景德镇市 2023-2024 学年下学期高一期末质量检测数学参考答案

景德镇市2023-2024学年下学期期末质量检测卷
高一数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
1. C 复数z 为纯虚数，则20
20
42=⇒⎩⎨
⎧≠+=−m m m ，故复数z 的虚部为4. 2. B )4,2(),3,1(=−=b a )2,4()4,2()6,2()(22−=−−+−=−+=−∴b a b a .
3. B 31sin −=β ,且角β是第三象限角，322311cos 2
−=⎪⎭
⎫ ⎝⎛−−−=∴β，故 4. D 设ABC ∆的外接圆半径为r ，则1202
33
603π2sin 2===
AB r ，得60=r ,因为月牙内弧所 对的圆心角为3π23π22π2=⨯
−，所以内弧的弧长为π403
π
260=⨯=l ，所以弓形ABC 的面积为3900π12003
π
2sin
60602160π40210−=⨯⨯⨯−⨯⨯=S ，以AB 为直径的半圆的面积()
π1350330π2
1
21=⨯=S ，故月牙泉的面积为
2028
73.190014.31503900π150)3900π1200(π1350012≈⨯+⨯≈+=−−=−=S S S m 2
5. C 由已知
AB
AD AD AB AD AD AC AD EA ED AC EA EO AE 3
1
32)(3131,312−=++−=+−=+=−=⇒=6.A 已知α为钝角，β为锐角，且54sin =α，13
12
sin =β
13513121cos ,53541cos 2
2=⎪⎭
⎫
⎝⎛−=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛−−=∴βα，故
6533
131********sin sin cos cos )cos(=⨯+⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛−=+=−βαβαβα，且02cos >−βα 423
2231
tan =−−
=β
即：65
65726533
12
)
cos(12
cos
=+
=
−+=
−βαβ
α. 7.B i i i 23213π2sin 3π2cos 3πsin 3πcos 2
+−=⋅+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
⋅+ ，故在复数平面内所对应得点为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛−
23,21，位于第二象限.
8. A ,544πcos ,4π2π,4π=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
−∴−⇒⎪⎭⎫
⎝⎛∈βββ 于是
又25242cos 2cos 4π2sin −=⇒−=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
−
βββ，又因为2572sin ,π,2π2=∴⎪
⎭
⎫
⎝⎛∈ββ， 由
，以及 ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==552cos 55
sin αα
故 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. BD ()()()
i i i i i i z 5453222222
−=−+−=+−= ，则i z 5
453+=
对于A ：i 54
53−=
z
对于B ： 对于C ：
对于D ：
10.BC 对于A ： ，则 ，即A 错； 对于B ： ，由于 ，则这两个向量不共线，可以
作为平面向量得一组基底，即B 对；
对于C ： ，即C 对；
25244cos 4sin 242sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛−⎪⎭⎫ ⎝⎛−=⎪⎭⎫ ⎝⎛−πβπβπβ1cos sin 22=+αα⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=+4π,0,553cos sin ααα255
112575525245522sin sin 2cos cos )2cos(−=⨯−
⎪⎭⎫ ⎝⎛−⨯=−=+βαβαβαi 5
453+=
z 154532
2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=z i i z 252425754532
2
+−=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=)1,2(),3,2(=−=n m ()
092≠−=⋅−n n m )1,2(),3,2(=−=n m 2)3(12⨯−≠⨯6565
51334,cos =⨯−=〉〈n m n m
对于D
： 在 方向上得投影向量为⎪⎭⎫
⎝⎛=−=
⋅51,52534n n n
m ，即D 错.
11.ACD 若π3=
β，则 所以
3cos 2=
αtan αα为锐角，所以π3=α，A 选项正确； 若π
22+=αβ，则ππ2cos(2)sin(2)22−=−+βββ，
整理得，2sin 2cos 4sin cos ==ββββ，所以1
sin 4
=
β，B 选项错误； 因为2cos()sin()2cos()cos 2sin()sin +−=+=+++αββαβαββαββ，
所以2cos tan()12sin +=−βαββ，若π
6
<β
，则2cos tan()012sin +=
>−βαββ， 所以π
2
+<
αβ，C 选项正确； 因为2cos sin()sin cos cos sin =+=+ααβαβαβ，所以(2sin )cos sin cos −=βααβ，
所以2sin tan cos −=βαβ，设
2sin cos t −=β
β
，则2cos sin )t =+=+≤βββϕ， 所以t ≥tan αα的最小值为
π
3
，D 选项正确； 第Ⅱ卷(非选择题共92分)
13. 由 ，则θθπθπθθθtan 1)1(tan 44
tan
tan 14tan tan 4tan 1tan 22−+−=⋅−⎪
⎭⎫ ⎝⎛
+−=−， 显然
，可得 则 或 ，又 ，则 ，
即： 14. 设DAB ∠=θ，则3π
4
BDA ∠=−θ，由正弦定理可得， m n 0tan 1≠−θ0
2tan 5tan 2)1(tan 2tan 1tan 2=++⇒+−=+θθθθθ
2tan −=θ21tan −=θ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈π,4π3θ21tan −=θ41
)1(tan 21cos 2cos sin cos sin 2cos 2cos sin 2cos sin 2sin cos 22sin 122
22=+=+=+++=++θθθθθ
θθθθθθθθθ424−πcos 2cos sin()62
=+=α
αα2)2=⇒−t 41⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=4πtan 42tan θθ
3ππsin()sin
44
AB AD
=
−θ
，所以sin()4AD =−θ
，同理可得，sin()2AE ==+θ，所以
2π22
cos 1cos 2sin 24cos sin cos sin()422241)4
π1)
4AD AE θθθθθθθ⋅=
==
+−++
==−=−++
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分)
（1）
....................................4分
则
.....................................................................6分 (2)
由复数z 是关于x 的方程02=++n mx x 的一个根
则()0i )24()3(0)i 21(i 212
=+−−+⇒=+−+−m n m n m ...................................7分
即：⎩⎨
⎧=−=⇒⎩⎨⎧=+=−+5
2
02403n m m n m ......................13分
（备注：只算对m 和n 中的一个值仅给3分）
16.(本小题满分15分)
（1）由已知条件，得 ...............................................................................................................................3分 k 在j 2
10315,cos 2
2−
=+−=
=
=〉〈j k .................................................................................................................................7分
（2）由函数0)(≥x f 对于R ∈∀恒成立，则()()
0014222
≤⇒≤+−+=∆λλλ或3
4≥
