湖北省孝感高级中学—学年高二数学下学期期中试题 文

湖北省孝感高级中学2012—2013学年度高中二年级下学期期中考试
数 学（文 科）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．抛物线24x y =-的焦点坐标为（ ）
A ．(0,1)-
B ．(1,0)-
C. 1
(0,)16
- D.
1(,0)16- 2．下面的命题中，是真命题的一个是（ ）
A ．若a b >，则ac bc >
B ．若a b >，则22ac bc >
C ．若,a b c d ><，则a c b d ->- D. 若a b >，则(*)n n a b n N >∈ 3．下列抛物线中，开口最大的一个是（ ）
A ．2y x =
B ．22y x =
C ．21
2y x =
D ．214
y x =
4．已知点00(,)M x y 是函数()sin f x x =的图像上一点，且
0()1f x =，则该函数图象在点M 处
的切线的斜率为（ ） A ．
2
π
B ．1-
C ．1
D ．0
5．有以下结论:
（1）椭圆、双曲线、抛物线和圆统称为圆锥曲线;
（2）微积分创立于十七世纪中叶，它的创立与求曲线的切线直接相关; （3）若函数()f x 的导函数()()f x f x '= ，则()x
f x e = 其中正确的结论个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
6．“22
y a b >+”是“2y ab >”成立的（ ） A ．充分而非必要条件 B ．充要条件
C ．必要而非充分条件
D ．既非充分又非必要条件
7．若不等式|2||1|x x a -++≥的解集为R ,则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤
B ．3a ≤
C ．1a ≤-
D ．3a ≤-
8．若0,0,a b c R >>∈，函数3
2
()42f x x ax bx c =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值为（ ） A ．2
B ．3
C. 6
D. 9
9．已知函数 ()tan x f x x =
，则
()4
f π
'=（ ）
A ．14
π
-
B ．
12π+ C ．12
π
- D ．1
10．已知实数0x >,则下列不等式中恒成立的一个是（ ）
A ．3
0x x ->
B ．2
20x x -≥
C
．ln 1x +≤
D ．sin 0x x -<
二、填空题（本题共7小题，每小题5分，共35分）
11．抛物线22(0)y px p =->的准线过点(2,2)-，则p = .
12．已知0,0a b >>
，123,,2a b x x x +===则1x 、2x 、3
x 的大小顺序是： .（请用不等号“≥”把三个数123,,x x x 连接起来） 13．已知定义在(,)a b 上的函数()y f x =的导函数()f x '图像如图所示，则函数
()y f x =的极大值点是： . （把你认为是极值点的值都填
上，多个用“，”隔开）
14．绝对值不等式22x x -<的解集是： .
15
．函数()f x x =的单调递减区间为 . 16．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位降2米后，水
面宽 米. 17．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离；现已知抛物线
2:C x y a =-到直线:20l x y -=
a 的值为 .
三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分12分）
已知实数,a b 满足1a b +=,求证：2225(2)(2)2
a b +++≥
16第题图
l 4m
19．（本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，直线l 过点(0,1)P
（Ⅰ） 若直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，求直线l 的方程 （Ⅱ）
若直线l 恰好经过点F 且与抛物线C 交于,A B 两不同的点，求弦长AB 的值。

20．（本小题满分13分）某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距
离为100
km ，按交通法规定：这段公路车速限制在40~100（单位：km h ）之
间。

假设目前油价为7.2（单位：L 元），汽车的耗油率为2
(3)360
x +（单位：L h ）,
其中x （单位：km
h ）为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量。

