机械振动--第03课 单自由度系统：阻尼自由振动
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第三十一页，共32页。
内容总结
第四课 单自由度系统： 阻尼自由振动。库仑阻尼与结构阻尼。库仑阻尼与结构阻尼。比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工 作缸被活塞分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时，强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运 动，液体经脱阀时产生的阻力，使运动能量变为热能耗散掉。在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性 阻尼，它是由于气体或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的热量等能量耗散的度量。例 题
(2.3-2)
第十一页，共32页。
粘性阻尼振动系统
s1,2
c 2m
c
c
2
k
2m 2m m
c
2
2m
k m
c 2m
c
i
2m
k c 2 m 2m
k
c
c
2
k
2m m
c
2
k
2m m
c 2 k 2m m
x m
第十二页，共32页。
粘性阻尼振动系统
考虑 x Aest Aeσ iω ( Aeσ )eiω ，如果 0 ，则物体的运动将不
fd jx
式中 为结构阻尼系数，它与刚度 k 成正比，
gk
式中 g 为结构阻尼损耗因子，或称结构阻尼比。结构阻尼系统运动
方程为
mx kx jx f
第三十页，共32页。
Homework
▪ Write the differential equation of motion for the system in the following figure and determine the natural frequency of damped oscillation and critical damping coefficient.
对于实际金属结构，常常不完全能用粘性阻尼来描述他们的衰 减特性。实际结构的阻尼主要来源于金属材料本身的内摩擦（内耗） 及各部件连接界面（如铆钉、螺钉、衬垫等）之间的相对滑移。因 此结构阻尼主要有材料内阻尼与滑移阻尼两部分组成。
结构阻尼的阻尼力与振动位移成正比，相位比位移超前 90o，即 与速度方向相反
nT
把T 2 2 代入上式，得
d
1 2 n
第二十三页，共32页。
例题
2 2 （如果 很小） 1 2
叫做对数衰减率。也可由相隔 n 个周期的幅值 xi 和 xinT （ n 为
整数）之比来确定，即
ln lxnxiixTixinT nnTnT n
2
2
因 从此 而， 确根定据 测，得T再的由自m由d、振k动和1数据确，2定由ncx。i 和 xiT （或 xinT ）确定 ，
第七页，共32页。
粘性阻尼器
基于流体力学，作用于活塞上阻 力的大小近似地表示为
Fd
d 2
4
p
4L
d D
2
v
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与 速度成正比，方向与速度相反，这时 阻尼系数为
c
4L
d
2
D
第八页，共32页。
粘性阻尼
▪ 若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻 尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在 粘性介质中运动（包括两接触面之间有润滑 剂时）可以认为阻尼与速度成正比。
第四课 单自由度系统： 阻尼自由振动
第一页，共32页。
前课需要掌握的内容
▪ 运动方程的建模方法
• 牛顿第二定律 • 机械能守恒dE＝0
• 虚功原理
▪ 运动方程的解
• 求解方法 • 解的形式：幅值与相位 • 固有频率
▪ 固有频率计算方法
• 求解特征方程 • 单位加速度法 • 能量法
第二页，共32页。
再是往复振动。所以对于满足
c 2 k 2m m 的 cc 2 mk 2mn 2k / n 称为临界阻尼（critical damping）。再令
c
cc
称为系统的阻尼比，又称为相对阻尼系数。
第十三页，共32页。
粘性阻尼振动系统
cc 2 mk 2mn 2k / n
c
cc
式(2.3-1)可以写成
第九页，共32页。
粘性阻尼振动系统
在线性振动理论中规定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大小
与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数 c 为常数。单
自由度系统阻尼振动的模型如图所示,与阻尼自由振动相比，增加 一个阻尼器。按照前面讲述的建立系统运动微分方程的方法可得
k x
m c
第十页，共32页。
粘性阻尼振动系统
▪ 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分析中 最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体或液体在 某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的热量等能量耗 散的度量。
第五页，共32页。
1. 引言
▪ 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。如果 现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在无休止的 运动中。客观实际是和谐的，有振动又有阻尼，保证了 我们生活在一个相对安静的世界里。
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
第二十七页，共32页。
库仑阻尼Coulomb damping
当物体在没有润滑的表面上滑动时，会产生干摩擦力。干摩 擦力的大小正比于接触表面间的法向力，方向与运动方向相反。 用数学式子可表示为
Fd W sgn( x) 式中 为动摩擦系数。具有库仑阻尼系统的理论模型运动方程为
得其自由振动数据，试确定其阻尼大小。
解：根据单自由度阻尼振动系统的运动方程
x(t) Aent cos(dt )
可知在时间 ti 系统运动的幅值为
xi x(ti ) Aenti cos(dti ) 而在 ti T 时刻， T 为周期，其振动幅值为
