概率论与数理统计第6-7章(点估计)复习题
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《概率论与数理统计》第六、七章(点估计)复习题解答
1. 设来自总体X 的一个样本为)4,3,1,4,4,1,3,2,1,2(),,,(1021=x x x , (1) 求X , 2S , 2B ; (2) 求经验分布函数)(*
10X F 并作图; (3) 求总体期望μ=
)(X E , 方差2)(σ=X D 的矩估计值.
2. 设21,X X 是总体)2,1(~N X 的样本,求概率)408.0)((2
21≤-X X P .
3. 设521,,,X X X 是总体),0(~2
σN X 的样本,证明: )1(~325
43
21t X X X X X Y -++=.
4. 设随机变量),(~n m F F , (1) 求)12,10(01.0F ,)12,10(99.0F ; (2) 当10==n m 时, 求常数c , 使概率0
5.0)(=>c F P , 并把c 用上α分位点记号表示出来; (3) 当20,15==n m 时, 求概率)84.1(>F P .
5. 设总体)2,5(~2
N X , (1) 从中随机抽取容量为25的样本,求样本均值X 落在4.2到5.8之间的概率; (2) 样本容量n 取多大时, 可使95.0)8.5(≥≤X P ?
6. 设1021,,,X X X 是总体)4,(~2
μN X 的样本,2
S 是样本方差, 且1.0)(2
=>a S
P , 求常数a .
7.设某厂生产的晶体管的寿命服从指数分布,即0,
)(~>θθEXP X ,未知. 现从中随机抽取5只进行
测试,得到它们的寿命(单位:小时)如下:518 612 713 388 434. 试求该厂晶体管平均寿命的最大似然估计值.
8.设总体X 的一个样本为),,,(21n X X X ,X 的分布密度为⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=else x x
x f ,0 0 ,2)(2θ
θ, 参数0>θ,
未知. (1) 求θ的矩估计量; (2) 求矩估计量的方差; (3) 求θ的最大似然估计量.
9. 设总体X 有期望μ=
)(X E , 方差2)(σ=X D , 但均未知. n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本,
∑
==
n
i i X n
X 1
1, ∑
=-=
n
i i X X n
B 1
2
2)(1
, ∑=--=
n
i i
X X
n S 1
22
)(11
. 试验证: X 是μ的无偏估计, 2B 是2σ的渐
近无偏估计, 而2S 是2
σ的无偏估计.
10.设n X X X ,,,21 是总体
X 的一个子样,μ=)(X E ,2
)(σ=X D 存在且未知,任意正的常数
),,2,1(n i a i =满足
11
=∑
=n
i i a . 试证: (1) 估计量∑=∧
=
n
i i
i X
a 1
μ总是μ的无偏估计;(2) 在上述无偏估计中
∑==n
i i X n X 1
1 最有效,并写出此时的最小方差.
提示及参考答案
1. (1) 3, 4.6, 4.2; (2) 经验分布函数及其图形为
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><≤<≤<≤<=4
,143 ,7.032 ,5.021 ,3.01 ,0)(*
10x x x x x X F 0
0 1 2 3 4 x
(3) 3, 4.2;(若记得教材第179页例3的结论, 也可以利用来直接求μ=
)(X E , 2)(σ=X D 的矩估计值.)
2. 0.25. 考虑一下: 此题如果不用2
χ分布, 而利用标准正态分布函数表, 该怎么求解? 3. 用到简单随机样本的概念、正态分布的性质、2
χ分布和t 分布定义.
4. (1) 4.30, 0.21; (2) 98.2)10,10(0
5.0==F c ; (3) 0.10. 5. (1) 0.908; (2) 取17=n 即可.
6. 1.26=a
7. 533. 8. (1) 矩估计量X 23ˆ=θ;(2) n
D 8)ˆ(2
θθ=; (3) 最大似然估计量为}{max ˆ1i n i X ≤≤=θ.
9. 从基本公式∑
==
n
i i X n
X 1
1
, ∑
=-=
n
i i X X n
B 1
2
2)(1
, ∑=--=
n
i i
X X
n S 1
22
)(11
出发, 求数学期望.
10. (1) 验证μμ
=)ˆ(E ; (2) 求估计量∑
==n
i i i X a 1
ˆμ的方差, 得到∑==n
i i a D 1
22)ˆ(σμ, 再分析知当且仅当
n a a a n 121==== 时,)ˆ(μ
D 取得最小值,故∑==n i i X n X 1
1最有效. 此时, 最小方差为21)ˆ(σμn D =.
1
y 1 0.7 0.5
0.3