2022-2023学年贵州省威宁县数学九年级第一学期期末预测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，正方形ABCD 中，AD ＝6，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折得到△FDE ，延长EF 交BC 于G ，FH ⊥BC ，垂足为H ，延长DF 交BC 与点M,连接BF 、DG ．以下结论：①∠BFD+∠ADE=180°；②△BFM 为等腰三角形；③△FHB ∽△EAD ；④BE=2FM ⑤S △BFG ＝2.6 ⑥sin ∠EGB ＝
3
5
；其中正确的个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．在平面直角坐标系中，将抛物线22y x ＝向上平移1个单位后所得抛物线的解析式为（ ） A ．2
21y x =-
B ．221y x =+
C ．()2
21y x =-
D ．()2
1y x x =+
3．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A ．60°
B ．75°
C ．87°
D ．120°
4．如图①，在矩形ABCD 中，AB AD <，对角线,AC BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿AB BC CD →→向点D 运动．设点P 的运动路程为x ，AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AD 边的长为( )．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P 是△ABC 边上一动点，沿B→A→C 的路径移动，过点P 作PD⊥BC 于点D ，设BD=x ，△BDP 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3，则⊙O 的半径为（ ）
A ．10
B ．8
C ．7
D ．5
7．二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2
4y bx b ac =+-与反比例函数a b c
y x
++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A．B． C．
D．
8．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与y轴的一个交点坐标为(0，3)，其部分图象如图所示，下列5个结论中，其中正确的是（）
①abc＞0；②4a+c＞0；③方程ax²+bx+c=3两个根是1x=0，2x=2；④方程ax²+bx+c=0有一个实数根大于2；⑤当x ＜0，y随x增大而增大
A．4 B．3 C．2 D．1
9．一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的正方体个数最小值为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．P(3，-2)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(3，2) B．(-3，2) C．(-3，-2) D．(3，-2)
二、填空题(每小题3分,共24分) 11．如果3a ＝4b （a 、b 都不等于零），那么
＝_____．
12．如图，两弦AB 、CD 相交于点E ，且AB ⊥CD ，若∠B ＝60°，则∠A 等于_____度．
13．圆锥的底面半径是1，侧面积是3π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为________．
14．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40 m ，点C 是AB 的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径为__________m ．
15．数据3000，2998，3002，2999，3001的方差为__________． 16．方程(x-3)2=4的解是
17．如果22sin 7sin 30A A -+=，那么sin A 的值为______． 18．点()2,5A -关于原点对称的点为_____． 三、解答题(共66分)
19．（10分）4月23日，为迎接“世界读书日”，某书城开展购书有奖活动.顾客每购书满100元获得一次摸奖机会，规则为：一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4，它们除所标数字外完全相同，摇匀后同时从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之和与奖励的购书券金额的对应关系如下： 两球所标数字之和 3 4 5 6 7 奖励的购书券金额（元）
30
60
90
（1）通过列表或画树状图的方法计算摸奖一次获得90元购书券的概率；
（2）书城规定：如果顾客不愿意参加摸奖，那么可以直接获得30元的购书券.在“参加摸奖”和“直接获得购书券”两种方式中，你认为哪种方式对顾客更合算？请通过求平均教的方法说明理由.
20．（6分）解不等式组532,31204
x x x +≥⎧⎪
⎨--<⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（6分）如图， ,BD AC 相交于点P ，连结,,,,AB BC CD DA DAP CBP ∠=∠． (1)求证: ADP BCP ∽；
(2)直接回答ADP △与BCP 是不是位似图形? (3)若8,4,3AB CD DP ===，求AP 的长．
22．（8分）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =120°，以CA 为边在∠ACB 的另一侧作∠ACM =∠ACB ，点D 为射线BC 上任意一点，在射线CM 上截取CE=BD ，连接AD 、DE 、AE ． （1）如图1，当点D 落在线段BC 的延长线上时，求∠ADE 的度数；
（2）如图2，当点D 落在线段BC （不含边界）上时，AC 与DE 交于点F ，试问∠ADE 的度数是否发生变化？如果不变化，请给出理由；如果变化了，请求出∠ADE 的度数； （3）在（2）的条件下，若AB =6，求CF 的最大值．
23．（8分）如图，斜坡AF 的坡度为5：12，斜坡AF 上一棵与水平面垂直的大树BD 在阳光照射下，在斜坡上的影长BC=6.5米，此时光线与水平线恰好成30°角，求大树BD 的高．（结果精确的0.1米，参考数据2≈1.414，3≈1.732）
24．（8分）为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC 与CD 的长分别为45cm ，60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为10cm ，点A ，C ，E 在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图1．
（1）求车架档AD 的长；
（1）求车座点E 到车架档AB 的距离．
(结果精确到1 cm ．参考数据： sin75°="0.966," cos75°=0.159，
tan75°=3.731)
25．（10分）已知ABD △是一张直角三角形纸片，其中90A ∠=︒，30ADB ∠=︒，小亮将它绕点A 逆时针旋转后β得到AMF ，AM 交直线BD 于点K .