xiT x(ti T ) Aen (ti T ) cos(dti )
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
(2.3-1)
为了得到它的解，设 x Aest 。代入式(2.3-1)得到
A ms2 cs s est 0
对于非平凡解， A 0 ，因此
k x
m
c
ms2 cs s 0
式(2.3-2)称为式(2.3-1)的特征方程。解之可得
当系统的阻尼机制无法精确知道而要用等效粘性阻尼建模时， 这个方法二十五页，共32页。
几种常用材料的对数衰减率
材料 橡胶 铆接的钢结构 混凝土 木材 冷轧钢 冷轧铝 磷青铜
第二十六页，共32页。
δ 0.25200 0.189 0.126 0.0189 0.00378 0.00126 0.00044
▪ 最常见的阻尼是
• 粘性阻尼viscous damping
• 库仑阻尼（干摩擦阻尼）Coulomb damping
• 结构阻尼structural damping
▪ 我们将着重讨论粘性阻尼，如果没有特殊说明，有阻 尼系统就是粘性阻尼系统。
第六页，共32页。
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
第三页，共32页。
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
第四页，共32页。
1. 引言
▪ 什么是阻尼？
• “阻”和“尼”均有“阻碍”、“阻止”的意思
▪ 比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工作缸被活塞分成 上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时，强迫液 体经过活塞上的阀在上下腔运动，液体经脱阀时产生的阻力，使 运动能量变为热能耗散掉。
移是一个具有振幅随时间按指数衰减的减小振动。实际阻尼小于临界阻尼的系 统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
第十五页，共32页。
第十六页，共32页。
粘性阻尼振动系统
第十七页，共32页。
粘性阻尼振动系统
（2） 1 ，临界阻尼（critical damped）
这时，系统的阻尼系数等于系统的临界阻尼系数，这种系
mx W sgn(x) kx 0
具有库仑阻尼的系统，其运动是一个具有线性衰减振幅的简 谐运动。自由振动的频率不受阻尼的影响。最后系统的运动并不 一定停留在原来的静止位置，这是因为当弹性恢复力比摩擦力小 时系统就停止下来了。
第二十八页，共32页。
第二十九页，共32页。
结构阻尼Structural damping
统叫做临界阻尼系统。由于 1 ，系统的运动方程可以写为
x(t) A1 A2t ent
这是一个时间的线性函数与一个指数衰减的函数之积，其 一般运动形式可以表示为如图所示，显然不发生振荡。
第十八页，共32页。
第十九页，共32页。
粘性阻尼振动系统
（3） 1 ，过阻尼（overdamped）
这时，系统叫做过阻尼系统或强阻尼系统，其特征值为两实数，即
第三十二页，共32页。
第二十二页，共32页。
例题
xi x(ti ) Aenti cos(dti )
xiT x(ti T ) Aen (ti T ) cos(dti )
前后两幅值的比为
xi xi T
Aen ti Aen (ti T )
enT
常数
方程表明，系统任两个相差周期T 的幅值的比是常数，令
ln xi xi T
s1,2 2 1 d
由于 2 1 ，可以看出 s1 和 s2 都是负实数，因而系统的运动是两个
指数衰减的运动之和
x(t) A1e
A e
2
1
d
t
2
2
1
d
t
系统的运动将是非振荡的。
第二十页，共32页。
第二十一页，共32页。
例题
有一个有阻尼系统，质量为 m ，弹簧常数为 k 。测
s1,2 i 1 2 n
方程（2.3-3）的通解为
x(t) B e B e i 1 2 nt 1
i 1 2 nt 2
ent A1 cos 1 2nt A2 sin nt Aent cos(dt )
式中d 1- 2n 叫做阻尼固有频率。粘性阻尼系统的自由振动，其位
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
x 2n x n2x 0 (2.3-3)
根据 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
第十四页，共32页。
粘性阻尼振动系统
（1） 1，此时为弱阻尼（欠阻尼，underdamped）情况，此时特征值
为二共轭复根
内容总结
第四课 单自由度系统： 阻尼自由振动。库仑阻尼与结构阻尼。库仑阻尼与结构阻尼。比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工 作缸被活塞分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时，强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运 动，液体经脱阀时产生的阻力，使运动能量变为热能耗散掉。在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性 阻尼，它是由于气体或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的热量等能量耗散的度量。例 题
(2.3-2)
第十一页，共32页。
粘性阻尼振动系统
s1,2
c 2m
c
c
2
k
2m 2m m
c
2
2m
k m
c 2m
c
i
2m
k c 2 m 2m
k
c
c
2
k
2m m
c
2
k
2m m
c 2 k 2m m
x m
第十二页，共32页。
粘性阻尼振动系统
考虑 x Aest Aeσ iω ( Aeσ )eiω ，如果 0 ，则物体的运动将不
fd jx
式中 为结构阻尼系数，它与刚度 k 成正比，
gk
式中 g 为结构阻尼损耗因子，或称结构阻尼比。结构阻尼系统运动
方程为
mx kx jx f
第三十页，共32页。
Homework
▪ Write the differential equation of motion for the system in the following figure and determine the natural frequency of damped oscillation and critical damping coefficient.
