2014年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试〔福建卷〕
数学〔理科〕
第Ⅰ卷〔选择题 共50分〕
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 〔1〕【2014年福建，理1，5分】复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于〔 〕
〔A 〕23i -- 〔B 〕23i -+ 〔C 〕23i - 〔D 〕23i +
【答案】C
【解析】由复数()32i i 23i z =-=+，得复数z 的共轭复数23i z =-，故选C ．
【点评】此题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
〔2〕【2014年福建，理2，5分】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是〔 〕 〔A 〕圆柱 〔B 〕圆锥 〔C 〕四面体 〔D 〕三棱柱
【答案】A
【解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形，故选A ．
【点评】此题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．
〔3〕【2014年福建，理3，5分】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，假设132,12a S ==，则6a =〔 〕 〔A 〕8
〔B 〕10 〔C 〕12 〔D 〕14
【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得33232122
S ⨯=⨯+=，解得2d =， 则()616125212a a d =+-=+⨯=，故选C ．
【点评】此题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．
〔4〕【2014年福建，理4，5分】假设函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则以下函数图象正确的选项是〔 〕
〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕
【答案】B
【解析】由函数log a y x =的图像过点()3,1，得3a =．选项A 中的函数为13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则其函数图像不 正确；选项B 中的函数为3y x =，则其函数图像正确；选项C 中的函数为()3
y x =-，则其函 数图像不正确；选项D 中的函数为()3log y x =-，则其函数图像不正确，故选B ．
【点评】此题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．
〔5〕【2014年福建，理5，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于〔 〕 〔A 〕18 〔B 〕20 〔C 〕21 〔D 〕40
【答案】B
【解析】输入0S =，1n =，第一次循环，0213S =++=，2n =；第二次循环，23229S =++=，
3n =；第三次循环，392320S =++=，4n =，满足15S ≥，结束循环，20S =，故选B ．
【点评】此题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 〔6〕【2014年福建，理6，5分】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面
积为12
”的〔 〕
〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离
1d =<，解得0k ≠．
当1k =时，
d =，AB =OAB ∆的面积为1122
=； 当1k =-时，同理可得OAB ∆的面积为12，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12
”的充分不必要条件，故选A ． 【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决此
题的关键．
〔7〕【2014年福建，理7，5分】已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩
，则以下结论正确的选项是〔 〕 〔A 〕()f x 是偶函数 〔B 〕()f x 是增函数 〔C 〕()f x 是周期函数 〔D 〕()f x 的值域为[)1,-+∞
【答案】D
【解析】由函数()f x 的解析式知，()12f =，()()1cos 1cos1f -=-=，()()11f f ≠-，则()f x 不是偶函数；
当0x >时，令()21f x x =+，则()f x 在区间()0,+∞上是增函数，且函数值()1f x >；
当0x ≤时，()cos f x x =，则()f x 在区间(),0-∞上不是单调函数，且函数值()[]1,1f x ∈-；
∴函数()f x 不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[)1,-+∞，故选D ．
【点评】此题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．
〔8〕【2014年福建，理8，5分】在以下向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是〔 〕
〔A 〕12(0,0),(1,2)e e ==〔B 〕12(1,2),(5,2)e e =-=-〔C 〕12(3,5),(6,10)e e ==〔D 〕12(2,3),(2,3)e e =-=-
【答案】B
【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，
可以作为基底，故选B ．
【点评】此题主要考查了向量的坐标运算，根据12a e e λμ=+列出方程解方程是关键，属于基础题．
〔9〕【2014年福建，理9，5分】设,P Q 分别为()2262x y +-=和椭圆2
2110
x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大距离是〔 〕
〔A 〕 〔B 〔C 〕7 〔D 〕【答案】D
【解析】设圆心为点C ，则圆()2262x y +-=的圆心为()0,6C ，半径r 设点()00,Q x y 是椭圆上任意一点，
则2200110x y +=，即22001010x y =-，∴CQ ，
当023
y =-时，CQ 有最大值，则P ，Q 两点间的最大距离为r =D ． 【点评】此题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
〔10〕【2014年福建，理10，5分】用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个
红球和1个篮球中取出假设干个球的所有取法可由()()11a b ++的展开式1a b ab +++表示出来，如：“1”表示一个球都不取．“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来．依此类推，以下各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球．5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出假设干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是〔 〕 〔A 〕()()()523455111a a a a a b c +++++++ 〔B 〕()()()5
52345111a b b b b b c +++++++ 〔C 〕()()()523455111a b b b b b c +++++++ 〔D 〕()()()5
52345111a b c c c c c +++++++