（1）如图1，当90β=︒时，BD 所在直线与线段FM 有怎样的位置关系？请说明理由. （2）如图2，当0180β<<︒，求ADK △为等腰三角形时的度数. 26．（10分）如图，直线l 的解析式为y ＝
34
x ，反比例函数y ＝x k
（x ＞0）的图象与l 交于点N ，且点N 的横坐标为1．
（1）求k 的值；
（2）点A 、点B 分别是直线l 、x 轴上的两点，且OA ＝OB ＝10，线段AB 与反比例函数图象交于点M ，连接OM ，求△BOM 的面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分) 1、C
【分析】根据正方形的性质、折叠的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理对各个选项依次进行判断、计算，即可得出答案． 【详解】解：
正方形ABCD 中，6AB =，E 为AB 的中点，
6AD DC BC AB ∴====，3AE BE ==，90A C ABC ∠=∠=∠=︒，
ADE 沿DE 翻折得到FDE ，
AED FED ∴∠=∠，6AD FD ==，3AE EF ==，90A DFE ∠=∠=︒，EDF ADE ∠=∠
3BE EF ∴==，90DFG C ∠=∠=︒，
EBF EFB ∴∠=∠，
又
AED FED EBF EFB ∠+∠=∠+∠，
AED FED EBF EFB ∴∠=∠=∠=∠，
//BF ED ∴，
∴EDF BFM ∠=∠，BFH EDF ∠=∠
又∵EDF ADE ∠=∠,180BFD BFM ∠+∠=︒, ∴∠BFD+∠ADE =180°，故①正确； ∵90ABC ∠=︒,90DFE ∠=︒,
∴90EBF FBH DEF EDF ∠+∠=︒=∠+∠ 又∵EBF DEF ∠=∠,BFH EDF ∠=∠， ∴FBH BFH ∠=∠， ∴MB=MF ，
∴△BFM 为等腰三角形；故②正确；
FH BC ⊥，90ABC ∠=︒，
∴//AB FH ，EBF BFH ∠=∠ ∴90FHB ABC ∠=∠=︒， 又∵90A ∠=︒， ∴FHB A ∠=∠，
∵EBF BFH ∠=∠，EBF AED ∠=∠， ∴BFH AED ∠=∠，
FHB ∴∽EAD ，故③正确； AD FD =，AD DC =,
DF DC ∴=，
∵在Rt DFG 和Rt DCG 中，DF DC
DG DG =⎧⎨=⎩
，
Rt DFG ∴≌()Rt DCG HL ，
FG CG ∴=，
设FG CG x ==，则6BG x =-，3EG EF FG BE FG x =+=+=+， 在Rt BEG 中，由勾股定理得：2
2
2
3(6)(3)x x +-=+， 解得：2x =，
∴EG=5,4BG =，2FG =, ∴sin ∠EGB ＝
3
5
,故⑥正确； ∵90DFE ∠=︒，90ABC ∠=︒,DFE MFG ∠=∠, ∴MFG ABC ∠=∠, 又∵BHF BHF ∠=∠， ∴MFG ∆∽EBG ∆, ∴
2
4
FM GF BE BG == ∴BE=2FM ，故④正确；
FHB ∽EAD ，且
1
2
AE AD =， 2BH FH ∴=设FH a =，则42HG a =-，
在Rt FHG 中，由勾股定理得：2
2
2
(42)2a a +-=，
解得：2(a =舍去)或65
a =
， 16
4 2.425
BFG
S
∴=⨯⨯=，故⑤错误； 故正确的个数有5个， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数等知识，本题综合性较强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 2、B
【分析】根据抛物线的平移规律：括号里左加右减，括号外上加下减，即可得出结论． 【详解】解：将抛物线22y x ＝向上平移1个单位后所得抛物线的解析式为2
21y x =+ 故选B ． 【点睛】
此题考查的是求抛物线平移后的解析式，掌握抛物线的平移规律：括号里左加右减，括号外上加下减，是解决此题的关键． 3、C
【解析】根据相似多边形性质：对应角相等.
