x -=，得4e ax x =，因为0x =不是()f x 的零点，等式两边同时取对数得4ln ax x =，即4ln x a x
=，
令()4ln x g x x
=，()(),00,x ∈-∞⋃+∞，则()()4ln 4ln x x
g x g x x x
--=
=-=--，所以()g x 为奇函数，
当0x >时，()4ln x
g x x =
，所以()()2
41ln x g x x -'=所以当0e x <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0g x '<，函数()g x 在()e,+∞上单调递减，所以当e x =时函数取得极大值，即()()4
e e
g x g ==
极大值，又因为()10g =，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →，所以可得()g x 的图象如下所示，
又因为有两个正实根，所以40,e a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
故40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
四、双空题
16．点P 到定点()3,0F 的距离与到253x =
的距离之比为3
5
，则点P 的轨迹方程为____，P 与()()5,0,5,0A B -连线的斜率分别为1K ，2K ，则2212K K +的最小值为____.
【正确答案】
22
12516
x y +=3225
【分析】设出点P 坐标，依据题意列出方程，化简即可得出答案；利用两点的斜率公式写出
12K K ，再利用P 的轨迹方程进行化简，最后利用重要不等式求出2212K K +的最小值.
【详解】设点P 的坐标为(,)x y ,由题意可知()
2
2=
3PF x y -+，P 到253
x =
的距离为25
3x -，
()
2
2
33525
3
x y x -+=
-
，化简得2212516x y +=，所以P 的轨迹方程为22
12516x y +=.
又由题意15y K x =
+，25y K x =-，则2
12225
y K K x =-，
又因为P 在曲线上，所以2212516x y +=，化简得()
2
22
11625252165x y x ⎛⎫= ⎪⎝-=⨯-⎭
⨯，
代入2
12225y K K x =-得121625
K K =-，.
又因为22
121232225K K K K +≥=
，所以22
12K K +的最小值为3225
.故22
12516x y +=，3225
五、解答题
17．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且π2cos sin cos 06C B A ⎛
⎫⋅++= ⎪⎝
⎭.
(1)求角C 的大小；
(2)若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2BD AD =，求ABC 的面积.【正确答案】(1)2π3
C =
(2)2
【分析】（1）根据两角和的正余弦公式变形可求出结果；
（2）根据角平分线定理得2a b =，法一：在ABC 中，根据余弦定理得c =，在ACD 中，根据余弦定理求出b ，再根据面积公式可求出面积；法二：根据+=ACD
BCD
ABC
S S
S
求解即
可.
【详解】（1）由已知可得()1
2cos cos cos +022C B B B C ⎛⎫⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭，()
cos cos cos cos cos sin sin 0B C B C B C B C +--=,
整理得，)
sin sin 0B
C C +=，
因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，
sin 0C C +=，
即tan C =，
因为()0,πC ∈，所以2π3
C =.（2）由题意得，1
2AC AD BC BD ==,即12
b a =，所以2a b =.法一：
在ABC 中，222222
12cos 42272c a b ab ACB b b b b b ⎛⎫=+-∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
所以c =.在ACD 中，3
c
AD =，
所以2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠，即2221
22292
c b b =+-⨯⨯，
将c =代入整理得29180b b -+=，解得3b =或6b =.
若6b =，则12a =，c =BD =,AD =
所以在BCD △中，得2
22
2
2
2
212cos 0
2BD CD BC CDB BD CD
+-+-∠==
<⋅,
同理可得cos 0ADC ∠<,即BDC ∠和ADC ∠都为钝角，不符合题意，排除.所以3b =，6a =，1
sin1202ABC S ab =
=
!法二：因为+=ACD
BCD
ABC
S
S
S
，
所以1112sin 60+2sin 60sin120222b a ab ⨯⨯=
，所以12
b a ab +=.
因为2a b =，所以3,6==b a ，
所以1sin12022
ABC S ab =
=
!.18．设{}n a 是公比不为1的等比数列，11a =，2a 为3a ，4a 的等差中项.(1)求{}n a 的通项公式；
(2)求数列{}(210)n n a -的前n 项和n T .【正确答案】(1)1(2)n n a -=-(2)()()11
6212,562116,6
n n n n n T n n ++⎧-⋅-≤⎪
=⎨-⋅+≥⎪⎩【分析】（1）求出公比，再根据等比数列的通项即可得解；
（2）设()52n
n c n =-，其前n 项和为n S ，利用错位相减法求出n S ，再分5n ≤和6n ≥两种
情况讨论即可得解.