【答案】A
【解析】从5个无区别的红球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共
6种情况，则其所有取法为23451a a a a a +++++；从5个无区别的蓝球中取出假设干个球，由所有的
蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为51b +；从5个有区别的黑球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为
122334455555551C c C c C c C c C c +++++=()5
1c +，根据分步乘法计数原理得，适合要求的取法是()()()5
23455111a a a a a b c +++++++，故选A ． 【点评】此题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．
第Ⅱ卷〔非选择题 共100分〕
二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
〔11〕【2014年福建，理11，4分】假设变量,x y 满足约束条件10
2800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
则3z x y =+的最小值为 ． 【答案】1 【解析】作出不等式组表示的平面区域(如下图)，把3z x y =+变形为3y x z =-+，则当直线3y x z =-+经过点()0,1时，z 最小，将点()0,1代入3z x y =+，得min 1z =，即3z x y =+的最小值为1．
【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
〔12〕【2014年福建，理12，4分】在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==，
则ABC ∆的面积等于 ． 【答案】23
【解析】由sin sin BC AC A B =，得4sin 60sin 123
B ︒==，∴90B =︒，()18030
C A B =︒-+=︒， 则11sin 423sin302322
ABC S AC BC C ∆=⋅⋅⋅=⨯⨯︒=，即ABC ∆的面积等于23． 【点评】此题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角
形的面积公式等知识，属于基础题．
〔13〕【2014年福建，理13，4分】要制作一个容器为43m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造
价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 〔单位：元〕．
【答案】160
【解析】设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m 得，另一边长为4x
m ．记容器的总造价为y 元，则4444202110802080202?160y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(元)，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立．因此，当2x =时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．
【点评】此题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．
〔14〕【2014年福建，理14，4分】如图，在边长为e 〔e 为自然对数的底数〕的正方形中随机
撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为 ．
【答案】22e
【解析】因为函数ln y x =的图像与函数x y e =的图像关于正方形的对角线所在直线y x =对称，
则图中的两块阴影部分的面积为112ln d 2(ln )2[(ln )(ln11)]2e
e S x x x x x e e e ==-=---=⎰， 故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率2
2P e =
． 【点评】此题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．
〔15〕【2014年福建，理15，4分】假设集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =，且以下四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；
④4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是 __．
【答案】6
【解析】假设①正确，则②③④不正确，可得b ≠1不正确，即b ＝1，与a ＝1矛盾，故①不正确；
假设②正确，则①③④不正确，由④不正确，得4d =；由1a ≠，1b ≠，2c ≠，得满足条件的有序数组为3a =，2b =，1c =，4d =或2a =，3b =，1c =，4d =．
假设③正确，则①②④不正确，由④不正确，得4d =；由②不正确，得1b =，则满足条件的有序数组为3a =，1b =，2c =，4d =；
假设④正确，则①②③不正确，由②不正确，得1b =，由1a ≠，2c ≠，4d ≠，得满足条件的有序数组为2a =，1b =，4c =，3d =或3a =，1b =，4c =，2d =或4a =，1b =，3c =，2d =；
综上所述，满足条件的有序数组的个数为6．
【点评】此题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．
三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
〔16〕【2014年福建，理16，13分】已知函数
1()cos (sin cos )2f x x x x =+-． 〔1〕假设02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； 〔2〕求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 解：解法一： 〔1〕因为02πα<<， 2sin 2α=，所以2cos 2α=．所以22211()()22222f α=+-=． 〔2〕2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+，22
T ππ∴==． 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88
k x k k Z ππππ-≤≤+∈． 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88
k k k Z ππππ-+∈． 解法二：
2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224
x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+， 〔1〕因为02πα<<，2sin 2α=，所以4
πα=，从而2231()sin(2)sin 24242f ππαα=+==． 〔2〕22
T ππ==，由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈． 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88
k k k Z ππππ-+∈． 【点评】此题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．
〔17〕【2014年福建，理17，13分】在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥．将ABD
∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．
〔1〕求证：AB CD ⊥；
〔2〕假设M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
解：〔1〕因为ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面,BCD BD AB =⊂平面,ABD AB BD ⊥，
所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥．
〔2〕过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图．由〔1〕知AB ⊥平面,BCD BE ⊂平面
,BCD BD ⊂平面BCD ，所以,AB BE AB BD ⊥⊥．
以B 为坐标原点,分别以,,BE BD BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意,得11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22B C D A M ．则11(1,1,0),(0,,),(0,1,1)22
BC BM AD ===-． 设平面MBC 的法向量000(,,)n x y z =．则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00000102
x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩． 取01z =，得平面MBC 的一个法向量(1,1,1)n =-．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，
则6sin cos ,3
n AD
n AD n AD θ⋅=<>==，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63．
【点评】此题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sin cos ,n AD n AD n AD θ⋅==⋅，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题． 〔18〕【2014年福建，理18，13分】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：
每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
〔1〕假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
〔2〕商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，
或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾 客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
解：〔1〕设顾客所获的奖励为X ．
①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===．即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12
． ②依题意,得X 的所有可能取值为20，60．232411(60),(20)22
C P X P X C =====． 即X 的分布列为
X
20 60 P
0.5 0.5 所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=〔元〕． 〔2〕根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元．所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由
10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不 可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可 能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1．对于面值由20元和40元组成的情况，同 理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2．
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励为1X ，则1X 的分布列为：
1X 20 60 100
P
16 23 16
1X 的期望为1121()206010060636
E X =⨯+⨯+⨯=， 1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363
D X =-⨯+-⨯+-⨯=． 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励为2X ，则2X 的分布列为： 2X 40 60 80
P
16 23 16
2X 的期望为2121()40608060636
E X =⨯+⨯+⨯=， 2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363
D X =-⨯+-⨯+-⨯=． 由于两种方案的奖励额都符合要求，但方案2奖励的方差比方案1的小，所以应该选择方案2．
【点评】此题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能
力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想．
〔19〕【2014年福建，理19，13分】已知双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别为
12:2,:2l y x l y x ==-．
〔1〕求双曲线E 的离心率；
〔2〕如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线12,l l 于,A B 两点〔,A B 分别在第一，四象限〕，且OAB ∆的
面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？假设存在，求出双曲线E 的
方程；假设不存在，说明理由．
解：〔1〕因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-．所以222,2,5b c a c a a a -=∴=∴=, 从而双曲线E 的离心率5e =． 〔2〕由〔1〕知，双曲线E 的方程为22
2214x y a a
-=．设直线l 与x 轴相交于点C ．当l x ⊥轴时，假设直线l 与双
曲线E 有且只有一个公共点，则,4OC a AB a ==，又因为OAB ∆的面积为8，
所以118,48,222OC AB a a a =∴⋅=∴=．此时双曲线E 的方程为22
1416
x y -=． 假设存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为22
1416
x y -=． 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：22
1416
x y -=也满足条件． 设直线l 的方程为y kx m =+，依题意,得2k >或2k <-．则(,0)m C k
-，记1122(,),(,)A x y B x y ． 由2y x y kx m =⎧⎨=+⎩
，得122m y k =-，同理得222m y k =+．由1212OAB S OC y y ∆=-得：1228222m m m k k k -⋅-=-+
即222444(4)m k k =-=-．由221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(4)2160k x kmx m ----=．因为240k -<， 所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---，又因为224(4)m k =-．