【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫 故选C
【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质. 4、B
【分析】当P 点在AB 上运动时，AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，结合图象可得AOP 面积最大为1，得到AB 与BC 的积为12；当P 点在BC 上运动时，AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，得到AB 与BC 的和为7，构造关于AB 的一元二方程可求解． 【详解】解：当P 点在AB 上运动时，AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，AOP 面积最大为1． ∴
11
322
AB BC ⋅=，即12AB BC ⋅=． 当P 点在BC 上运动时，AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7， ∴7AB BC +=．
则7BC AB =-，代入·12AB BC =，得27120AB AB -+=，解得4AB =或1， 因为AB AD <，即AB BC <， 所以3,4AB BC ==． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值． 5、B
【分析】过A 点作AH ⊥BC 于H ，利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=1
2
BC=2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x ，根据三角形面积公式得到y=12
x 2
；当2＜x≤4时，如图2，易得PD=CD=4-x ，根据三角形面积公式得到y=-
12
x 2
+2x ，于是可判断当0≤x≤2时，y 与x 的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y 与x 的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A 点作AH ⊥BC 于H ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B =∠C =45°，BH =CH =AH =
1
2
BC =2， 当0≤x ≤2时，如图1，∵∠B =45°， ∴PD =BD =x ， ∴y =
1
2•x •x =212
x ；
当2＜x ≤4时，如图2，∵∠C =45°， ∴PD =CD =4﹣x ， ∴y =
1
2•（4﹣x ）•x =2122
x x -+， 故选B ．
6、D
【分析】根据垂径定理可得出AE 的值，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵OE ⊥AB ， ∴AE=BE=4， ∴22255AO AE OE =
+==．
故选：D ． 【点睛】
本题考查的知识点是垂径定理，根据垂径定理得出AE 的值是解此题的关键． 7、D
【分析】根据抛物线的图像，判断出24b b ac a b c -++，，的符号，从而确定一次函数、反比例函数的图像的位置即可．
【详解】解：由抛物线的图像可知：横坐标为1的点，即()1
a b c ++，在第四象限，因此0a b c ++<； ∴双曲线a b c
y x
++=
的图像分布在二、四象限； 由于抛物线开口向上，∴0a >， ∵对称轴为直线b
x 02a
=-
>，∴0b <； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->； ∴直线2
4y bx b ac =+-经过一、二、四象限； 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查二次函数，一次函数以及反比例函数的图象与解析式的系数关系，熟练掌握函数解析式的系数对图像的影响，是解题的关键． 8、B
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x 轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】抛物线开口向下，a ＜0，对称轴为直线x ＝1＞0，a 、b 异号，因此b ＞0，与y 轴交点为（0，3），因此c ＝3＞0，于是abc ＜0，故结论①是不正确的；
由对称轴为直线x ＝−
2b
a
＝1得2a ＋b ＝0，当x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＜0，所以a ＋2a ＋c ＜0，即3a ＋c ＜0，又a ＜0，4a ＋c ＜0，故结论②不正确；
当y ＝3时，x 1＝0，即过（0，3），抛物线的对称轴为直线x ＝1，由对称性可得，抛物线过（2，3），因此方程ax 2＋bx ＋c ＝3的有两个根是x 1＝0，x 2＝2；故③正确；
抛物线与x 轴的一个交点（x 1，0），且−1＜x 1＜0，由对称轴为直线x ＝1，可得另一个交点（x 2，0），2＜x 2＜3，因此④是正确的；