【详解】（1）设{}n a 公比为,1q q ≠，2a 为3a ，4a 的等差中项，即22222a a q a q =+，
即为220q q +-=，解得2q =-或1q =(舍去)，所以111(2)(2)n n n a ---==⋅-；
（2）()()()52,52105252,6n n
n n
n n n a n n n ⎧-≤⎪
-=-=⎨-≥⎪⎩
，设()52n
n c n =-，其前n 项和为n S ，
所以()212423252n
n n S c c c n =++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，①
()2312423252n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，②
①-②得()231
822252
n n n S n +-=---⋅⋅⋅---()1
1
4285212
n n n ++-=----()11262n n +=+-，
所以()1
6212n n S n +=--，
所以当5n ≤时，()1
6212n n n T S n +==--，
当6n ≥时，12567n n
T c c c c c c =++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-()5552n n S S S S S =--=-()16212252n n +=-⋅++⨯()162116n n +=-⋅+，
所以()()11
6212,562116,6n n n n n T n n ++⎧-⋅-≤⎪
=⎨-⋅+≥⎪⎩
.19．如图1，在平行四边形ABCM 中，2AB BC ==60MAD ∠=︒，D 为CM 的中点，
12
AF FC = ，AH HD =
，沿AD 将△MAD 翻折到PAD 的位置，如图2，PF AC ⊥.
图1图2
(1)证明：//HF 平面PBD ；(2)求平面PBC 和平面PCD 的夹角.【正确答案】(1)证明见解析(2)
π4
【分析】（1）确定PAD 为正三角形，AC BD G ⋂=，证明//HF DG ，得到证明.
（2）确定AD ⊥平面PHF ，AC BC ⊥，建立空间直角坐标系，确定平面PCD 和平面PBC 的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）PA PD ==60PAD ∠=︒，PAD 为正三角形，
AH HD =
，则H 为AD 中点，
设AC BD G ⋂=，//CD AB ，12
CD AB =
，故1
2CG GA =，故G 为AC 的三等分点，
13
AF AC =
，F 为AC 的三等分点，即F 为AG 的中点，故//HF DG ，
DG ⊂平面PBD ，HF ⊄平面PBD ，故//HF 平面PBD .
（2）由题设易得AD =，60DAB ∠=︒，
2221
2cos 312229
2
BD AD AB AD AB BAD =+-⋅∠=+-⨯=，
故222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，//HF DG ，故AD HF ⊥，
AD PH ⊥，PH HF H = ，PH 、HF 在面PHF 内，故AD ⊥平面PHF .
PF 在面PHF 内，故AD PF ⊥，又PF AC ⊥，AC AD A = ，AC 、AD 在面ABCD 内，故PF ⊥平面ABCD .
在Rt PFH 中，PF =由题意易得∠ABC =60°，∠BAC =30°，则∠ACB =90°，故AC BC ⊥，
过点C 作平面ABCD 的垂线为z 轴，以CA CB
,分别为x 轴、y 轴正方向，建立如图所示坐标
系
.
则()0,0,0C
，()
B ，()3,0,0A
，(P
，3,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，3,2CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，(CP =
，()
CB = ，设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =
，则30220n CD x n CP x ⎧⋅=-
=⎪⎨⎪⋅=+=⎩
，
令1x =
，则y z ==
(n =
设平面PBC 的一个法向量为111(,,)m x y z =
，则111020
m CB m CP x ⎧⋅=⎪
⎨⋅==⎪⎩ ，令11x =，则10y =
，1z =
，所以(1,0,m =
，
设平面PBC 和平面PCD 的夹角为θ，[]0,πθ∈,
则cos cos ,2m n θ==
=
，π4
θ=，所以平面PBC 和平面PCD 的夹角为
π
4
.20．已知函数()e x
f x a =+，()()ln 1
g x x =+，a ∈R .
(1)若1a =-，求证：()()f x g x ≥；
(2)若函数()f x 与函数()g x 存在两条公切线，求a 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)(1,)
-+∞
【分析】（1）构建()()()h x f x g x =-，求导，利用导数判断原函数的单调性与最值，进而可得结果；
（2）根据导数的几何意义分析得直线y a =与函数()e 1x
n x x x =--图象有两个交点，求导，
利用导数判断原函数的单调性与最值，结合图象分析求解.