对于实际金属结构，常常不完全能用粘性阻尼来描述他们的衰 减特性。实际结构的阻尼主要来源于金属材料本身的内摩擦（内耗） 及各部件连接界面（如铆钉、螺钉、衬垫等）之间的相对滑移。因 此结构阻尼主要有材料内阻尼与滑移阻尼两部分组成。
结构阻尼的阻尼力与振动位移成正比，相位比位移超前 90o，即 与速度方向相反
nT
把T 2 2 代入上式，得
d
1 2 n
第二十三页，共32页。
例题
2 2 （如果 很小） 1 2
叫做对数衰减率。也可由相隔 n 个周期的幅值 xi 和 xinT （ n 为
整数）之比来确定，即
ln lxnxiixTixinT nnTnT n
2
2
因 从此 而， 确根定据 测，得T再的由自m由d、振k动和1数据确，2定由ncx。i 和 xiT （或 xinT ）确定 ，
第七页，共32页。
粘性阻尼器
基于流体力学，作用于活塞上阻 力的大小近似地表示为
Fd
d 2
4
p
4L
d D
2
v
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与 速度成正比，方向与速度相反，这时 阻尼系数为
c
4L
d
2
D
第八页，共32页。
粘性阻尼
▪ 若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻 尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在 粘性介质中运动（包括两接触面之间有润滑 剂时）可以认为阻尼与速度成正比。
第四课 单自由度系统： 阻尼自由振动
第一页，共32页。
前课需要掌握的内容
▪ 运动方程的建模方法
• 牛顿第二定律 • 机械能守恒dE＝0
• 虚功原理
▪ 运动方程的解
• 求解方法 • 解的形式：幅值与相位 • 固有频率
▪ 固有频率计算方法
• 求解特征方程 • 单位加速度法 • 能量法
第二页，共32页。
再是往复振动。所以对于满足
c 2 k 2m m 的 cc 2 mk 2mn 2k / n 称为临界阻尼（critical damping）。再令
c
cc
称为系统的阻尼比，又称为相对阻尼系数。
第十三页，共32页。
粘性阻尼振动系统
cc 2 mk 2mn 2k / n
c
cc
式(2.3-1)可以写成
第九页，共32页。
粘性阻尼振动系统
在线性振动理论中规定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大小
与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数 c 为常数。单
自由度系统阻尼振动的模型如图所示,与阻尼自由振动相比，增加 一个阻尼器。按照前面讲述的建立系统运动微分方程的方法可得
k x
m c
第十页，共32页。
粘性阻尼振动系统
▪ 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分析中 最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体或液体在 某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的热量等能量耗 散的度量。
第五页，共32页。
1. 引言
▪ 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。如果 现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在无休止的 运动中。客观实际是和谐的，有振动又有阻尼，保证了 我们生活在一个相对安静的世界里。
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
第二十七页，共32页。
库仑阻尼Coulomb damping
当物体在没有润滑的表面上滑动时，会产生干摩擦力。干摩 擦力的大小正比于接触表面间的法向力，方向与运动方向相反。 用数学式子可表示为
Fd W sgn( x) 式中 为动摩擦系数。具有库仑阻尼系统的理论模型运动方程为
得其自由振动数据，试确定其阻尼大小。
解：根据单自由度阻尼振动系统的运动方程
x(t) Aent cos(dt )
可知在时间 ti 系统运动的幅值为
xi x(ti ) Aenti cos(dti ) 而在 ti T 时刻， T 为周期，其振动幅值为
xiT x(ti T ) Aen (ti T ) cos(dti )