根据图象可得当x ＜0时，y 随x 增大而增大，因此⑤是正确的； 正确的结论有3个， 故选：B ． 【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握a 、b 、c 的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提． 9、A
【分析】根据题意分别找到2层组合几何体的最少个数，相加即可．
【详解】解：底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少有5个小正方体组成， 故选：A ． 【点睛】
本题考查三视图相关，解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，左视图拆违章”找到所需最少正方体的个数进行分析即可． 10、B
【解析】根据平面坐标系中点P(x,y)关于原点对称点是(-x,-y) 即可．
【详解】解：关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，因此P(3，-2)关于原点对称的点的坐标是(-3，2)． 故答案为B ． 【点睛】
本题考查关于原点对称点的坐标的关系，解题的关键是理解并识记关于原点对称点的特点．
二、填空题(每小题3分,共24分) 11、
【解析】直接利用已知把a ，b 用同一未知数表示，进而计算得出答案．
【详解】∵3a＝4b（a、b都不等于零），
∴设a＝4x，则b＝3x，
那么．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．
12、30
【解析】首先根据圆周角定理，得∠A=∠BDC，再根据三角形的内角和定理即可求得∠BDC的度数,从而得出结论．【详解】∵AB⊥CD，
∴∠DEB=90°,
∵∠B＝60°
∴∠BDC＝90°-∠B=90°-60°=30°,
∴∠A=∠BDC=30°,
故答案为30°.
【点睛】
综合运用了圆周角定理以及三角形的内角和定理．
13、120°
【解析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．
【详解】∵侧面积为3π，
∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×1×l=3π，
解得：l=3，
∴扇形面积为3π=
2
3 360
n
，
解得：n=120，
∴侧面展开图的圆心角是120度．
故答案为：120°．
【点睛】
此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．14、25m
【分析】根据垂径定理可得△BOD 为直角三角形，且BD=1
2
AB ，之后利用勾股定理进一步求解即可. 【详解】∵点C 是AB 的中点， ∴OC 平分AB ， ∴∠BOD=90°，BD=
1
2
AB=20m ， 设OB=x ，则：OD=(x-10)m ， ∴()2
221020x x =-+， 解得：25x =， ∴OB=25m ， 故答案为：25m. 【点睛】
本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 15、2
【分析】先根据平均数的计算公式求出平均数，再根据方差公式计算即可． 【详解】数据3000，2998，3002，2999，3001的平均数是：02211
300030005
x -+-+=+= ，
方差是：
()()()()()22222
130003000299830003002300029993000300130005⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦ ()1
044115
=++++ 2=，
故答案为：2 【点睛】
本题考查了方差的定义，熟记方差的计算顺序：先差、再方、再平均. 16、1或1
【解析】方程的左边是一个完全平方的形式，右边是4，两边直接开平方有x-3=±2，然后求出方程的两个根． 解：（x-3）2=4 x-3=±2 x=3±2， ∴x 1=1，x 2=1． 故答案是：x 1=1，x 2=1．
本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，方程的左边的一个完全平方的形式，右边是一个非负数，两边直接开
平方，得到两个一元一次方程，求出方程的根． 17、
12
【分析】利用因式分解法求出sin A 的值，再根据0sin 1A ≤≤可得最终结果． 【详解】解：原方程可化为：()()sin 32sin 10A A --=， 解得：sin 3A =或1sin 2
A =， ∵0sin 1A ≤≤，
∴1sin 2A =． 故答案为：1
2
．
【点睛】
本题考查的知识点是解一元二次方程以及锐角三角函数的定义，熟记正弦的取值范围是解此题的关键． 18、()2,5-
【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点的对称点的坐标变化规律，即可得到答案. 【详解】∵平面直角坐标系中，关于原点的对称点的横纵坐标分别互为相反数， ∴点()2,5A -关于原点对称点的坐标为()2,5-． 故答案是：()2,5-. 【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点的对称点的坐标变化规律，掌握关于原点的对称点的横纵坐标分别互为相反数，是解题的关键.