所以0∆=，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．
因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为22
1416
x y -=． 【点评】此题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证
能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．
〔20〕【2014年福建，理20，14分】已知函数()x f x e ax =-〔a 为常数〕的图像与y 轴交于点A ，曲线()
y f x =在点A 处的切线斜率为1-．
〔1〕求a 的值及函数()f x 的极值；
〔2〕证明：当0x >时，2x x e <；
〔3〕证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，
，恒有2x x ce <． 解：解法一：
〔1〕由()x f x e ax =-，得'()x f x e a =-．又'(0)11f a =-=-,得2a =．所以()2,'()2x x f x e x f x e =-=-．
令'()0f x =，得ln 2x =．当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减；当ln 2x >时，'()0,()f x f x >单调递 增．所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值,且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值．
〔2〕令2()x g x e x =-，则'()2x g x e x =-．由〔1〕得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>，故()g x 在R 上单调递增，
(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <．
〔3〕①假设1c ≥，则x x e ce ≤．又由〔2〕知，当0x >时，2x x e <．所以当0x >时，2x x ce <．
取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <．
②假设01c <<，令11k c
=
>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立．而要使2x e kx >成立，则只 要 2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立．令()2ln ln h x x x k =--，则22'()1x h x x x
-=-
=．所以当2x > 时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增．取01616x k =>，所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增．
又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+．易知ln ,ln 2,50k k k k >>>．
所以0()0h x >．即存在016x c
=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <． 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．
解法二：
〔1〕同解法一．
〔2〕同解法一．
〔3〕对任意给定的正数c
，取o x =，由〔2〕知，当0x >时，2x e x >， 所以2222
,()()22x x x x x e e e =>，当o x x >时，222241()()()222x x x x e x c c
>>= 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．
【点评】此题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查
运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．
此题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．总分值14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．
〔21〕【2014年福建，理21〔1〕，7分】〔选修4-2：矩阵与变换〕已知矩阵A 的逆矩阵12112-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ． 〔1〕求矩阵A ；
〔2〕求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
解：〔1〕因为矩阵A 是矩阵1-A 的逆矩阵,且1221130-=⨯-⨯=≠A ，所以232113 2121333⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ==⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎪ ⎭
⎝A ． 〔2〕矩阵1-A 的特征多项式为221() 43(1)(3)12
f λλλλλλλ--==-+=----，令()0f λ=，得矩阵1-A 的特 征值为11λ=或23λ=，所以111ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
是矩阵1-A 的属于特征值11λ=的一个特征向量．211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵 1-A 的属于特征值23λ=的一个特征向量．
【点评】此题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．
〔21〕【2014年福建，理21〔2〕，7分】〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知直线l 的参数方程为24x a t y t
=-⎧⎨=-⎩，
〔t 为参数〕，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，〔θ为参数〕． 〔1〕求直线l 和圆C 的普通方程；
〔2〕假设直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．
解：〔1〕直线l 的普通方程为220x y a --=．圆C 的普通方程为2216x y +=．
〔2〕因为直线l 与圆有公共点，故圆C 的圆心到直线l
的距离4d =≤
，解得a -≤≤
【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．
〔21〕【2014年福建，理21〔3〕，7分】〔选修4-5：不等式选讲〕已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的
最小值为a ．
〔1〕求a 的值；
〔2〕假设p q r ，，为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥．
解：〔1〕因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，
所以()f x 的最小值等于3，即3a =．
〔2〕由〔1〕知3p q r ++=，又因为,,p q r 是正数，
所以22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥．
【点评】此题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．。