电磁场与电磁波第四版之第二章电磁场基本规律

单位：C/m3 (库/米3 ) 总电荷q 与密度的关系：
z
r
q
V V
q (r )dV
V
o x
y
电磁场理论
第2章
电磁场的基本规律
7
2. 电荷面密度
Δq(r ) dq(r ) S (r ) lim ΔS 0 ΔS dS
单位: C/m2 (库/米2) 如果已知某空间曲面S 上的电荷 面密度，则该曲面上的总电荷q 为
r e
r
b
P(0,0,z) R
y
a
x
S E (r ) 4π 0
由于

a
b
2π
0
ez z e d d 2 2 3/ 2 (z )
2π
dS
均匀带电的环形薄圆盘

2
0
e d (ex cos e y sin )d 0
新问题： • 如果电荷为面电荷，电流是面电流，电流连续方程如何？ • 如果电荷为线电荷，电流为线电流，电流连续方程又如何？ 答案： • 面分布：
• 线分布：
s s J s t dI (l ) l (l , t ) dl t
电荷守恒定律
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第2章
电磁场的基本规律
面电流密度矢量
单位：A/m （安/米） 。 通过面上任意横截线的电流为
•面电流与面电荷的关系? •体电流与面电流的关系?
i J S em dl
l
其中：
em en el
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3. 线电流
I
单位: A （安）
体电流是以面为单位 传播，面电流是以线 为单位传播，线电流 是以点为传播
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1
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第2章
电磁场的基本规律
2
本章讨论内容
2.1 电荷守恒定律
2.2 真空中静电场的基本规律 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流
2.6 麦克斯韦方程组
2.7 电磁场的边界条件
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1 3( p r )r p P E (r ) 3 e 2cos e sin 5 3 r 4π 0 r r 4π 0 r r r p ql ——电偶极矩
z
+q
l o

r
E
－q
电偶极子
电场线 等位线
电偶极子的场图
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1. 静电场的散度与高斯定律
静电场的散度（微分形式）
静电场的通量
高斯定律（积分形式） 1 E (r ) dS q S内
S
E (r )
2. 静电场的旋度
(r )
0
0
静电场的旋度（微分形式）
E (r ) 0
静电场的环流（积分形式） E (r ) dl 0
•恒定电流的连续性方程

V
dV
恒定电流是无散场，电 流线是连续的闭合曲线， 既无起点也无终点
0 t
J 0、 J dS 0
S
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针对思考问题的知识扩充
前述电流连续性方程的特点： • 电荷：体电荷 • 电流：体电流
J t
C
R
3
dl
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3. 几种典型电荷分布的电场强度 均匀带电直线段的电场强度： ì l ï ï Er (cos 1 - cos 2 ) ï ï 4π 0 r ï í （有限长） ï l ï ï E (sin 2 - sin 1 ) z ï 4π 0 r ï ï î
什么问题，具有这种特性呢？ 具有对称性的问题! • 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等
带电球壳
多层同心球壳
均匀带电球体
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• 轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。
• 无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。
(a)
(b)
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z
l
2
1

M
均匀带电直线段
l E 2 π 0
（无限长）
M
z
o
y
均匀带电圆环轴线上的电场强度：
a l z Ez (0, 0, z ) 2 0 (a 2 + z 2 )3 2
a x
l
均匀带电圆环
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电偶极子的电场强度：
电偶极子是由相距很近、带等值异号的两个点电荷组成的 电荷系统，其远区电场强度为
x
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• 电场力服从叠加定理 真空中的N个点电荷 q1、q2、 、qN （分别位于 r1、r2、 、rN） 对点电荷 q （位于 r）的作用力为
Fq Fqi q
i 1
N
qqi Ri 3 4 π R i 1 0 i
N
( Ri r ri )
t 0
单位: A （安） 电流方向: 正电荷的流动方向 说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为 恒定电流，用I 表示。
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电流存在的形式（三种）： 体电流、面电流和线电流 1. 体电流
S
en
J
体电流密度矢量
i di J en lim en S 0 S dS
16
2.2 真空中静电场的基本规律
静电场：由静止电荷产生的电场。 重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用。 2.2.1 库仑定律与电场强度 1. 库仑（Coulomb）定律(1785年) 真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:
z
q1
r1
R12 q2
r2
F12
o
y
q1q2 q1q2 R12 F12 eR 2 3 4π 0 R12 4π 0 R12
精确测定电子电荷的量值为
e =1.602 177 33×10-19 (单位：C )
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电荷存在的形式（四种）： 点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷 1. 电荷体密度
Δq (r ) dq (r ) (r ) lim ΔV 0 ΔV dV
R
3
Vi V r (r )
M
V
r
o
y
小体积元中的电荷产生的电场
面密度为 S (r ) 的面分布
电荷的电场强度
线密度为 l (r ) 的线分布
电荷的电场强度