三、解答题(共66分) 19、（1）
1
6
；（2）在“参加摸球”和“直接获得购书券”两种方式中，我认为选择“参加摸球”对顾客更合算，理由见解析. 【分析】（1）根据题意，列出表格，然后利用概率公式求概率即可；
（2）先根据（1）中表格计算出两球数字之和的各种情况对应的概率，然后计算出摸球一次平均获得购书券金额，最后比较大小即可判断. 【详解】解：（1）列表如下：
1
()1,2
()1,3 ()1,4
2
()2,1
()2,3
()2,4
3
()3,1 ()3,2
()3,4
4
()4,1
()4,2
()4,3
由上表可知，共有12种等可能的结果.其中“两球数字之和等于7”有2种， ∴P （获得90元购书券）21126
=
=. （2）由（1）中表格可知，两球数字之和的各种情况对应的概率如下： 数字之和 3 4 5 6 7 获奖金额（元） 0
30
60
90
相应的概率
212 212 412 212 212
∴摸球一次平均获得购书券金额为
22422
00306090351212121212
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=元 ∵3530>，
∴在“参加摸球”和“直接获得购书券”两种方式中，我认为选择“参加摸球”对顾客更合算. 【点睛】
此题考查的是求概率问题，掌握用列表法和概率公式求概率是解决此题的关键. 20、13x -≤<，在数轴上表示见解析.
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解5+3231504
x x x ≥⎧⎪
⎨--⎪⎩①
＜②
解不等式①得1x ≥-； 解不等式②得3x <； 把解集在数轴上表示为
所以不等式组的解集为13x -≤<.
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21、（1）详见解析；（2）不是；（3）6AP =
【分析】（1）根据已知条件可知DAP CBP ∠=∠，根据对顶角相等可知DPA CPB ∠=∠，由此可证明ADP BCP ∽； （2）根据位似图形的定义（如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．） （3）由△ADP ∽△BCP ，可得
AP BP
DP CP =，而∠APB 与∠DPC 为对顶角，则可证△APB ∽△DPC ，从而得AP AB DP DC
=，再根据8,4,3AB CD DP ===即可求得AP 的长． 【详解】(1)证明:∵,DAP CBP DPA CPB ∠=∠∠=∠， ∴ADP BCP ∽；
(2)点A 、D 、P 的对应点依次为点B 、C 、P ，对应点的连线不相交于一点，故ADP △与BCP 不是位似图形； (3)解:∵ADP BCP ∽ ∴
=AP BP
DP CP
∵APB DPC ∠=∠， ∴APB DPC ∽，
AP AB
DP DC
∴
= ∴8=
4
3
AP ∴6AP =． 【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，位似图形的定义．熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键． 22、（1）∠ADE=30°；（2）∠ADE=30°，理由见解析；（3）
9
2
【分析】（1）利用SAS 定理证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形的性质得到AD =AE ，∠CAE =∠BAD ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明； （2）同（1）的证明方法相同；
（3）证明△ADF ∽△ACD ，根据相似三角形的性质得到26
AD AF =，求出AD 的最小值，得到AF 的最小值，求出
CF 的最大值．
【详解】解：（1）∠ADE=30°．
理由如下：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，
∵∠ACM=∠ACB，
∴∠ACM=∠ABC，
在△ABD和△ACE中，
∵
AB AC
ABC ACE BD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，∠CAE=∠BAD，
∴∠DAE=∠BAC=120°，
∴∠ADE=30°；
（2）（1）中的结论成立，
证明：∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°．
∵∠ACM=∠ACB，
∴∠B=∠ACM=30°．
在△ABD和△ACE中，
∵
AB AC
ABC ACE BD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=120°．即∠DAE=120°，∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=30°；
（3）∵AB=AC，AB=6，
∴AC=6，
∵∠ADE=∠ACB=30°且∠DAF=∠CAD，
∴△ADF∽△ACD，
∴AD AF AC AD
=，
∴AD2=AF•AC，∴AD2=6AF，
∴AF=
2
6
AD
，
∴当AD最短时，AF最短、CF最长，
易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时AD=1
2
AB=3，
∴AF最短=
2
6
AD
