2020-2021学年无锡市江阴市南菁高中高二下学期期中数学试卷3(含答案解析)

2020-2021学年无锡市江阴市南菁高中高二下学期期中数学试卷3
一、单空题（本大题共13小题，共65.0分） 1. 已知集合
，，那么集合
=
2. 若f(cosx)=cos3x ，则f(sin30°)的值为______．
3. 已知cosθ=2−k
3k+5，90°<θ<180°，那么实数k 的取值范围是______． 4. 如图，已知平行四边形ABCD ，O 为平面内任意一点，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则用a ⃗ ，b ⃗ ，c
⃗ 表示OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为 ． 5. 扇形的圆心角为θ=3
2弧度，半径为12cm ，则扇形的面积是______ ．
6. 已知函数f(x)=log 2(x +1
x −a)在区间(2,3)上有意义，则实数a 的取值范围是______． 7. 定义在实数集R 上的奇函数
满足：①在内单调递增，②，则不
等式的解集为 ．
8. 设函数
的最大值为M ，最小值为m ，则M + m =__________．
9. 设函数f(x)=log a ax−5
x 2−a 的定义域为A ，若3∉A ，5∈A ，则a 的取值范围为______． 10. 设m
⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，|m ⃗⃗⃗ |=1，|m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ |=1，则|m ⃗⃗⃗ +n ⃗ |+|n ⃗ |的最大值为______． 11. 若命题“∀x ∈R ，x 2−2x +m 2−1>0”为真命题，则实数m 的取值范围为______ ． 12. 已知四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为______ ． 13. tan70°+tan50°−
tan70°tan50°的值等于
二、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 14. 设函数f(x)={−x 3+3x,x ≥a
2x,x <a
．
(1)若a =0，则f(x)的最大值是 (1) (2)若f(x)有最大值，则a 的取值范围是 (2) 三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
15.已知函数f(x)=lg(x−2)的定义域为A，函数g(x)=x12，x∈[0,9]的值域为B．
(1)求A∩B；
(2)若C={x|x≥2m−1}且(A∩B)⊆C，求实数m的取值范围．
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.(1)求sin C
的值；
(2)若a 2+b 2=4(a+b)−8，求边c的值．
17.已知函数f(x)=(x+4)2
(x>0)．
x
(1)解不等式：f(x)>50
；
3
(2)求函数f(x)的最小值．
18.已知函数的图象过点(1,2)，相邻两条
对称轴间的距离为2，且的最大值为2．
(1)求；
(2)计算；
(3)若函数在区间[1,4]上恰有一个零点，求的范围．
19.已知三次函数f(x)的导函数f′(x)=3x2−3ax，f(0)=b，a、b为实数．
(1)若曲线y=f(x)在点(a+1,f(a+1))处切线的斜率为12，求a的值；
(2)若f(x)在区间[−1,1]上的最小值、最大值分别为−2、1，且1<a<2，求函数f(x)的解析式．
20.(1)已知a为常数，且0<a<1，函数f(x)=(1+x)a−ax，求函数f(x)在x>−1上的最大值；
(2)若a，b均为正实数，求证：a b+b a>1．
【答案与解析】
1.答案：(0,1)
解析：
2.答案：−1
解析：解：因为已知f(cosx)=cos3x ，和特殊角的三角函数得：sin30°=cos60° 所以f(sin30°)=f(cos60°)=cos(3×60°)=cos180°=−1． 故答案为−1．
首先分析题目已知函数f(cosx)=cos3x ，求f(sin30°)的值．可根据特殊角的三角函数关系sin30°=cos60°，代入函数f(sin30°)替换化简即可得到答案．
此题主要考查任意角三角函数的相互化简问题，对于特殊角的三角函数需要记忆．题目主要考查概念性问题，属于基础题目．
3.答案：(2,+∞)∪(−∞,−7
2)
解析：解：因为90°<θ<180°，所以−1<cosθ<0，而cosθ=2−k
3k+5，所以−1<2−k
3k+5<0， 即{−1<2−k
3k+52−k 3k+5<0，即{2k+7
3k+5>0k−23k+5>0，解得：{k >−5
3或k <−7
2k >2或k <−53，可得k >2或k <−7
2
， 所以实数k 的取值范围为：(2,+∞)∪(−∞,−7
2)， 故答案为：(2,+∞)∪(−∞,−7
2).
由θ范围可得cosθd 的范围，再由题意可得k 的范围． 本题考查三角函数的求值方法，属于中档题．
4.答案：a ⃗ +c ⃗ −b ⃗
解析：
本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，属于基础试题． 由题意可得，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后结合向量的减法运算即可求解．
解：由题意可得，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即b ⃗ −a ⃗ =c ⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ ． 故答案为：a ⃗ +c ⃗ −b
⃗ ．
5.答案：108cm 2
解析：解：∵扇形圆心角θ=3
2弧度，半径为12cm ，
∴扇形的弧长l =3
2×12=18cm ，扇形的面积为S =1
2lr =1
2×18×12=108cm 2． 故答案为：108cm 2．
利用扇形的弧长公式、面积公式，即可得出结论．
本题考查扇形的弧长公式、面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
6.答案：(−∞,5
2]
解析：解：∵函数f(x)=log 2(x +1
x −a)在区间(2,3)上有意义， ∴{2+1
2−a ≥03+13−a ≥0
，解得a ≤5
2
． ∴实数a 的取值范围是(−∞,5
2]. 故答案为：(−∞,5
2].