1 E (r ) 4π 0

S (r ) R
S
R3
dS
1 E (r ) 4π 0

l (r ) R
0
S z b d S z 1 1 E (r ) e z ez 2 2 1/ 2 2 2 3/ 2 2 2 1/ 2 a 2 0 ( z ) 2 0 ( z a ) (z b )
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第 2 章 电磁场的基本规律 2.2.2 静电场的散度与旋度
S
r
0
a
r
0 V 1 q 4 3 2 4 r E πr 3 0 4π a 3 3 0r E （r < a） 3 0
E
a
r
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第2章
电磁场的基本规律
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习
题
关于电荷和电流 2.2; 2.3 关于电场强度 2.9
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第2章
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29
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
C
结论： • 静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关 • 静电场是发散场, 始于正电荷,并止于负电荷
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第2章 规 律
电磁场的基本规律 方 法
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从静电场规律的认识到分析解决问题的方法
• 电荷是产生电场的一种源
1 E (r ) 4π 0
• 已知电荷分布，求电场分布
叠加原理，进行直接求和/积分运算
第2章
电磁场的基本规律
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例2.2.2 求真空中均匀带电球体产生的电场。已知球体半径
为a ，电 荷密度为 0 。 解：（1）球外某点的场强 q 1 4 3 S E dS 0 0 3 π a 0 0 a3 E (r≥a) 3 0 r 2 （2）求球体内一点的场强 1 E dS 0dV
z
q
S
s (r )dS
x
S q S r
o
y
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3. 电荷线密度
Δq(r ) dq(r ) l (r ) lim Δl dl Δl 0
单位: C / m (库/米)
z
如果已知某空间曲线上的电荷线 密度，则该曲线上的总电荷q 为
r
q
1
0
q S内
• 已知电荷，求其产生的电场
求解积分方程
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第2章
电磁场的基本规律
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3. 利用ห้องสมุดไป่ตู้斯定律简捷计算电场强度的条件

S
E (r ) dS
1
0
q S内
简捷计算条件：E (r ) 可以提到积分号 以外，使积分方程简化为代数方程
什么情况下， E (r ) 可以提到积分号以外？
E (r ) 在S上均匀分布时！或积分结果已知时！
E
( R r r )
x
r
o
y
如果电荷是连续分布呢？
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体密度为 (r ) 的体分布电荷产生的电场强度
(ri)ΔViRi E (r ) 3 4 π R i 0 i 1 4π 0
z
dV
x

(r ) R
q3 q2 q1
q4 q q7 q6 q5
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2. 电场强度
电场强度矢量 E —— 描述电场分布的基本物理量
F (r ) E (r ) lim q0 0 q 0
q0 ——试验正电荷
根据上述定义，真空中静止点
电荷q 激发的电场为
z
r
q
R M
qR E (r ) 4π 0 R3

S
S (r ) R dS 3 R
(r )
• 电荷是产生电场的散度源
• 已知电场分布，求电荷分布
进行微分运算
E (r )
• 已知电荷分布，求其产生的电场
求解微分方程
0
• 电场的通量比例于电荷量
• 已知电场分布，求其通量
进行积分运算

S
E (r ) dS
本章知识脉络
主线：亥姆霍兹定理 电磁场的源：电荷、电流（2.1） 静电场的散 度和旋度 静磁场的散 度和旋度 真空中（2.2）
静 态 场
介质中（2.4）
真空中（2.3）
介质中（2.4）
时变场
时变场的散度和旋度 （麦克斯韦方程组）(2.5,2.6)
边界条件(2.7)
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4
l
o x
y
q
C
l (r )dl
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4. 点电荷 点电荷的电荷密度表示
(r ) qδ(r r )
z
r
q
o x
y
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2.1.2
电流与电流密度
电流 —— 电荷的定向运动
i lim (q t ) dq dt
正电荷运动的方向
单位：A / m2 （安/米2） 。 流过体积内任意曲面S 的电流为
体电流与体电 荷的关系?
i
S
J dS
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2. 面电流
i di J S et lim et l 0 l dl
正电荷运动的方向
en
et
d 0
JS
l
h0
•电流与线电荷的关系? •电流与电荷的关系?
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2.1.3 电荷守恒定律（电流连续性方程）
电荷守恒定律:
电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。 •电流连续性方程
流出闭曲面S 的电流 等于体积V 内单位时 间所减少的电荷量
dq d 积分形式 J dS S dt dt 微分形式 J t
2.1 电荷守恒定律
基本物理量：源；场
源：电荷 q(r , t ) ，电流 I (r , t )
电荷
（运动）
电流
电场
磁场
本节讨论的内容：电荷模型、电流模型、电荷守恒定律
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2.1.1 电荷与电荷密度
• 电荷是物质基本元素之一
• 1897年英国汤姆逊在实验中发现了电子 • 1907 — 1913年间，美国密立根通过油滴实验，
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例 2.2.1 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强 度。（P41）
解：
R r r
E (r )
1 4π 0

S (r ) R
S
R
3
dS
dE z
dS ' 'd 'd '
场点： P(0,0, z )
源点：
r ez z dS ' 'd 'd '