=
9
6
=
3
2
，
∴CF最长=AC－AF最短=6－3
2
=
9
2
．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形、相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
23、大树的高约为6.0米．
【分析】作CM⊥DB于点M，已知BC的坡度即可得到BM和CM的比值，在Rt△MBC中，利用勾股定理即可求得BM和MC的长度，再在Rt△DCM中利用三角函数求得DM的长，由BD=BM+DM即可求得大树BD的高．
【详解】作CM⊥DB于点M，
∵斜坡AF的坡度是1：：2.4，∠A=∠BCM，
∴==，
∴在直角△MBC中，设BM=5x，则CM=12x．
由勾股定理可得：BM2+CM2=BC2，
∴（5x）2+（12x）2=6.52，
解得：x=，
∴BM=5x=，CM=12x=6，
在直角△MDC中，∠DCM=∠EDG=30°，
∴DM=CM•tan∠DCM=6tan30°=6×=2，
∴BD=DM+BM=+2≈2.5+2×1.732≈6.0（米）．
答：大树的高约为6.0米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形模型是解决问题的关键．
24、（1）75cm（1）2cm
【解析】解：（1）在Rt△ACD中，AC=45，CD=60，∴AD=22
+=，
456075
∴车架档AD的长为75cm．
（1）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
距离EF=AEsin75°=（45+10）sin75°≈61.7835≈2．
∴车座点E到车架档AB的距离是2cm．
（1）在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可．
（1）过点E作EF⊥AB，在Rt△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案．
25、（1）BD与FM互相垂直，理由见解析；（2）β的度数为30°或75°或120°．
【分析】（1）由题意设直线BD与FM相交于点N，即可根据旋转的性质判断直线BD与线段MF垂直；
（2）根据旋转的性质得∠MAD=β，分类讨论：当KA=KD时，根据等腰三角形的性质得∠KAD=∠D=30°，即β=30°；当DK=DA时，根据等腰三角形的性质得∠DKA=∠DAK，然后根据三角形内角和可计算出∠DAK=75°，即β=75°；当AK=AD时，根据等腰三角形的性质得∠AKD=∠D=30°，然后根据三角形内角和可计算出∠KAD=120°，即
β=120°．
【详解】解：（1）BD与FM互相垂直，理由如下
设此时直线BD与FM相交于点N
∵∠DAB=90°，∠D=30°
∴∠ABD=90°-∠D=60°，
∴∠NBM=∠ABD=60°
由旋转的性质得△ADB≌△AMF,∴∠D=∠M=30°
∴∠MNB=180°-∠M-∠NBM=180°-30°- 60°= 90°
∴BD与FM互相垂直
（2）
当KA=KD时，则∠KAD=∠D=30°，即β=30°；
当DK=DA时，则∠DKA=∠DAK，
∵∠D=30°，∴∠DAK=（180°﹣30°）÷2=75°，即β=75°；
当AK=AD时，则∠AKD=∠D=30°，
∴∠KAD=180°﹣30°﹣30°=120°，即β=120°，
综上所述，β的度数为30°或75°或120°．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．应用分类讨论思想和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
26、（1）27；（2）2
【分析】（1）把x＝1代入y＝3
4
x，求得N的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
（2）根据勾股定理求得A的坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式，再和反比例函数的解析式联立，求得M的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△BOM的面积．
【详解】解：（1）∵直线l经过N点，点N的横坐标为1，
∴y＝3
4
×1＝
9
2
，
∴N （1，92
）， ∵点N 在反比例函数y ＝
x k （x ＞0）的图象上， ∴k ＝1×92＝27；
（2）∵点A 在直线l 上，
∴设A （m ，
34m ）， ∵OA ＝10，
∴m 2+（34
m ）2＝102，解得m ＝8， ∴A （8，1），
∵OA ＝OB ＝10，
∴B （10，0），
设直线AB 的解析式为y ＝ax +b ，
∴8m n 610m n 0+=⎧⎨+=⎩，解得330m n =-⎧⎨=⎩
， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣3x +30， 解33027y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
得127x y =⎧⎨=⎩或93x y =⎧⎨=⎩， ∴M （9，3），
∴△BOM 的面积＝
11032⨯⨯＝2． 【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数的解析式，求得A 、M 点的坐标是解题的关键.。