【详解】（1）当1a =-时，()e 1x
f x =-，
构建()()()()e 1ln 1x h x f x g x x =-=--+，1x >-，则()1e 1
x h x x =-
+'，构建()1e 1x
m x x =-
+，因为()()
2
1
e 01x
m x x +'=+
>，所以()m x 在(1,)-+∞上单调递增，且()010e 001
m =-=+，
所以当(1,0)x ∈-时，()0m x <，()h x 单调递减；当,()0x ∈+∞时，()0m x >，()h x 单调递增；
则当0x =时，()h x 取得最小值，可得()()()e 1ln 100
x
h x x h =--+≥=所以当1a =-时，()()f x g x ≥.
（2）设函数()f x 与函数()g x 的公切线分别相切于点()
11,e x
A x a +和点()()
22,ln 1B x x +因为()e x
f x '=，1()1
'=
+g x x ，所以l 的方程可表示为()
()111e e x x
a y x x -=-+或2221
ln(1)()1
y x x x x -+=
-+，整理得1111e e e x x x
y x x a =+-+或()22221
ln 111
x y x x x x =
⋅++-++，则有121e 1
x
x =
+①，()112122e e ln 11x x
a x x x x -=+-++②
由①可得21ln(1)x x +=-，代入②可得：11111e e 1e x x x
a x x =--++-,即111e 1x
a x x =--，
构建()e 1x
n x x x =--，x ∈R ，则()()1e 1x n x x =+'-,构建()()()1e 1x
x n x x '==+-ϕ，则()()2e x x x ϕ'=+，
且e 0x >，令()0x ϕ'>，解得2x >-；令()0x ϕ'<，解得<2x -；则()x ϕ在()2,-+∞上单调递增，在(),2-∞-上单调递减，
当2x ≤-时，则10,e 0x x +<>，可得()()1e 10x
x x =-+<ϕ；
当2x >-时，()x ϕ在()2,-+∞上单调递增，()0
01e 0ϕ=-=，
可得当20x -<<时，()0x ϕ<，当0x >时，()0x ϕ>；综上所述：当0x <时，()0x ϕ<，当0x >时，()0x ϕ>.
即当()0,x ∈+∞时，()0x ϕ>，即()0n x '>，所以()n x 在()0,∞+单调递增；当(),0x ∈-∞时，()0x ϕ<，即()0n x '<，所以()n x 在(),0-∞单调递减；
所以()()01n x n ≥=-，且当x 趋近于-∞时，()n x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()n x 趋近于+∞，
由上可知，要使函数()f x 与函数()g x 存在两条公切线，只需直线y a =与函数()n x 图象有两个交点，
由图可知a 的取值范围为(1,)-+∞.
方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．21．已知曲线C 上的动点P 满足12||||2PF PF -=，且()()122,0,2,0F F -.(1)求C 的方程；
(2)若直线AB 与C 交于A 、B 两点，过A 、B 分别做C 的切线，两切线交于点P '.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.
①直线AB 经过定点()4,0M ；
②点P '在定直线14x =
上.【正确答案】(1)2
213
y x -=(1x ≥)(2)答案见解析
【分析】（1）由双曲线的定义得出曲线C 的方程；
（2）若选择①证明②成立：利用导数得出过A 和过B 的方程，从而得出交点P '的横坐标，再由11224,4x my x my =+=+证明点P '在定直线14
x =上；若选择②证明①成立：利用导数得出过A 和过B 的方程，从而得出()12212121444x y x y y y y y -=-=-，再由直线AB 的方程证明直线AB 经过定点()4,0M .
【详解】（1）因为1212||||24PF PF F F -=<=，
所以曲线C 是以1F 、2F 为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支,
所以22a =，即1a =，
又因为()()122,0,2,0F F -，所以2c =，得23b =，
所以曲线C 的方程为2
2
13y x -=(1x ≥).（2）若选择①证明②成立.
依题意，AB 在双曲线右支上，此时直线AB 的斜率必不为0，
设直线方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设A 在第一象限，B 在第四象限.因为22
1,(1)3y x x -=≥，所以221133y x =-
，且y =
y '所以过点A
的直线方程为11)y y x x --，
化简为1133y y x x ⋅=-①，同理2233y y x x ⋅=-②，
联立方程①②得,交点P '的横坐标为211221
y y x y x y --，因为A 、B 点在直线AB 上，所以11224,4x my x my =+=+，
所以12122211214,4x y my y y x y my y y =+=+，
所以P '的横坐标211212211214()4
y y y y x y x y y y --==--.即点P '在定直线14x =
上.若选择②证明①成立.
