七年级数学上册知识讲义-3 方案决策问题-人教版

精讲精练
方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤归纳如下：
（1）列代数式：根据分析设未知数，列出各种方案的式子。

（2）列方程：利用两种费用相等。

（3）决策：根据上面比较的结果，确定最优方案，根据不同的情况，设计不同的方案进行比较，决定取舍，得出方案。

例题 1 （鸡西一模）在“五•一”黄金周期间，某超市推出如下购物优惠方案：（1）一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内时，一律享受九折的优惠；（3）一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠。

王茜在本超市两次购物分别付款80元、252元。

如果王茜改成在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品，则应付款多少钱？
思路分析：注意80元和252元是享受完优惠之后的付款，所以要算出优惠之前的消费。

设没有优惠之前的消费是x元，则当x＜100时，付款就是x元，当100≤x＜300时，付款是0.9x，当x≥300时，付款0.8x，把80和252分别代入上述的三个算式就可以求出优惠前的消费，再把两次消费加在一起，判断出适用的优惠范围即可。

答案：设没有优惠之前的消费是x元，
则当x＜100时，付款就是x元，
当100≤x＜300时，付款是0.9x，
当x≥300时，付款0.8x。

当0.9x=80时，x≈88.88，所以80元是在方案（1）后的付款；
当0.9x=252时，x=280，所以252元可以是在方案（2）后的付款；
当0.8x=252时，x=395，所以252元还可以是在方案（3）后的付款；
∴两次所购商品总价为360元或395元，
∴360×0.8=288，395×0.8=316。

例题2 （碑林区月考）某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25 元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5m3污水排出，为了净化环境，工厂设计了两种处理污水的方案。

方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理1m3污水所用的原料费为2元，并且每月排污设备损耗为30000元。

方案二：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理1m3污水需付14元的排污费。

问：如果你作为厂长在不污染环境又节约资金的前提下应选用哪种处理污水的方案?请通过计算加以说明。

思路分析：首先分析两种方案，方案一净化后的污水收费较少，但设备损耗昂贵；方案二污水收费较高，但无设备损耗费用。

因此当污水体积较多时选择方案一，较少时选择方案二。

在进行方案选择时需要设出每月生产产品数，然后使方案一和方案二产生的费用相同（临界条件），进而求解即可。

答案：设工厂每月生产x 件产品，
方案一的利润为：（50-25）x -2×0.5 x -30000
方案二的利润为：（50-25）x -14×0.5 x
当方案一与方案二每月利润一样，根据题意，得
（50-25）x -2×0.5 x -30000=（50-25）x -14×0.5 x，
解得x =5000。

即当工厂生产产品为5000件时，两种方案的费用一样；
当工厂生产产品超过5000件时，选方案一；
当工厂生产产品少于5000件时，选方案二。

例题3 （泗阳期末）小明到光明书店帮同学们买书，售货员告诉他，如果花20元钱办理“光明书店会员卡”，将享受八折优惠。

聪明的读者，请你帮助小明算一算。

（1）在这次买卖中，小明在买标价为多少元书的情况下，办会员卡与不办会员卡花钱一样?
（2）当小明买标价为200 元的书时，怎么做合算，能省多少钱?
（3）当小明买标价为60 元的书时，怎么做合算?
思路分析：正常购书时，书本按原价售卖，办会员卡时售价打八折，即降低了20%，但是需要支付会员卡费用。

当购买书本价格较贵时可选用会员卡方案，因此解题的关键在于建立两种方案的等量关系（临界条件），然后根据临界条件判断即可。

答案：设买标价为x元的书，则不办会员卡的费用就是x元，办理会员卡的费用是0.8x+20元。

（1）由题意可知：x=0.8x+20，解得x=100，
所以当小明买100元书时，办会员卡与不办会员卡花钱一样。

（2）当买200 元书时，办卡后花的钱为20+200×0.8=180 （元），因为180<200，所以当小明买200元书时，办卡合算，省20元。

（3）当买60元书时，20+60×0.8=68元，60＜68，所以不办卡合算。

同步练习
（答题时间：20分钟）
1. 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价20% ，乙超市一次性降价40% ，丙超市第一次降价30% ，第二次降价10% ，那么顾客在哪家超市购买这种商品更合算（）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 一样
2. 某移动公司开设两种业务，“全球通”月租费30元，每分钟0.2元；“神州行”没有月租费，每分钟通话费0.4元。