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
(2.3-1)
为了得到它的解，设 x Aest 。代入式(2.3-1)得到
A ms2 cs s est 0
对于非平凡解， A 0 ，因此
k x
m
c
ms2 cs s 0
式(2.3-2)称为式(2.3-1)的特征方程。解之可得
当系统的阻尼机制无法精确知道而要用等效粘性阻尼建模时， 这个方法二十五页，共32页。
几种常用材料的对数衰减率
材料 橡胶 铆接的钢结构 混凝土 木材 冷轧钢 冷轧铝 磷青铜
第二十六页，共32页。
δ 0.25200 0.189 0.126 0.0189 0.00378 0.00126 0.00044
▪ 最常见的阻尼是
• 粘性阻尼viscous damping
• 库仑阻尼（干摩擦阻尼）Coulomb damping
• 结构阻尼structural damping
▪ 我们将着重讨论粘性阻尼，如果没有特殊说明，有阻 尼系统就是粘性阻尼系统。
第六页，共32页。
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
第三页，共32页。
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
第四页，共32页。
1. 引言
▪ 什么是阻尼？
• “阻”和“尼”均有“阻碍”、“阻止”的意思
▪ 比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工作缸被活塞分成 上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时，强迫液 体经过活塞上的阀在上下腔运动，液体经脱阀时产生的阻力，使 运动能量变为热能耗散掉。
移是一个具有振幅随时间按指数衰减的减小振动。实际阻尼小于临界阻尼的系 统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
第十五页，共32页。
第十六页，共32页。
粘性阻尼振动系统
第十七页，共32页。
粘性阻尼振动系统
（2） 1 ，临界阻尼（critical damped）
这时，系统的阻尼系数等于系统的临界阻尼系数，这种系
mx W sgn(x) kx 0
具有库仑阻尼的系统，其运动是一个具有线性衰减振幅的简 谐运动。自由振动的频率不受阻尼的影响。最后系统的运动并不 一定停留在原来的静止位置，这是因为当弹性恢复力比摩擦力小 时系统就停止下来了。
第二十八页，共32页。
第二十九页，共32页。
结构阻尼Structural damping
统叫做临界阻尼系统。由于 1 ，系统的运动方程可以写为
x(t) A1 A2t ent
这是一个时间的线性函数与一个指数衰减的函数之积，其 一般运动形式可以表示为如图所示，显然不发生振荡。
第十八页，共32页。
第十九页，共32页。
粘性阻尼振动系统
（3） 1 ，过阻尼（overdamped）
这时，系统叫做过阻尼系统或强阻尼系统，其特征值为两实数，即
第三十二页，共32页。
第二十二页，共32页。
例题
xi x(ti ) Aenti cos(dti )
xiT x(ti T ) Aen (ti T ) cos(dti )
前后两幅值的比为
xi xi T
Aen ti Aen (ti T )
enT
常数
方程表明，系统任两个相差周期T 的幅值的比是常数，令
ln xi xi T
s1,2 2 1 d
由于 2 1 ，可以看出 s1 和 s2 都是负实数，因而系统的运动是两个
指数衰减的运动之和
x(t) A1e
A e
2
1
d
t
2
2
1
d
t
系统的运动将是非振荡的。
第二十页，共32页。
第二十一页，共32页。
例题
有一个有阻尼系统，质量为 m ，弹簧常数为 k 。测
s1,2 i 1 2 n
方程（2.3-3）的通解为
x(t) B e B e i 1 2 nt 1
i 1 2 nt 2
ent A1 cos 1 2nt A2 sin nt Aent cos(dt )
式中d 1- 2n 叫做阻尼固有频率。粘性阻尼系统的自由振动，其位
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
x 2n x n2x 0 (2.3-3)
根据 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
第十四页，共32页。
粘性阻尼振动系统
（1） 1，此时为弱阻尼（欠阻尼，underdamped）情况，此时特征值
为二共轭复根