计量经济学课件第四章

（1）对数变化使测定变量值的尺度缩小， 将两个数值间原来10倍的差异缩小到2倍 的差异
（2）经过对数变换后的线性模型，残差 表示为相对误差，而相对误差差异较小
e
log( y) log( y)
log
y
y
• （2） HAC（Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance ）
当
2 1
0
0
0
0
时，即为加权最小二乘估计
（WLS) 0
0
2 n
• 加权最小二乘估计是利用加权残差平方和最小 标准得到参数估计量
2 1
2 2
2 n
2 1
1
2 2
2 n
~~
e' e
~ Y
~
Y
'
~ Y
~
Y
PY
PX
~
b
'
PY
PX
~
b
Y
X
~
b
'
P
'
P Y
X
~
b
有估异 计。方那差么的协b 方还差是矩可阵用的，估记计为量。，即对
U 2
的
•
有两种构造的方法：White和Newey-West
第一种：Heteroskedasticity Consistent
Covariances (White，1980)
• 当存在未知形式的异方差时 ，Eviews提供了 White协方差矩阵以替代OLS的协方差矩阵。
各种异方差检验的基本思路：异方差的概念是 U的方差随着X的变动有规律地变动，因此， 建立U的方差和X的回归方程进行检验，如果 两者之间的回归关系显著的化，可以认定异方 差的存在。由于U的方差不可观测，一般先利 用OLS估计模型，用残差替代U进行检验。常 用检验方法包括：
（1）图示法
观察 X i , ei2 散点图的规律
Yi
f Xi
b0
f
1
Xi
b1
Xi
f Xi
Ui
f Xi
Var
Ui
f Xi
E
f
Ui2
X
i
2
f
f Xi Xi
2
思考：多元模型是否同样以此方法修正？
• 运用WLS的难点：如何估计异方差的形 式？
• 附注：经验方法－对数变化
利用序列的对数值取代原值进行回归， 通常可以降低异方差性的影响。因为：
Yi b0 b1X1i bX 2i Ui
• 建立如下辅助回归方程
ei2
0
1 X1i
2 X 2i
3
X
2 1i
4
X
2 2i
5 X1i X 2i
Vi
• 原假设：
2 ui
2 u
构造统计量
nR2 ~ 2 (k)
如果原假设成立，统计量的取值如何？
2 2 ，拒绝原假设，存在异方差
怀特检验可以分别对包含交叉项和不包含交叉项的辅 助方程进行回归
显然与不存在异方差时的方差是不同的，可能高于或低 于不存在异方差时的方差，有效性丧失。
（2）系数显著性检验失效
因为 t bi S bi
, 系数显著性检验是建立在正确估计
参数及估计量的方差基础之上，如果出现异方
差，估计量及其方差出现偏误（偏大或偏小），
t 检验失效。
（3）预测精度降低 为什么？
• 3、异方差的检验
• 2、序列相关模型OLS估计的后果
OLS估计量无偏，但是不能保证有效性， 导致t检验失效、预测精度降低
3、序列相关的检验
• （1）图示法
观察残差序列是否随时间变化存在某种有规律 的变动。 t et
或者，如果是一阶序列相关，观察 et1, et
• （2） D－W检验（Durbin－Watson）
由于U的均值为0，因此 估计量的方差为：
E
b
b
不影响无偏性
var(b) E[(b b)(b b) '] E[(X ' X )1 X 'UU ' X (X ' X )1]
( X ' X )1 X ' E[UU ']X ( X ' X )1
( X ' X )1 X '(U2 ) X ( X ' X )1
Y
X
~
b
'
Y
2 i
X
~
b
e'e
2 i
• WLS的简易实现
如：
Yi b0 b1 X i Ui
Var
U
i
2
X
2 i
Yi Xi
b0
1 Xi
b1
Ui Xi
Var
U X
i i
E
U X
2 i 2 i
2
X
2 i
Xi2
2
一般地，如果 Var Ui 2 f Xi
则修正模型为：
U的方差随解释变量的增大而增大 递增 异方差
U的方差随解释变量的增大而减少 递减 异方差
U的方差与解释变量之间的复杂关系 复杂 异方差
• 计量经济分析中的异方差问题
