6定积分的几何应用省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

s1,
0
故原结论成立.
第23页
③极坐标情形
曲线弧为 r r( ) ( )
其中r( )在[ , ]上具有连续导数.
x y
r( r(
)cos )sin
( )
ds (dx)2 (dy)2 r 2( ) r2( )d ,
弧长 s r 2( ) r2( )d .
以下列图
第4页
但若将这一面积看作是分布在区间 [ -2，4] 上 以 y 为变量计算将会简单
在[-2,4] 上任取一小区间 [ y, y dy]
其上对应窄条左、右曲边分别为
x 1 y2, x y 4
2
A
4 ( y 4 1 y2 )dy 18
2
2
第5页
由此可见在面积计算中应依据平面区域详细特
四、 求位于曲线 y e x 下方，该曲线过原点的切线的左 方以及 x 轴上方之间的图形的面积 .
五、 求由抛物线 y2 4ax 与过焦点的弦所围成的图形 面积的最小值 .
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练习题答案
一、1、1；
4、 y； 二、1、 3 ln 2；
2
4、 3a 2 ；
三、 9 . 4
2、32 ； 3
5、e 1 2； e
a b
S2 [ f ( x) f ( )]dx
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令
t
F(t) [ f (t)
b
f ( x)]dx 3[ f ( x)
f (t)]dx
a
t
t
b
则F(t) f (t)(t a) f ( x)dx 3 f ( x)dx 3 f (t)(b t)
b
a
t
F (a) 3[ f ( x) f (a)]dx 0
弧长
s 2(t ) 2(t )dt.
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解 星形线参数方程为
x a cos3 t
y
a
sin
3
t
(0 t 2)
依据对称性 s 4s1 第一象限部分弧长
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 6a. 0
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证 设正弦线的弧长等于s1
上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平
行线与 x 轴和曲线 y f (x)围成的面积是另一 条平行线与 y 轴和曲线 y f (x)围成的面积的
两倍，求曲线方程.
2. 闭 区 间 [a,b] 上 的 连 续 曲 线 y f ( x)是否一定可求长？
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思索题 1 解答
S2 2S1
S2
2
sin
t 2
cos
t dt 2
n
sin
0
t 2
cos
t 2
dt
4n.
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②参数方程情形
曲线弧为
x y
(t) ,
(t)
( t )
其中 (t), (t)在[ , ]上具有连续导数.
ds (dx)2 (dy)2
[ 2(t ) 2(t )](dt )2
2(t ) 2(t )dt
即
a
A 4 ydx
0
0
4 absin2d ab 2
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例4 设 f ( x ) 在 [ a ,b ] 上连续，在 ( a, b ) 内有
证实 存在唯一
使曲线 f（x ）与两直线
所围图形面积
是 y = f ( x ) 与两直线
所围图形面积 3倍
证
S1 [ f ( ) f (x)]dx
s
2s1
2
0
2a
cos d
2
8a cos d 0 22
8a sin
2
0
8a
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小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形面积.
（注意恰当选择积分变量有利于简化积 分运算）
平面曲线弧长概念
弧微分概念 求弧长公式
直角坐标系下
参数方程情形下 极坐标系下
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思索题
1. 设 曲 线 y f ( x) 过 原 点 及 点(2,3) ， 且 f ( x)为单调函数，并具有连续导数，今在曲线
取积分变量为 x，在[a, b] 上任取小区间[ x, x dx]，
o a x x dxb x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx)2 (dy)2 1 y2dx
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a 第17页
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
征恰当地选择积分变量找出对应面积微元可使计算 简化
上述问题普通情况是
d
x ( y)
平面区域由 [c,d] 上连续曲线 y dy
x ( y), x ( y)
y
(( y) ( y))
及直线y = c ,y = d 所围成
c x (y)
d
则其面积为 A [ ( y) ( y)]dy
a b
F (b) [ f (b) f ( x)]dx 0
a
故由零点定理知
(a,b)
使F ( ) 0
又
F(t) f (t)(t a 3b 3t) f (t)(b a 2(b t)) 0
故 唯一
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2 极坐标系
一些平面图形，用极坐标来计算是比较方便
若曲线由极坐标方程 r r( ),( ) 给出
与它相对应小曲边梯形面积为局部量dA
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当 dx 很小时 dA 可用高为 底为 dx 矩形面积 近似表示 即
故
y f (x)
y g(x)
x x dx
a
b
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例1 求两曲线
所围成图形面积
解 为确定图形存在区间
由联立方程组解得交点 A（-1，1） B（1，1）
故
x
A
[1,1]
1
(
1
2 x2
r r( ) d
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解 由对称性知总面
积=4倍第一象限
y x
部分面积
A 4 A1
A 4 4 0
1 a2 cos2d
2
a2.
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解 dA 1 a2(1 cos )2d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2d
20
a2
(1 2cos cos2 )d
0
A M0
o
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目
无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
n
此折线的长 | M i1M i |的极限存在，则称此极限为
i 1
曲线弧 AB 的弧长.
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①直角坐标情形
y
设曲线弧为 y f (x)
(a x b)，其中 f (x)
在[a, b]上有一阶连续导数
3． r 2a ( 2 cos ) 4、摆线 x a(t sin t) , y a(1 cos t)(0 t 2 ) 及
x 轴； 5、r 3cos 及r 1 cos 的公共部分； 6、笛卡尔叶形线 x 3 y 3 3axy .
