2019高考数学文一轮分层演练：第12章选考部分 6 章末总结 含解析

章末总结
(此不等式通常称为平面三角不等式)
❷会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
❸会用向量递归方法讨论排序不等式．
考点考题考源
坐标
系与
参数
方程
(2016·高考全国卷Ⅲ，T23，10分)在直角坐标系xOy中，曲线
C1的参数方程为
⎩
⎨
⎧x＝3cos α
y＝sin α
(α为参数)．以坐标原点为极点，
以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方
程为ρsin⎝⎛⎭⎫
θ＋
π
4＝22．
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时点
P的直角坐标．
选修4-4 P15习题
1．3 T5、P26习题2．1
T4(4)、P28例1
(2017·高考全国卷Ⅰ，T22，10分)在直角坐标系xOy中，曲线
C的参数方程为
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＝3cos θ，
y＝sin θ，
(θ为参数)，直线l的参数方程为
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＝a＋4t，
y＝1－t，
(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a．
选修4-4P26习题
2．1T4(1)
绝对
值不
等式
(2016·高考全国卷Ⅱ，T24，10分)已知函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪
x－
1
2＋
⎪
⎪
⎪
⎪
x＋
1
2，M为不等式f(x)＜2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|．
选修4-5 P20习题
1．2 T8(3)、P26习题
2．2 T9
(2017·高考全国卷Ⅲ，T23，10分)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－
2|．
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
选修4-5 P20习题
1．2 T9
1．(选修4-4 P8习题1．1 T5、P15习题1．3 T5改编)圆C：x2＋y2＝1经过伸缩变换
⎩
⎨
⎧x′＝2x
y′＝2y
得到曲线C 1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝12
． (1)写出C 1的参数方程和l 的直角坐标方程；
(2)设点M (1，0)，直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，求|MA |·|MB |与|AB |． 解：(1)由已知得⎝⎛⎭⎫x ′22
＋⎝⎛⎭
⎫y ′22
＝1，即x ′24＋y ′22＝1，
即C 1：x 24＋y 2
2
＝1．
即C 1的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝2cos α
y ＝2sin α(α为参数)．
由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1
2得 12ρcos θ －32ρsin θ＝12
． 则l 的直角坐标方程为x －3y －1＝0．
(2)点M (1，0)在直线l ：x －3y －1＝0上，直线l 的倾斜角为π6
．
所以l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32t
y ＝12t
(t 为参数)．
代入C 1：x 24＋y 2
2＝1得
5t 2＋43t －12＝0，
所以t 1t 2＝－125，t 1＋t 2＝－43
5，
所以|MA |·|MB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1t 2|＝
12
5
． |AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝
⎝⎛⎭
⎫－4352
－4×⎝⎛⎭⎫－125＝1225，
所以|MA |·|MB |＝125
， |AB |＝122
5
．
2．(选修4-4 P 36例1改编)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α
y ＝t sin α
(t 为参数，α为l 的倾
斜角)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ
sin 2θ
．
(1)写出l 的普通方程与C 的直角坐标方程；
(2)设点M 的极坐标为(1，0)，直线l 与C 相交于A ，B 两点，求1|MA |＋1
|MB |的值．
解：(1)l 的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，C 的直角坐标方程为y 2＝4x ． (2)点M 的极坐标为(1，0)，即M 的直角坐标为(cos 0，sin 0)＝(1，0)，显然M 在l 上．
将⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，代入y 2＝4x 得 (sin 2α)t 2－(4cos α)t －4＝0．
Δ＝16>0．
所以t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，t 1t 2＝－4
sin 2α，
所以1|MA |＋1
|MB |＝|t 1|＋|t 2||t 1|·|t 2|
＝（t 1＋t 2）2＋2|t 1t 2|－2t 1t 2|t 1t 2|
＝⎝⎛⎭⎫4cos αsin 2
α2
＋16sin 2α
4sin 2α
＝1．
所以1|MA |＋1|MB |
＝1．
3．(选修4-4 P 15习题1．3 T 4(4)、P 37例3改编)曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ－4sin θ，
过点M (1，0)的直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，α为直线l 的倾斜角)，直线l 与
曲线C 相交于A ，B 两点．
(1)求证：|MA |·|MB |为定值；
(2)D 是曲线C 上一点，当α＝45°时，求△DAB 面积的最大值． 解：(1)证明：C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0．①
将直线l ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α
y ＝t sin α(t 为参数)代入①得
t 2＋(4sin α)t －1＝0．②
所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝|－1|＝1． 即|MA |·|MB |为定值1． (2)当α＝45°时，②式即为 t 2＋22t －1＝0，
t 1＋t 2＝－22，t 1t 2＝－1，
所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2
＝ （－22）2－4×（－1）＝23．
由①得(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，
所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋5cos r
y ＝－2＋5sin r
(r 为参数)．
可设点D 的坐标为(1＋5cos r ，－2＋5sin r )，直线l 的普通方程为x －y －1＝0，点D 到l 的距离
d ＝|1＋5cos r ＋2－5sin r －1|2
＝
|10cos （r ＋45°）＋2|
2
．
所以d max ＝5＋2． 所以△DAB 面积的最大值为 S max ＝12|AB |·d max ＝12×23(5＋2)
＝15＋6．
4．(选修4-4 P 28例1改编)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 与椭圆C 的极坐标方程分别为ρcos θ＋2ρsin θ＋32＝0，ρ2＝
4
cos 2θ＋4sin 2θ
．
(1)求直线l 与椭圆C 的直角坐标方程；
(2)若P 是直线l 上的动点，Q 是椭圆C 上的动点，求|PQ |的最小值，并求此时Q 点的坐标．