租车需
付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其它费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x 是多少？（注：租车总费用=耗油费+司机的工资）
21．（本小题满分14分）已知函数
()ln .f x ax b x =+
（Ⅰ）当2x =时()f x 取得极小值22ln 2,-求,a b 的值；
（Ⅱ）当1b =-时，若在区间(]
0,e 上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.
22．（本小题满分14分）设,M N 为抛物线2
:C y x =上的两个动点，过,M N 分别作抛物线C
的切线12,l l ，与x 轴分别交于,A B 两点，且12l l P =，1AB =，则
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程
（Ⅱ）求证：MNP ∆的面积为一个定值，并求出这个定值
孝感高中2012-2013学年度下学期期中考试 高二数学（文）参考答案
二、填空题
11. 4
12. 312x x x >>
13. 2x
14. (,2)(1,)-∞-+∞ 15. 1
[0,]4
16.
17. 6
三.解答题
18. 证法一：消b,化为a 的二次函数,
由1a b
+=，得1b a =-代入左边得： ……2分
左边2
2(2)
(3)a a =++- ……5分
22213a a =-+ ……8分 212525
2()222
a =-+≥ ……12分
其它证法酌情给分，证法参考两例：
证法二：（放缩法）∵1a b +=, ∴左边＝
()()
()()2
22
222222a b a b +++⎡⎤
+++≥⎢⎥⎣⎦
()2125
422
a b =
++=⎡⎤⎣⎦＝右边 证法三：（均值换元法）∵1a b +=，所以可设t a +=
21，t b -=2
1
， ∴左边＝()()
2
2
22
11
22(2)(2)22a b t t +++=+++-+
2
2255252522222t t t ⎛⎫⎛⎫
=++-=+≥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝右边， 当且仅当t=0时，等号成立.
19. 解:（Ⅰ）因为直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点
当直线与抛物线的对称轴平行时，l ：1y
= ………2分
当直线与抛物线的对称轴不平行时，设l ：(1)x m y =- 与抛物线的方程联立得2
440y
my m -+=， ………4分
则2
1616001m
m m ∆=-=⇒=或，故此时直线l 的方程为：
0x =或1y x =+
综上，所求直线直线l 的方程为：1y =或0x =或1y x =+ ……7分
（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，
因为直线l 恰好经过点F ．故l ：1y x =-+， ……8分 代入抛物线方程得 得2
610x
x -+=．126x x += ……10分
所以弦长1228AB x x =++= ……12分
20. 解析：依题意：设总费用为()f x ，则：
2
100100()76.47.2(3).360
x f x x x =++40100x ≤≤ ……………4分
9800
2x x
=
+ …………6分
280≥=， …………9分
当且仅当
9800
2x x
=即70[40,100]x =∈时取等号； ……12分 故当车速为70km h 时，租车总费用最少，为280元 ……13分
21. 解：（1）(2)2ln 222ln 2(2)02
f a b b
f a =+=-⎧⎪
⎨'=+=⎪⎩解得： ……………(4分) 1
2
a b =⎧⎨
=-⎩ ……………(6分)
（2）()ln f x ax x =-⇒1()f x a x '=-
，(]11
0,[,)x e x e
∈⇒∈+∞ ………(7分) 1
a e
≤当时：(]()00,f x e '≤在上恒成立，()f x 在(]0,e 上单调递减
则min 1()()10f x f e ea a e ==-<⇒< 1
a e
∴< ………(10分)
1a e >当时： ()f x 在1(0,]a 上单调减，1
(,)a
+∞上单调递增
min 111
()()1ln 0f x f a a a e
==-<⇒<，故无解 …………(13分)
综上所求a 的取值范围是：1
a e
< ………(14分)
22. 解：（Ⅰ）设22
1122(,),(,),(,)P x y M x x N x x ，2k y x '== 21111:2()l y x x x x -=-即2112y x x x =- .....○
.1 同理，2222y x x x =- ......○2 …………3分
联立①，②，得
1212
2x x x y x x +⎧
=
⎪⎨
⎪=⎩ ......○3 又令①，②式中的0y = 得12(
,0),(,0)22
x x
A B 因为1AB =，所以得212()4x x -= ……………5分 即
2
1212()44x x x x +-= 代入○
3式得
所求点P 的轨迹方程为：21y x =- ………………7分
（Ⅱ）设 :MN y kx b =+ 又由2y x = 得20x kx b --=
所以 1212,x x k x x b +==- ……………9分
∴P 到MN
的距离为d =
12|||MN x x =- ………………12分
∴
212121211
|||()4|||224S MN d x x x x x x =
=+--=
∴MNP ∆的面积为定值2 ………………14分。