由函数f(x)=log 2(x +1
x −a)在区间(2,3)上有意义，利用对数函数的性质列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．
本题考查实数的取值范围的求法，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7.答案：
解析：
8.答案：2
解析： ，
设，则g (−x )=− g (x )，
∴ g (x )是奇函数．
由奇函数图象的对称性知g (x )max + g (x )min =0，
∴ M + m =[g (x )+1］max +[g (x )+1］min =2+ g (x )max + g (x )min =2．
9.答案：1<a ≤5
3或9≤a <25
解析：解：函数f(x)=log a ax−5
x 2−a 的定义域为A ，可得ax−5
x 2−a >0，3∉A ，5∈A ，可得{3a−5
9−a
≤0
5a−5
25−a
>0，或
9−a =0，解得1<a ≤5
3或9≤a <25． 故答案为：1<a ≤5
3或9≤a <25．
利用函数的定义域，列出不等式组，化简求解即可．
本题考查的知识点是函数的定义域，分式不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．
10.答案：√2
解析：解：∵|m
⃗⃗⃗ |=1，|m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ |=1， ∴m ⃗⃗⃗ 2
+4m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +4n ⃗ 2
=1， ∴(m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )⋅n ⃗ =0，
∴|m ⃗⃗⃗ +n ⃗ ||n ⃗ |是斜边长为1的直角三角形的两直角边 可令|m
⃗⃗⃗ +n ⃗ |=cosθ，|n ⃗ |=sinθ， ∴|m ⃗⃗⃗ +n ⃗ |+|n ⃗ |=cosθ+sinθ=√2cos(θ−π
4)≤√2， 故答案为：√2．
求出|m
⃗⃗⃗ +n ⃗ ||n ⃗ |是斜边长为1的直角三角形的两直角边，可令|m ⃗⃗⃗ +n ⃗ |=cosθ，|n ⃗ |=sinθ，根据三角函数的性质求出其最大值即可．
本题考查了平面向量的运算，考查三角函数的性质，是一道常规题．
11.答案：(−√2,√2)
解析：解：命题“∀x ∈R ，x 2−2x +m 2−1>0”是真命题，得△=4−4(m 2−1)<0，即−√2<m <√2．
即所求m 的取值范围是(−√2,√2). 故答案为：(−√2,√2).
利用判别式，即可求出实数m 的取值范围．
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，转化为判别式和0之间的关系是解题的关键．
12.答案：√5
解析：解：如图所示， ∵AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AB ⊥BC ，AD ⊥DC ． ∴四边形ABCD 内接于圆O ．
可得⊙O 的直径AC =√12+22=√5． 则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为直径√5． 故答案为：√5．
如图所示，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得AB ⊥BC ，AD ⊥DC.因此四边形ABCD 内接于圆O.可得|BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为直径AC ．
本题考查了圆的内接四边形、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.答案：
解析：
本题考查了两角和与差的三角函数公式． 利用两角和的正切公式的逆用直接得结论．
解：因为
，
所以
．
故答案为
．
14.答案：2
a ≤1
解析：解：函数f(x)={−x 3+3x,x ≥a
2x,x <a ．
(1)a =0时，f(x)={−x 3+3x,x ≥0
2x,x <0，
则f′(x)={−3x 2+3,x ≥0
2,x <0
，
当0<x <1时，f′(x)>0，此时函数为增函数， 当x >1时，f′(x)<0，此时函数为减函数， 当x <0时，f(x)<0；
∴x =1时，f(x)取得最大值为2； (2)f′(x)={−3x 2+3,x ≥a
2x,x <a ，
令f′(x)=0，则x =±1，
若f(x)有最大值，则{a ≤12a ≤2，或{a >1
2a ≤−a 3+3a ，
解得：a ≤1或a ∈⌀； ∴a 的取值范围是a ≤1． 故答案为：(1)2，(2)a ≤1．
(1)a =0时，讨论f(x)的图象与性质，求出f(x)的最大值；
(2)利用导数研究f(x)的单调性，求出f(x)有最大值时a 的取值范围．
本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题．
15.答案：解：(1)由题意知：A =(2,+∞)，B =[0,3]，(4分)
∴A ∩B ={x|2<x ≤3}；(6分)
(2)由题意：{x|2<x ≤3}⊆{x|x ≥2m −1}，故2m −1≤2，(10分) 解得m ≤3
2，所以实数m 的取值集合为{m|m ≤3
2}.(12分)
解析：(1)求出两个集合的定义域，由交集的定义求两个集合的交集；
(2)(A ∩B)⊆C ，由子集的定义通过比较端点可以得出2m −1≤2，即可得到实数m 的取值范围 本题考查交并补集的混合运算，以及集合中的参数问题，求解本题的关键是正确求出两个函数的定义域，以及根据集合的包含关系做出正确的判断．求参数时要注意验证端点是否能取到，这是一个易出错的地方．
16.答案：解：(1)由已知得
即，
由，两边平方得．
(2)由，
即．。