浙江省9+1高中联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题答案

2022学年第二学期9+1高中联盟期中考试
高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号12345678答案
C
D
A
B
A
C
D
B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号
9101112答案
ABC AD BC
ABD 三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.2
-14.
21
n -15.13
16.
(]
0,2e 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：
（1）令1n =，可求11a =，由22n n n S a a =+得2
1112n n n S a a ---=+，
可知()()1110n n n n a a a a --+--=，从而11n n a a --=，则{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以n a n
=……………5分
（2）由错位相减法可知212222n n n S =
++⋅⋅⋅+，2311122222
n n n S +=++⋅⋅⋅+，可知2
22
n n
n S +=-
，从而2n S <…………10分
18.解：
（1）函数的定义域为()0,∞+，又()
2(1)
()f x x
-'=
，
当0a >时，()f x 的减区间为20,4a ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，增区间为24,+a ⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，()f x 的减区间为20,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为21,+a ⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
.
……………………6分（2）由()y f x =的图象与x 轴没有公共点，由（1）中函数的单调性可得，
当0a >时，()22min 4412ln 0f x f a a ⎛⎫==->
⎪⎝⎭
，即142a e ->.当0a <时，()()
2
2
min 1
22ln 0f x f a a
⎛⎫==+> ⎪
⎝⎭
，即1a e <-，综上：142a e ->或1a e
<-.
……………………12分
19.解：
（1）设i A i A =“第天去餐厅用餐”，i B i B =“第天去餐厅用餐”,其中1,2i =，
则11A B Ω= ,由题知()()110.5P A P B ==,()21|0.6P A A =，()21|0.8P A B =，
由全概率公式可知
()()()()()2211211||0.7
P A P A A P A P A B P B =+=……………………5分
（2）由超几何分布知()()()()()
12
5351511543n
n n n C C P X n n n C +-===
+++，令()
()()()
151543n n n a n n n -=
+++，若1n n a a +≥，可得()()()()1361n n n n ++≥+-，
即9n ≤，所以当9n =或10时()1P X =最大为
4591
.……………………12分
20.解：
（1）易知
()()12
f x f x +-=，故
21
n a n =-……………………5分
（2）易知2
n S n =，()()2111112121482121n n n S n a a n n n n +⎛⎫
==+- ⎪-+-+⎝⎭
，
可知()1111482142n n n n T n n +⎛⎫=
+-= ⎪
++⎝⎭，故()142n n n λ+≥+，令()()
142n g n n n +=+，则()()12416
1
g n n n =++-+，易知()()max 113g n g ==，故1
3
λ≥.…………………12分
21.解：
（1）由题知，随机变量X 服从二项分布，X ～
由P (X ＝5)＝P (X ＝95)，得n ＝100，E (X )＝50.……………………4分
（2）①设事件A 为“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10”，
P (A )＝[C 110p (1－p )9]3·[C 210p 2(1－p )8]3·[C 310p 3(1－p )7]2·[C 410p 4(1－p )6][C 610p 6(1－p )4
]，P (A )＝(C 110)3(C 210)3(C 310)2(C 410)2p 25(1－p )75.
②记g (p )＝ln[(C 110)3(C 210)3(C 310)2(C 410)2]＋25ln p ＋75ln(1－p )，
则g ′(p )＝25p －751－p ＝25－100p p （1－p ）
，
当0<p <14时，g ′(p )>0，g (p )单调递增；当1
4p <1时，g ′(p )<0，g (p )单调递减.
当p ＝1
4
时，g (p )取得最大值，即P (A )取得最大值.
在团队A 提出的函数模型p ＝ln(1＋θ)－23θ2中，记函数f 1(x )＝ln(1＋x )－2
3
x 2，
所以f ′1(x )＝()()()
2321141331x x x
x x +--=-
++，当0<x <12时，f ′1(x )>0，f 1(x )单调递增；当1
2
<x <1时，f ′1(x )<0，f 1(x )单调递减.
所以当x ＝1
2时，f 1(x )取得最大值311ln 264
-<，则θ不可以估计.
在团队B 提出的函数模型p ＝12(1－e －θ)中，记函数f 2(x )＝12
(1－e －
x )，f 2(x )单调递增，
令f 2(x )＝1
4
，解得x ＝ln 2，则θ＝ln 2是θ的最大似然估计.
……………………12分
22.解：
（1）易知()()
2x f x x e ax a '=--，则20x
e ax a --=一个根为0x =，
即1
2a =
，经检验，0x =不是极值点;……………………4分（2）当12a <，令()2x e g x x =+，则()g x a =有两个非零交点，可知11,2a e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
且12210x x -<<-<<，30x =，同时满足()112x e a x =+，()222x
e a x =+，
即21
2122x x x e
x -+=
+，令()212
12x t t x +=>+，即()()21112ln x x t x t -=-+=，从而1ln 21t x t =--，()1211
122ln 41
t x x t x t t t ++=++-=--，
由123533ln 24,1e x x x e -⎡⎤++∈-⎢-⎣⎦可知，11ln 3ln 2,11t e t t e ++⎡
⎤∈⎢⎥--⎣⎦
，令()1ln 1t h t t t +=-，可知()()
21
2ln 1t t
t h t t --=-，易知12ln 0t t t -->，即()h t 在()1,+∞上单调递增，且()23ln 2h =，()1
1
e h e e +=-，故[]2,t e ∈.
…………………………12分。