不妨设A 在第一象限，B 在第四象限.设1122(,),(,)A x y B x y ，因为22
1,(1)3y x x -=≥，所以221133y x =-
，且y =
求导得y '=，所以过点A
的直线方程为11)y y x x -=-，
化简为1133y y x x ⋅=-①，同理2233y y x x ⋅=-②
联立方程①②得交点P '的横坐标为211221
y y x y x y --，由题意，21122114
y y x y x y -=-，即()12212121444x y x y y y y y -=-=-③.
因为1122(,),(,)A x y B x y ，
所以过直线AB 的方程为211121
()y y y y x x x x --=--，化简211211()()()()x x y y y y x x -=---，
整理得()()12212112x y x y y y x x x y
-=-+-由③式可得()()()211240y y x x x y --+-=,
易知4,0x y ==，即直线AB 过定点(4,0)M .
关键点睛：在解决第二问时，关键是由导数的几何意义得出过A 和过B 的方程，这里涉及到二级结论极点极线的知识，但大题需要证明，这里给出了导数的证明.
22．现有一种不断分裂的细胞X ，每个时间周期T 内分裂一次，一个X 细胞每次分裂能生成一个或两个新的X 细胞，每次分裂后原X 细胞消失，设每次分裂成一个新X 细胞的概率为p ，分裂成两个新X 细胞的概率为1p -；新细胞在下一个周期T 内可以继续分裂，每个
细胞间相互独立.设有一个初始的X 细胞，在第一个周期T 中开始分裂，其中1,12p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
.(1)设2T 结束后，X 细胞的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
(2)设()*N nT n ∈结束后，X 细胞数量为m 的概率为()m P n .
（i ）求()2P n ；
（ii ）证明.()32
8
27P n p <【正确答案】(1)分布列见解析，244
p p -+(2)（i ）()11n n p p -⋅-；（ii ）证明见解析
【分析】（1）求出ξ的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望；
（2）（i ）求出第kT 时分裂为2个X 细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解；（ii ）求出第kT 时分裂为3个X 细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出()3P n ，再利用导数法确定函数的单调性，从而确定最值，即可得证.
【详解】（1）2个T 结束后，ξ的取值可能为1,2,3,4,其中()21P p ξ==,
()()()23211P p p p p p p ξ==-+-=-，
()()()()21231C 121P p p p p p ξ==-⨯⨯⨯-=-，()()3
41P p ξ==-，所以ξ分布列为ξ
1234P 2p 3p p -()221p p -()3
1p -()()()()23232123214144E p p p p p p p p ξ⎡⎤=⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-+⎣⎦.
（2）（i ）()2P n 表示分裂nT 结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个X 细胞.不妨设在第kT 时分裂为2个X 细胞，之后一直有2个X 细胞，
此事件概率()()()12
212,11n k k n k k P p p p p p ----=⨯-⨯=-⨯，所以()()2122,12,22,11n n k n k P n P P P p p --==++⋅⋅⋅+=
-⋅∑()()211111n n k n n k p p p
p p ---==-=⋅-∑.
（ii ）()3P n 代表分裂nT 后有3个细胞的概率，设细胞X 在kT 后分裂为2个新的X 细胞，这两个X 细胞在剩下的()n k T -中，其中一个分裂为2个X 细胞，一个保持一直分裂为1个X 细胞，此事件的概率
()()()()
11113,221C 121k n k k n k n k n k k P p p p P n k p p p p p -------=⋅-⋅⋅-=⋅-⋅⋅⋅⋅-，得()()223223,2121n k n k k P p
p p p p p ----=⋅-⋅-⋅-⋅，()()()2232233,13,23,112121n n n k n k n k k P n P P P p
p p p p p ----===++⋅⋅⋅+=⋅-⋅-⋅-⋅∑∑()()
()()
()1122112111n n n n n n p p p p p p p p p p --⋅-⋅-⋅-⋅-==++，其中1,12p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()0,1n p ∈.令n x p =,()()()()()()()322
2121111x p x x x x x P n p p p p ⋅-⋅-⋅-⋅-=<++，
记()()21f x x x =-，()()()113f x x x =--',令()0f x '=，得13
x =.当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
,()0f x ¢>,()f x 递增；当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()0f x '<,()f x 递减.故()max 14327
f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，也就是()()322
8827127P n p p p <<+.关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解()2P n 时，利用等比数列的知识求解；二是求解()3P n 的最值时，根据解析式的特点，利用导数来求解.。