如果你平均一个月通话在200分钟左右，选择（）业务比较划算。

A. 神州行
B. 全球通
C. 一样
D. 不知道
3. 某学校组织学生春游，如果租用45座的客车若干辆，则有15个人没有座位，如果租用同样数量60座的客车，则多出一辆，其余客车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，则租用（）的客车更合算。

A. 4辆60座
B. 5辆60座
C. 5辆45座
D. 6辆45座
4. 某学校班主任暑假带领该班三好学生去旅游，甲旅行社说：“如果教师买全票一张，其余学生享受半价优惠；”乙旅行社说：“教师在内全部按票价的六折优惠；”若全部票价是240元。

（1）如果有10名学生，应参加哪个旅行社，并说出理由；
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社收费一样多?
5. 有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人。

一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3 人通过道口，此时，自己前面还有36 个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校。

（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校?
（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少?
6. 商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出场价分别为甲种每台1500 元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元。

在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，该选择哪种进货方案?
答案
1. B 解析：设商品定价为x，则甲超市打折后的售价为（1-20%）（1-20%）x，化简为0.64x；乙超市打折后的售价为0.6x；丙超市打折后的售价为（1-30%）（1-10%）x，化简为0.63x.因此选择乙超市购买最划算，故选B。

2. A 解析：假定每月通话时间为200分钟，“全球通”的所需金额为30+0.2×200=70元；“神州行”的所需金额为0.4×200=80元。

因此选择“全球通”业务比较划算，故选A。

3. A 解析：首先需要确定学生数量，设学生数量为x，租用客车数量为m。

则：（x-15）=45m，同时x=60（m-1）。

列方程，解得x=240人，则m=5。

也即学校人数为240人，租用客车数量为5辆。

若选取45座的客车，所花费用为：250×（5+1）=1500元；
若选取60座的客车，所花费用为：300×（5-1）=1200元；
因此选用4辆60座的客车比较方便，
故选A。

4. 甲；4 解析：（1）甲旅行社收费为240×10×0.5+240=1440（元）；乙旅行社收费为240×（10+1）×0.6=1584（元），故应参加甲旅行社。

（2）设当学生人数为x人时，收费一样多。

根据题意，得240×x×0.5+240=240×（x +1）×0.6。

当学生人数是4人时，两家旅行社收费一样多。

5. 王老师应选择绕道而行去学校；3分钟。

解析：（1）∵+7=19>15，
∴王老师应选择绕道而行去学校。

（2）设维持秩序时间为t，则3t+9（6-t）=36，解得t =3（分钟）。

故维持好秩序的时间是3分钟。

6. 解析：（1）①设购进甲种电视机x 台，则购进乙种电视机（50- x ）台，根据题意，得1500 x +2100（50-x）=90000。

解这个方程，得x=25，则50- x =25，故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电视机各25台。

②设购进甲种电视机y台，则购进丙种电视机（50- y ）台。

根据题意，得
1500 y +2500（50- y）=90000。

解这个方程，得y =35，则50-y=15，故第二种进货方案是购进甲种电视机35台，丙种电视机15台。

③设购进乙种电视机z台，则购进丙种电视机（50- z ）台。

根据题意，得
2100 z +2500 （50- z）=90000。

解这个方程，得z=87.5（不合题意），故此种方案不可行。

（2）上述的第一种方案可获利：150×25+200×25=8750（元），
第二种方案可获利：150×35+250×15=9000（元），因为8750<9000，故应选择第二种进货方案。