λ 即：实数λ的取值范围为(]⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞∞−,340, ........................................................15分
i z z 21)i 2(i
21)
i 1(5−=⇒+++−=
5)2(12
2=−+=z 3
521=⇒−=−=⋅λλj k
令Z k k x Z k k x ∈+=
⇒∈+=+,82,242π，即：)(x f 的对称轴方程为Z k k x ∈+=,82ππ .............................................................................................................7分
令Z k k x Z k k x ∈−=⇒∈=+,82,42ππππ，即：)(x f 的对称中心为1,,282k k Z ππ⎛⎫
−∈ ⎪⎝
⎭
...............................................................................................................................................8分 （3） 将函数)(x f 的图象向左平移
4
π
个单位长度，得到函数)(x g 的图象，则 2
1432sin 2221442sin 22)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=
πππx x x g ........................................................................................................................................10分
在将)(x g 函数的图象上的所有点的纵坐标不表，横坐标变为原来的2倍，得到函数
)(x h 的图象，则2
143sin 22)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
πx x h .............................................................12分 ⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∈⇒⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−∈⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∈221,0)(1,2243sin 45,4432π,2πx h x x x ππππ
.........................................................................................................................................15分
18.(本小题满分17分)
（1）若选①：由0sin )()sin )(sin (=−+−+B a b C A c a
可得 ，即：
2
1
2cos 2222
2
2
=−+=⇒=−+ab c b a C ab c b a 又 ，故角 0)())((=−+−+a b b c a c a ()π,0∈C 3
π=C
若选②：A C A B cos sin 2sin sin 2=−，则可得：
A C A A C A C A C A C A cos sin 2sin )sin cos cos (sin 2cos sin 2sin )sin(2=−+⇒=−+
所以 ，又因为 ，即 ， ，又()π,0∈C ，所以角
若选③：⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+=⎪⎭⎫
⎝⎛−2π5sin 32πcos C a A c 则可得： 又
π<<A 0，即0sin ≠A ，3tan =C ，又()π,0∈C ，所以角3π
=C
（备注：考生只需选一个条件做答，做对给8分，若全选，则按第一个计分）
（2）
由（1）知3π
=C ，且4=c ，故由余弦定理可得： ()163cos 22
2
22=−+=−+=ab b a C ab b a c
................................................................................................................................10分
所以()8231632
2
≤+⇒⎪⎭
⎫
⎝⎛+≤−+=b a b a b a ab ， .................................................................................................................................13分 当且仅当4==b a 时，等号成立，又因为三角形得三边关系有：
，即 ，即： 的周长的取值范围是 . ................................................................................................................................17分
C
A A C C a A c cos sin 3sin sin cos 3sin =⇒=0sin sin cos 2=−A A C π<<A 00sin
≠A 2
1
cos =C 3
π=
C 4=>+c b a 128≤++<b c a ABC ∆
(]12,8
19.（本小题满分17分）
（1）tan tan tan tan(π)tan()1tan tan A B C A B A B A B +=−−=−+=−
=−π
3
C =.
..............................................................................................................................................5分
（2）(ⅰ) 由正弦定理，
2sin AB R C =，解得1R =，设D 为AB 的中点，则1
2
OD =， 则2
1
()()()22
PA PB OA OP OB OP OA OB OP OA OB OP OP OD ⋅=−−=⋅−++=
−⋅ .............................................................................................................................................8分 易知，1122OP OD −≤⋅≤，所以13
22
PA PB −≤⋅≤.
..............................................................................................................................................10分
(ⅱ) 因为CO CA CA CA CB CA ⋅=⋅+⋅λμ，即2222
b ab
b =+μλ，1()22a b −=μλ，
............................................................................................................................................12分 同理，CO CB CA CB CB CB ⋅=⋅+⋅λμ，即2222
a ab
a =+λμ，1()22
b a −=λμ，
.............................................................................................................................................14分 所以11()()224−−=λμλμ，即1424
+−+=λμλμ
λμ，
..............................................................................................................................................16分
解得1
3
==
λμ，所以a b =，即△ABC 为等边三角形，a b c ==，
所以△ABC 的周长为................................................................................................................................................17分。