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三、 求 抛 物 线 y x2 4x 3 及 其 在 点 ( 0 ,3 ) 和 ( 3 , 0 )处的切线所围成的图形的面积 .
s1
2 0
1 y2dx
2 1 a2 cos2 xdx 0
2
1 a2 cos2 xdx,
0
设椭圆的周长为s2
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2
s2 0
x2 y2dt,
依据椭圆对称性知
s2 2 0
sin t2 1 a2 cos t2dt
2
1 a2 cos2 tdt
0
2
1 a2 cos2 xdx
x 1
2 2
1
x
x2 )dx
2
(2
arctan
x
1 3
x
3
)
1 1
2 3
第3页
例2 计算
所围图形面积
解 首先定出图形所在范围
y2 2 x 解得交点为（2，-2）和（8，4） y x4
若取 x 为积分变量 在 [x,x+dx] 上取部分量
则对于 x 不一样值 局部量位置不一样 其 上、下曲边有各种情况利用上述公式计算 较为复杂
第35页
四、求心形线r a ( 1 cos )的全长.
五、证明：曲线 y sin x (0 x 2) 的弧长等于椭圆
x 2 2 y 2 2的周长. 六、在 摆线 x a ( t sin t ), y a ( 1 cos t ) 上求 分 摆
线第一拱成1 : 3的点的坐标.
2( )d
2
2
0
a2 2 a2d a 0
2 1d
a 2 1 42 ln(2 1 42 ) . 2
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例12 求心形线
全长
解 r a(1 cos ), r asin
ds r2 r2 2a | cos | d
2 由对称性
)2
dx
所求弧长为
b
s a 1 xdx
2
3
3
[(1 b)2 (1 a)2 ].
3
a
b
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解
y n sin x 1 nn
sin x , n
s
b a
1 y2dx
n 0
1 sin xdx n
x nt
0
1 sin t ndt
n 0
sin
t 2
2
cos
t 2
2
定积分几何应用
一、平面图形面积
1 直角坐标系 作为普通情况讨论，设平面图形由 [ a , b ]
上连续两条曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) ( f ( x) g( x)) 及两条直线 x =a ,x =b 所围成 在 [a ,b ] 上任取经典小区间 [ x ,x+dx ]
极坐标系下研究面积基本图形不是曲边梯形
而是由射线 与 及曲线r r( )
所围成称为曲边扇形区域
因为曲边扇形面积分布 与有关 当d很小时 r( )的变化不大
A 可用半径为 r( ) 圆心角为 d
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圆扇形面积来近似 故面积元素为
dA 1 r 2( )d
2
A 1 r 2( )d 2
c
第6页
当直角坐标系下平面区域边界曲线由参
数方程形式给出时，只须对面积计算公式作 变量代换即可。
x (t)
y
(t
)
( t )
b
A ydx | (t)(t)dt |
a
计算时应注意积分限在换元中应保持与原积
分限相对应。
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例3 求椭圆
面积
解 由对称性 面积A等于椭圆在第一象限内 部分面积4倍
第14页
a2
3
2
2 sin
1 4
sin
2
0
3 a2. 2
经过以上几例可见在实际计算中应
充分利用所求量对称性和等量关系来简 化计算。
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二、平面曲线弧长概念
设 A、B 是曲线弧上的两 y
个端点，在弧上插入分点
A M0 , M1,Mi ,
M2 M1
M n1 B Mn
, Mn1 , Mn B
相应于 t 从 0 变到的一段弧长为______；
3、曲 线 r 1 自 3 至 4 一 段 弧 长 为
4
3
____________ .
二、计算半立方抛物线 y 2 2 ( x 1)3 被抛物线 y 2 x
3
3
截得的一段弧的长度 .
三、计算星形线 x a cos3 t ， y a sin3 t 的全长 .
因为曲线 y f ( x)过点(2,3) c 9
2
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y2
9 x, 2
因为 f ( x)为单调函数
所以所求曲线为 y 3 2x. 2
思索题 2 解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须确保 曲线光滑才可求长．
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练习题
一、填空题： 1、由曲线 y e x , y e 及 y 轴所围成平面区域的面积 是______________ . 2、由曲线 y 3 x 2 及直线 y 2x 所围成平面区域的 面积是_____ . 3、由曲线 y x 1 x 2 , y 1 , x 1 , x 1所围成 平面区域的面积是_______ . 4、计算 y 2 2x 与 y x 4 所围的区域面积时，选用 ____作变量较为简捷 . 5、由曲线 y e x , y e x 与直线 x 1 所围成平面区 域的面积是_________ .
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6 曲线 y x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 )，a 0，则当a __时，面积S 最小 .
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1、、 y 1 与直线 y x 及x 2。 x 2． y x 2与直线 y x 及 y 2x 。
2、7 ； 6
5、5 ； 4
四、e . 2
3、2；
6、1 . 2
3、a2 ；
6、3 a 2 . 2
五、8 a2 . 3
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练习题
一、填空题：
1、曲线 y ln x 上相应于 3 x 8 的一段弧长为
____________；
2、渐伸线 x a(cos t t sin t)，y a(sin t t cos t)上
x
0
f
( x)dx
x
S1 xy S2 xy 0 f ( x)dx
y
y f (x)
S1 ( x, y)
S2
o
x
x 0
f
( x)dx
2[ xy
x
0
f
( x)dx]
x
3 f ( x)dx 2xy, 两边同时对 x 求导 0
3 f ( x) 2 y 2xy 2xy y
积分得 y2 cx,