高三数学小题综合限时练(一)

(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.若集合A ＝{x |3＋2x －x 2＞0}，集合B ＝{x |2x ＜2}，则A ∩B 等于( ) A.(1，3) B.(－∞，－1) C.(－1，1)
D.(－3，1)
解析 ∵A ＝(－1，3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1，1). 答案 C
2.若复数z ＝a ＋3i
i ＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( ) A.－4 B.－3 C.1
D.2
解析 若z ＝a ＋3i
i ＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，则a ＜ －3，选A. 答案 A
3.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14cos π7＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －9π14sin π7＝13，则cos x 等于( )
A.1
3 B.－13 C.223
D.±223
解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14cos π7＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14sin π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π2＝－cos x ＝13，
即cos x ＝－1
3. 答案 B
4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是
均匀变化的，问中间3尺的重量为( ) A.6斤 B.9斤 C.9.5斤
D.12斤
解析 这是一个等差数列问题，设首项为2，则第5项为4，所以中间3尺的重量为3
2×(2＋4)＝9斤. 答案 B
5.已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线x ＝a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，且直线AF 与双曲线的一条渐近线关于直线y ＝b 对称，则双曲线的离心率为( ) A. 5 B.3 C.2
D. 2
解析 易得点A 坐标为(a ，b )，∵直线AF 与双曲线的一条渐近线关于直线y ＝b 对称，∴直线AF 的斜率为－b a ，即b a －c ＝－b a ⇒c
a ＝2.
答案 C
6.袋子中装有大小相同的6个小球，2红1黑3白.现从中有放回的随机摸球2次，每次摸出1个小球，则2次摸球颜色不同的概率为( ) A.59 B.2
3 C.1118 D.1318
解析 每次摸到红球、黑球和白球的概率分别为13、16和1
2，则所求概率为1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1118.
答案 C
7.如图是一个程序框图，若输出i 的值为5，则实数m 的值可以是 ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 S ＝2，i ＝2，2≤2m ；S ＝6，i ＝3，6≤3m ；S ＝13，i ＝4，13≤4m ；S ＝23，i ＝5，23＞5m ，此时程序结束，则134≤m ＜23
5，故选B. 答案 B
8.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( )
A.4
B.4 2
C.4 3
D.8
解析 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，面积最小的
面为面VAB ，S △VAB ＝1
2×2×42＝4 2. 答案 B
9.将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后的图形关于原点对
称，则函数f (x )在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )
A.3
2 B.12 C.－12
D.－
32
解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π3＋φ，它的图
象关于原点对称，∴π
3＋φ＝k π(k ∈Z )， 即φ＝k π－π3，又|φ|＜π
2， ∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3，
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π2，
∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π3，2π3，
∴f (x )在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上的最小值为f (0)＝－32.
答案 D
10.对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数： (ⅰ)对任意的x ∈[0，1]，恒有f (x )≥0；
(ⅱ)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立. 则下列四个函数中不是M 函数的个数是( ) ①f (x )＝x 2，②f (x )＝x 2＋1，③f (x )＝ln(x 2＋1)， ④f (x )＝2x －1 A.1 B.2 C.3
D.4
解析(ⅰ)在[0，1]上，四个函数都满足；(ⅱ)x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1；对于①，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(x21＋x22)＝2x1x2≥0，满足；
对于②，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[x1＋x2)2＋1]－[(x21＋1)＋(x22＋1)]＝2x1x2－1＜0，不满足；
对于③，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]
＝ln[(x1＋x2)2＋1]－[ln(x21＋1)＋ln(x22＋1)]
＝ln[(x1＋x2)2＋1]－ln[(x21＋1)(x22＋1)]
＝ln
（x1＋x2）2＋1
（x21＋1）（x22＋1）
＝ln
x21＋x22＋2x1x2＋1
x21x22＋x21＋x22＋1
，
而x1≥0，x2≥0，∴1≥x1＋x2≥2x1x2，∴x1x2≤1
4
，
∴x21x22≤1
4x1x2≤2x1x2
，
∴x21＋x22＋2x1x2＋1
x21x22＋x21＋x22＋1
≥1，∴ln
x21＋x22＋2x1x2＋1
x21x22＋x21＋x22＋1
≥0，满足；
对于④，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1)＝2x12x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)≥0，满足.
答案 A
11.双曲线C：x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，
F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若又|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()
A.
3
2 B.
5
4
C.
5
5 D.
1
4
解析因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a，
又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2⇒2c
＝25a ，所以cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|AF 2|2－|AF 1|22|F 1F 2||AF 2|＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a ＝
5
5. 答案 C
12.若对∀x ，y ∈[0，＋∞)，不等式4ax ≤e x ＋y －2＋e x －y －2＋2恒成立，则实数a 的最大值是( ) A.1
4 B.1 C.2
D.12
解析 因为e x ＋y －2＋e x －y －2＋2＝e x －2(e y ＋e －y )＋2≥2(e x －2＋1)，再由2(e x －2＋1)≥4ax ，可有2a ≤1＋e x －2x ，令g (x )＝1＋e x －2x ，则g ′(x )＝e x －2（x －1）－1
x 2，可
得g ′(2)＝0，且在(2，＋∞)上g ′(x )＞0，在[0，2)上g ′(x )＜0，故g (x )的最小值为g (2)＝1，于是2a ≤1，即a ≤1
2. 答案 D
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －15x 25的展开式中常数项为________. 解析 由通项公式得展开式中的常数项为(2)4
C 15⎝
⎛⎭
⎪⎫－15＝－4. 答案 －4
14.已知向量e 1，e 2不共线，a ＝2e 1＋m e 2，b ＝n e 1－3e 2，若a ∥b ，则mn ＝________.
解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即2e 1＋m e 2＝λ(n e 1－3e 2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝2，m ＝－3λ，
得mn ＝－6. 答案 －6
15.如果实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，
则z ＝y x ＋a
的最小值为1
2，则正数a 的
值为________.
解析 根据约束条件画出可行域，可判断当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值为1
2，即11＋a ＝12⇒a ＝1. 答案 1
16.在数列{a n }中，a 1＝13，1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），n ∈N *，且b n ＝1
3＋a n .记P n ＝
b 1·b 2·b 3·…·b n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则3n ＋1P n ＋S n ＝________. 解析 ∵1a n ＋1
＝
3a n （a n ＋3），b n ＝13＋a n ，∴b n ＝a n 3a n ＋1，1a n ＋1＝1a n －1a n ＋3
＝1
a n －
b n ，
∴P n ＝a 13a 2·a 23a 3·…·a n 3a n ＋1＝13n ＋1·a n ＋1，S n ＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1
a n ＋1＝3－1a n ＋1
，
则3n ＋1·P n ＋S n ＝1a n ＋1＋3－1
a n ＋1＝3.
答案 3。