八年级数学上册 13.1 命题与证明《命题》典型例题素材 (新版)冀教版

命题
例1 指出下列命题的题设、结论
(1)若a=0，则ab＝0。

(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。

(3)同角的余角相等。

分析：当命题的题设和结论不够明显时，如(3)可以从命题究竟判断了一件什么样的事情入手进行分析，进而分清题设和结论。

如(3)，命题对符合一定条件的角作出了相等的判断，所以命题的结论是“这两个角相等”，而这两个角符合的条件，即“两个角是同一个角的余角”就是命题的题设。

解：(1)题设：a=0，结论ab=0。

(2)题设：两个角相等，结论：这两个角是对顶角。

(3)题设：两个角都是同一个角的余角，结论：这两个角相等。

说明：“ 题设”，有的书上叫“条件”，是已知事项。

“结论”，是由已知事项(已知条件)推出的事项。

例2 将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并指出它的题设和结论。

(1)两条边分别平行的两个角相等或互补。

(2)有理数一定是自然数。

(3)负数之和仍为负数。

(4)等角的补角相等。

解：
(1)如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或者互补。

题设为：“一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行”。

结论为：“这两个角相等或互补”。

(2)如果一个数是有理数，那么它一定是自然数。

题设是：一个数是有理数。

结论是：这个数一定是自然数。

(3)如果一个数是某两个负数之和，那么这个数是负数。

题设是：“有一个数是某两个负数之和”。

结论是：“这个数是负数”。

(4)如果两个角分别是两个相等角的补角，那么这两个角相等。

题设是“有两个角分别是两个相等角的补角”。

结论是：“这两个角相等”。

例3 把下列命题改写为“如果……，那么……”的形式，并画出相关的图形。

(1)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。

(2)垂直于同一直线的两条直线平行。

解：(1)如果两条射线分别是两个互为邻补角的平分线，那么这两条射线互相垂直(如图1)。

(2)如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行(如图2)。

说明：对命题改写的要求是：①改写后的命题的内容与改写前命题的内容相同；②改写成的命题要句子完整，语句通顺；③改写后的命题的题设与结论要分得很清楚。

因此，改写命题并不仅仅是简单机械地加上“如果”，“那么”就可以完成任务了，必要时，要对原命题作一些修饰，还要补充上原来被省略的成分。

例4 把下列不是“如果…那么…”形式的命题改写成这种形式，再分析其题设和结论，并判断真假性。

①两条直线被第三条直线所截如果同位角相等，那么这两条直线平行；②不相等的角不是对顶角。

解：①题设：两条直线被第三条直线所截，同位角相等。

结论：两直线平行。

是真命题。

②如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。

题设：两个角不相等；
结论：这两个角不是对顶角。

是真命题。

说明：对所学过的定义、性质、判定、公理等记的牢且理解，具有扎实的基础知识，才能识别结论的真伪。

例5 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一反例说明。

(1)一个角的补角必是钝角。

(2)两个正数的差仍是正数。

(3)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线。

(4)如果a是正有理数，那么a2＞a。

(5)每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇数之和(即著名的哥德巴赫猜想)。

分析：判断一个命题是假命题的方法，是举反例。

所谓反例是指符合题设条件，但不符合结论的例子。

解：(1)假命题。

例如有一个角是120°，它的补角为60°，显然不是钝角，故原命题为假。

(2)假命题。

例如：两个正数分别为5和10，它们的差5－10=-5不是正数。

故原命题为假。

(3)真命题。

(4)假命题。

如a取正数0.1，a2=0.01＜0.1。

即a2＞a不成立。

故原命题为假命题。

(5)尚不能判断这个命题的真假。

一方面还没有人对这个命题作出证明。

所以不能肯定它是真命题。

同时，也没有人能举出一个反例，说明这个命题不成立，故也无法说它是假命题。