使用截面数据的时候容易出现异方差问题， 因为在不同样本点上除解释变量外其它因素差 异很大，时间序列相对来说差异要小。
如：收入支出模型，不同收入水平的家庭，影响 支出的家庭内部及外部环境可能不同，支出的 随机变动就会有差异。
一、异方差性
• 1、异方差的概念（ Heteroskedasticity）
如果
Var
Ui
2 u
，或者
E[UU
'
]
2 U
12
0
0
0 0
0
0
2 n
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数， 而是互不相同，存在异方差问题的模型为异方差模型。
异方差的类型：
异方差是U的方差随着解释变量的变动而变 动，其关系大致分为：
检验原理：通过残差估计自相关系数，然后用自相 关系数构造统计量进行检验。适用于大样本和经典一 阶自相关。
d
n i2
(ei
ei1 )2
in1ei2
in2 (ei )2
n i2
(ei
1
)2
in1ei2
2in2ei ei1
in2 (ei1 )2
n i2
(ei 1
)2
e n
2
i 2 i 1
iq
j
1
xieiei j xi' j xi jei jei xi'
其中Eviews按照Newey和West的建议，将q设定为
q floor 4(n /100)2/9
• 注意：这两种HAC方法，都不影响系数 的点估计，只是改变了系数的标准差和t 统计量。
• 意义：可以不需要估计异方差的形式， 采取HAC的纠正可以得到更加可靠的t统 计量，以便我们分析回归结果。
n
nk
X ' X 1 in1ei2xi xi'
X ' X 1
• 此处n为样本观测值个数，K是解释变量个数， e是OLS残差。
• 第二种：Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance ，HAC Ccovariances (Newey-West，
对原模型做如下修改：用P左乘模型的两边
PY PXb PU
•令
~
~
~
Y PY , X PX ,U PU
• 则原模型的估计等价于对以下模型的估计：
~
~
~
Y X b U
该模型的误差项具有等方差和无序列相关性质
E
~
U
~
U'
E
PUU
'
P
'
PE
UU
'
P
'
2 u
PP
'
2 u
I
n
因此可以采用普通最小二乘估计
（2）模型设定的偏误
所谓模型设定偏误（Specification error）是指所设 定的模型“不正确”。主要表现在模型中丢掉了重要 的解释变量或模型函数形式有偏误。
• 例如真实模型为：
Y b0 b1X1 b2 X 2 U
如果错误地设定为：
Y b0 b1 X1 V
那么： V b2 X 2 U V包含了X2的系统性影响，呈现出序列
CovUi ,Ui1 0 Cov Ui ,Ui j 0 j 1
如果自相关满足如下形式：
Ut Ut1 t
为零均值、等方差和无序列相关的随机
项则为经典一阶自回归形式。
• 为什么会有序列相关
（1）经济变量固有的惯性 如收入支出模型，U当中包含有诸如消费习惯的
影响，这种影响一定时期内具有惯性。
再如：生产函数模型，不同样本企业的内外部 环境差异导致影响产出的随机因素存在差异。
• 2、异方差OLS估计的后果 对于存在异方差问题的模型，采用OLS估计会有何不利 结果？
(1) 估计量无偏，但是非有效。
b (X ' X )1 X 'Y (X ' X )1 X '(Xb U) b (X ' X )1 X 'U
~
b
~
X'
~
X
1
~~
X'Y
X
'
P'
PX
1
X
'P'
PY
X '1X
1 X '1Y
•
~
b
称为广义最小二乘估计量（Generalized
Least Square,GLS)
问题：证明在异方差和序列相关的情况下，
GLS是优良估计量。计算广义最小二乘估计量 的分布（均值、方差）
当 I 时，GLS=OLS
已知：在异方差和序列相关情况下，OLS估计 仍是无偏的，但是不是有效的估计量，我们可 以保持无偏的最小二乘法估计，但是使用某个 矩阵来对无效性进行修正。
b ~ N(b,(X ' X )1 X '(U2 )X (X ' X )1)
当U的协方差矩阵
U 2