解：(1)ρcos θ＋2ρsin θ＋32＝0⇒x ＋2y ＋32＝0， 即直线l 的直角坐标方程为x ＋2y ＋32＝0． ρ2＝
4
cos 2θ＋4sin 2θ⇒ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4⇒x 2＋4y 2＝4，
即椭圆C 的直角坐标方程为x 24
＋y 2
＝1．
(2)因为椭圆C ：x 24＋y 2
＝1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝sin α
(α为参数)，
所以可设Q (2cos α，sin α)． 因此点Q 到直线l 的距离
d ＝|2cos α＋2sin α＋32|
12＋22
＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋3
25，
所以当α＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，d 取得最小值10
5，
所以|PQ |的最小值为
10
5
． 此时点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋5π4，sin ⎝
⎛⎭⎫2k π＋5π4，k ∈Z ， 即Q 的坐标为⎝
⎛⎭
⎫
－2，－
22． 5．(选修4-5 P 16例3、P 35例3改编)已知函数f (x )＝|3x －1|．
(1)设f (x )≤2的解集为M ，记集合M 中的最大元素为a max ，最小元素为a min ，求a max －a min ；
(2)若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝a max ，求1a ＋1
b 的最小值．
解：(1)f (x )≤2，即为 |3x －1|≤2，
所以－2≤3x －1≤2，即－1
3≤x ≤1．
所以M ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪－13
≤x ≤1． 即a max ＝1，a min ＝－1
3，a max －a min ＝1－⎝⎛⎭⎫－13＝43． (2)由(1)知，a ＋b ＝1，且a ，b ∈R ＋， 所以(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a
b ≥2＋2 b a ·a
b
＝4． 当且仅当a ＝b ＝1
2时取等号，
即1a ＋1b ≥4，所以1a ＋1
b
的最小值为4． 6．(选修4-5 P 20习题1．2 T 9、P 37习题3．1 T 8改编)(1)若关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|≤a 的解集不是空集，求a 的取值范围；
(2)若g (x )＝x ，且p >0，q >0，p ＋q ＝1，求证：pg (x 1)＋qg (x 2)≤g (px 1＋qx 2)(x 1，x 2∈[0，＋∞))．
解：(1)法一：|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1． 即|x －3|＋|x －4|的最小值为1．
所以|x －3|＋|x －4|≤a 的解集不是空集时，a ≥1． 法二：设f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪
⎧－2x ＋7，x ＜3，1，3≤x ≤4，2x －7，x >4.
函数f (x )的图象为
所以f (x )min ＝1．则f (x )≤a 的解集不是空集时，a ≥1． (2)证明：由p >0，q >0，p ＋q ＝1，要证
不等式pg (x 1)＋qg (x 2)≤g (px 1＋qx 2)成立，即为证明p x 1＋q x 2≤ px 1＋qx 2成立．(*)
法一：(分解法)要证(*)式成立，即证 (p x 1＋q x 2)2≤(px 1＋qx 2)2成立． 即证：p 2x 1＋2pq x 1x 2＋q 2x 2≤px 1＋qx 2， 即证px 1(1－p )＋qx 2(1－q )－2pq x 1x 2≥0． 因为p ＋q ＝1．
只需证pqx 1＋pqx 2－2pq x 1x 2≥0成立． 即证(x 1－x 2)2≥0．
因为(x 1－x 2)2≥0显然成立．所以原不等式成立．
法二：(柯西不等式法)因为(p x 1＋q x 2)2＝(p ·px 1＋q ·qx 2)2 ≤[(p )2＋(q )2][(px 1)2＋(qx 2)2] ＝(p ＋q )(px 1＋qx 2)． 又因为p ＋q ＝1．
所以(p x 1＋q x 2)2≤(px 1＋qx 2)． 所以p x 1＋q x 2≤
px 1＋qx 2．
即pg (x 1)＋qg (x 2)≤g (px 1＋qx 2)．
7．(选修4-5 P 17例5、P 26习题2．2 T 9改编)已知函数f (x )＝|x ＋1|． (1)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (a )－f (－b )．
解：(1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1；
②当－1<x <－1
2时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x <－1，此时原不等式无解；
③当x ≥－1
2时，原不等式可化为x ＋1<2x ，
解得x >1．
综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．
(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，
所以，要证f (ab )>f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|>|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2>|a ＋b |2，
即证a 2b 2＋2ab ＋1>a 2＋2ab ＋b 2，
即证a 2b 2－a 2－b 2＋1>0，即证(a 2－1)(b 2－1)>0． 因为a ，b ∈M ，所以a 2>1，b 2>1， 所以(a 2－1)(b 2－1)>0成立， 所以原不等式成立．
8．(选修4-5 P 41习题3．2 T 2、T 4改编)设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝3． (1)求
1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a
的最小值； (2)求证：a 2＋b 2＋c 2≥3，且ab ＋bc ＋ca ≤3． 解：(1)因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝3． 所以(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝6． 由柯西不等式得
[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1
c ＋a
≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ·1a ＋b ＋b ＋c ·1b ＋c ＋c ＋a ·1c ＋a 2
＝9，
即6⎝⎛⎭
⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1
c ＋a ≥9．
所以1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥32，
即
1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a
的最小值为32．
(2)证明：因为a ＋b ＋c ＝3， 所以(a ＋b ＋c )2＝9，
①9＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， 9≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2， 即3(a 2＋b 2＋c 2)≥9， 所以a 2＋b 2＋c 2≥3．
②9＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 2
2＋2ab ＋2bc ＋2ca
≥ab ＋bc ＋ca ＋2ab ＋2bc ＋2ca ． 即3(ab ＋bc ＋ca )≤9，
所以ab＋bc＋ca≤3．
综上a2＋b2＋c2≥3且ab＋bc＋ca≤3成立．。