2013年全国各市中考题分类汇编(6)：因动点产生的平行四边形问题

因动点产生的平行四边形问题
1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝.点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，连接DE 、DF ，动点P ，Q 分别从点A 、B 同时出发，运动速度均为1㎝/s ，点P 沿A F D 的方向运动到点D 停止；点Q 沿 B C 的方向运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动.在运动过程中，过点Q 作BC 的垂线交AB 于点M ，以点
P ，M ，Q 为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形边形PMQN 与矩形FDEC 重叠部分的面积为y （㎝2
）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P 运动的时间为x （s ） （1）当点P 运动到点F 时，CQ= ㎝；
（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度； （3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式.
2.如图,矩形A BCD 中，点P 在边CD 上,且与C 、D 不重合,过点A 作AP 的垂线与CB 的延长线相交于点Q,连接PQ,M 为PQ 的中点.
⑴ 求证：△ADP ∽△ABQ;
⑵ 若AD ＝10,AB ＝20,点P 在边CD 上运动,设DP ＝x,2
BM ＝y,求y 与x 的函数关系式,并求线段BM 长的最小值; ⑶ 若AD ＝10,AB ＝a,DP ＝8,随着a 的大小的变化,点M 的位置也在变化.当点M 落在矩形ABCD 外部时，求a 的取值范围. Q
P N M
F
E
D
C
B A
F
E
D
C
B
A
C
M
D
P
B
A
Q
3.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP 于点P，交边CD于点F，
（1）的值为；
（2）求证：AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
4.如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A 运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t（秒）．连结PQ．
（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．
（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t 之间的函数关系式．
（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．
（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．
（第26题图） 5.如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2
A B C --三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；
(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
6.如图，矩形OABC 在平面直角坐标系xoy 中，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=4,OC=3，若抛物线的顶点在BC 边上，且抛物线经过O 、A 两点，直线AC 交抛物线于点D 。

（1）求抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标；
（3）若点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，是否存在以点A 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝
14(x ―m)2
―14
m 2＋m 的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，连结AB ， AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使AD ＝AC ，连结BD ．作AE ∥x 轴，DE ∥y 轴． （1）当m ＝2时，求点B 的坐标； （2）求DE 的长?
（3）①设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式？
②过点D 作AB 的平行线，与第（3，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？
8.如图坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A （1，0），B （0，2），抛物线y=
x 2
+bx ﹣2的图象过C 点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？
（3）点P 是抛物线上一动点，是否存在点P ，使四边形PACB 为平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．
9.如图，已知抛物线42-+=bx ax y 经过A （-8，0），B （2，0）两点，直线4-=x 交x 轴于点C ，交抛物线于点D. （1）求该抛物线的解析式；
（2）点P 在抛物线上，点E 在直线4-=x 上，若以A ，O ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；
（3）若B ，D ，C 三点到同一条直线的距离分别是1d ，2d ，3d ，问是否存在直线l ，使2
321d
d d ==？若存在，请
直接写出3d 的值；若不存在，请说明理由.
10.综合与探究：如图,抛物线213
442
y x x =
--与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 的右侧)与y 轴交于点C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂
线l 交抛物线于点Q
（1）求点A,B,C 的坐标。

（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD ，BC 于点M,N 。

试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由。

（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点 Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

11.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于
点C，与抛物线的另一个交点是D．
（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；
（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．
12.如图1所示，已知y=（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M
是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．
（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；
（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2，求此时P点的坐标；
（3）当点Q在线段BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．
13.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．
（1）求点C的坐标．
（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．
（3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
14.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，tan∠ACO=，
（1）求B、C两点的坐标；
（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；
（3）若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
15.如图，平面直角坐标系中，直线L 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（OA ＜OB ），且OA 、OB 的长分别是一元二次方程()03132=+
+-
x x 的两个根.点C 在x 轴负半轴上，且AB ：AC=1：2.
（1） 求A 、C 两点的坐标.
（2） 若点M 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM ，设⊿ABM 的面积为S ，点M 的运动时
间为t ，写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
（3） 点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直
接写出Q 点的坐标；若不存在，说明理由.
16.如图，已知直线y=x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到△COD． （1）点C 的坐标是 线段AD 的长等于 ；
（2）点M 在CD 上，且CM=OM ，抛物线y=x 2
+bx+c 经过点G ，M ，求抛物线的解析式；
（3）如果点E 在y 轴上，且位于点C 的下方，点F 在直线AC 上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P ，使得以C ，E ，F ，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l ；若不存在，请说明理由．
17.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2
=++y x bx c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点(03)C -，，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式； （2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP C '.是否存在点P ，使四边形POP C '为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.
18．如图，在直角梯形AOCB 中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O 为原点，OC 、OA 所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A ，且经过点C ．点P 在线段AO 上由A 向点O 运动，点O 在线段OC 上由C 向点O 运动，QD⊥OC 交BC 于点D ，OD 所在直线与抛物线在第一象限交于点E ． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E′是E 关于y 轴的对称点，点Q 运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？
（3）点P 、Q 分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t 秒，当t 为何值时，PB∥OD？
19.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
20.如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB．
（1）求点A，B的坐标．
（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1=，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数y=的图象经过点D，求k的值．
（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
21.如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（，），对称轴为直线x=﹣，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
22.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C的坐标为（0，m），
过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上一动点，连结CD，DE，以CD，DE为边作□CDEF。

（1）当0<m<8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；
（2）当m=3时，是否存在点D，使□CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值。

(图10) y
(备用图) y
23.如图10，在平面直角坐标系xoy 中，一动直线l 从y 轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，直线l 与直线x y =相交于点P ,以OP 为半径的⊙P 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B .设直线l 的运动时间为t 秒．
（1）填空：当1=t 时，⊙P 的半径为 ，=OA ，=OB ；
（2）若点C 是坐标平面内一点，且以点O 、P 、C 、B 为顶点的四边形为平行四边形.
①请你直接写出所有符合条件的点C 的坐标；（用含t 的代数式表示）
②当点C 在直线x y =上方．．时,过A 、B 、C 三点的⊙Q 与y 轴的另一个交点为点D ，连接DC 、DA ，试判断DAC ∆的形状，并说明理由.
24.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y=x 2
+2x 与x 轴相交于O 、B ，顶点为A ，连接OA ． （1）求点A 的坐标和∠AOB 的度数；
（2）若将抛物线y=x 2+2x 向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m ，其顶点为点C ．连接OC 和AC ，把△AOC 沿OA 翻折得到四边形
ACOC′．试判断其形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x 2+2x 上，请说明理由；
（4）若点P 为x 轴上的一个动点，试探究在抛物线m 上是否存在点Q ，使以点O 、P 、C 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，且OC 为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。