未知时，可以运用从最小
二乘法估计得到的估计残差，来代替原来的具
Yi b0 b1X i Ui
模型除异方差外，满足经典假定 检验步骤：将样本从小到大排列后去掉中间四分之 一的样本单位，组成由较小观测值和较大观测值构成
的两个子样本，分别回归，记残差平方和为 e12i , e22i
• 构造F统计量
F
e22i e12i
nc 2 nc 2
2
2
~
F
• （4）试验检验法
检验思路：假设异方差的可能形式，再进行回 归检验。试验检验法可以考虑更为多样复杂的 异方差形式，但是工作量比较大。比较常用的 检验有：
帕克(Park)检验
ei2 f
Xj
2
X
j
evi
j 1, 2
k
ln ei2 ln 2 ln X ji vi
• 戈里瑟(Gleiser)检验
二、序列相关(Serial Correlation)
• 1、概念 如果 或者：
cov(Ui ,U j ) 0, i j
2
E
UU
'
2
21
12 2
n1
1n 2n
2
I
2
如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相
关的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关 性。
• 常见的一阶序列相关 如果模型仅存在当期和前一期的序列相关，称 为一阶序列相关或自相关
nc 2
2,
nc 2
2
•
如果原假设
2 ui
2 u
成立，不存在异方差，则F统计量会比较小，
反之比较大，当 F F , 拒绝原假设，存在异方差。
• 为保证 检验效果，需要大样本。一次检验一个解释变量。
思考：如何检验递减异方差？
• （3）White检验 可以检验U与多个解释变量之间的异方差、较 复杂形式的异方差。 检验思想：构造残差平方对于解释变量的一个 包容性较强的异方差形式，检验其在统计上是 否显著成立，如果成立，说明异方差存在并且 可以知道异方差的形式。 检验过程：
• 如图：
e~i 2
e~i 2
X 同方差
e~i 2
X 递增异方差
e~i 2
X 递减异方差
X 复杂型异方差
或者观察 Xi ,Yi 或者残差分布图
• （2）戈德菲尔－夸特检验（ Goldfeld-Quandt） 基本思想：将样本分成大小相等的两个子样本分别
回归，如果模型存在递增或递减异方差，两个残差平 方和比值比较大，可以构造一个统计量检验这个比值。 以下我们检验递增异方差的存在。
ei
0
1
X
h i
vi
h可取1，2，1/2，－1，－1/2
• 一般而言，对于大样本情况，选择上述五种形 式可以得到较为满意的结果，对于小样本，只 能作为了解异方差某些信息的一种手段。
4、异方差的修正 两种方法： WLS：适用于异方差形式已知情形 HAC：适用于异方差形式未知情形
（1）WLS方法（Weighted Least Square，加权最 小二乘法）
1987)
• White描述的协方差矩阵，需要假定回归方程的残差是 序列不相关的。Newey和West提出另外一个更加一般 的协方差矩阵。该协方差矩阵可以保证同时存在未知 形式的异方差和自相关时，估计是一致的。该矩阵是
X
'Baidu Nhomakorabea
X
1
X
'
X
1
• 此处
n
n
k
in1ei2xi
x
' i
q j 1
1
q
j
1
相关。
（3）数据的“编造”
在实际经济问题中，有些数据是通过已知数据 生成的。因此，新生成的数据与原数据间就有 了内在的联系，表现出序列相关性。例如：季 度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的 计算减弱了每月数据的波动性，从而使随机干 扰项出现序列相关。
还有就是两个时间点之间的“内插”技术往
往导致随机项的序列相关性。
WLS是GLS（Generalized Least Square)的特例。
那么，什么是GLS？
• 对于模型
Y Xb U
除 E[UU
']
2 U
2121
12
2 2
n1 n2
1n 2n
U2
I
2 n
外，其它假定满足
若 是正定矩阵，存在一个非奇异矩阵P，满足
P'P I
，如果模型做修改后的误差项方差为 I ，就可 以转化为经典模型。