2023版高考数学一轮总复习8-2空间点线面的位置关系习题

8.2 空间点、线、面的位置关系
基础篇固本夯基
考点一点、线、面的位置关系
1.(2022届湘豫名校联盟11月联考,7)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:
①若α∥β,m⊥α,则m⊥β;
②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;
③若α⊥β,m⊥α,则m∥β;
④若m⊥n,m⊥α,则n∥α.
其中真命题有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案 B
2.(2022届山东青岛期中,7)已知a,b,c,d是四条直线,如果a⊥c,a⊥d,b⊥c,b⊥d.则结论“a∥b”与“c∥d”中成立的情况是( )
A.一定同时成立
B.至多一个成立
C.至少一个成立
D.可能同时不成立
答案 C
3.(2022届南宁摸底,8)如图是长方体的展开图,AD=2AB,四边形ABFE为正方形,P、Q分别为AD、HI的中点,给出下列判断:①AM∥CG,②AF∥DK,③BP∥JQ,④BP⊥QJ.其中正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案 C
4.(20215·3原创题)中国文化源远流长,折纸文化传承已久,如图1所示,六个等边三角形沿虚线折起得到的几何体如图2所示,则异面直线的对数为( )
A.6对
B.9对
C.12对
D.15对
答案 C
5.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是( )
A.a、b与同一个平面所成角相等
B.a、b垂直于同一条直线
C.a、b平行于同一个平面
D.a、b垂直于同一个平面
答案 D
6.(2020四川九市二诊,5)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,n⊂α,则m∥n
C.若m⊥n,m⊥α,则n∥α
D.若m⊥α,n∥α,则m⊥n
答案 D
7.(2021河南洛阳二模,12)在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是( )
A.EF⊥BB1
B.EF⊥BD
C.EF与CD为异面直线
D.EF与A1C1为异面直线
答案 D
8.(2021东北三省四市联考,16)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=4,E是C1D1的中点,且异面直线AD1与CE所成的角是60°.则在此长方体的表面上从A1到C的路径中,最短路径的长度为.
答案4√2
9.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.
答案√2π
2
考点二异面直线所成的角
1.(2022届新疆克拉玛依检测三,4)我们打印用的A4纸的长与宽的比约为√2,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的纸的长与宽之比仍约为√2,纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长(如图所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸大小,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为( )
A.π
6B.π
4
C.π
3
D.2π
3
答案 C
2.(2022届河南洛阳期中,9)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,D1、E1分别是A1B1、A1C1的中点,CA=CB=CC1,则AE1与BD1所成角的余弦值为( )
A.√15
15B.√30
15
C.√15
10
D.√30
10
答案 D
3.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A.√2
2B.√3
2
C.√5
2
D.√7
2
答案 C
4.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=4√3.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为( )
A.√14
14B.√21
14
C.√14
4
D.4√35
35
答案 D
5.(2021山西晋中二模,6)如图,圆锥的轴截面ABC为正三角形,其面积为4√3,D为AA
⏜的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AC,DE所成角的余弦值为( )
A.√2
4B.√2
2
C.√6
3
D.√3
3
答案 B
综合篇知能转换
考法一点、线、面位置关系的判定及应用
1.(2021河南九师联盟1月联考,11)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD的中心,E 为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),Q为线段AE的中点.现有以下结论:
①PE与QC是异面直线;
②过A、P、E三点的正方体的截面与正方体表面的交线围成的图形是等腰梯形;
③平面APE⊥平面BDD1B1;
④PE∥平面CDD1C1.其中正确结论的序号是( )
A.①④
B.②③
C.②④
D.①③
答案 B
2.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
答案 B
3.(2020吉林4月联考,11)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M、N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为( )
A.2√21
3B.4√21
3
C.2√7
3
D.4√7
3
答案 A
4.(2022届黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:
①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;
②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;
③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;
④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.
其中所有真命题的序号是( )
A.①②
B.①③
C.③④
D.②④
答案 B
5.(2022届成都期中,12)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,有下列结论:
;
①若P为棱CC1中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为√5
2
;
②若P在线段A1B上运动,则AP+PD1的最小值为√6+√2
2
③若P在以CD为直径的球面上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2π;
④若过点P的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为3√3
.
4
其中正确结论的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
答案 B
6.(2022届山西长治第二中学月考,15)已知两条不同的直线m,n,两个不重合的平面α,β,给出下列5个命题:
①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④m⊥α,m∥β⇒α⊥β;⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是.
答案①④⑤
7.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.
①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;
②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为3√3;
③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;
④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.
答案①②④
考法二异面直线所成角的求解方法
1.(2022届黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )
A.1
3B.√7
4
C.3
4
D.√3
2
答案 C
2.(2020湖北重点高中联考,8)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且斜边BC=2,D是BC的中点,若AA1=√2,则异面直线A1C与AD所成角的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案 C
3.(2021全国乙,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )
A.π
2B.π
3
C.π
4
D.π
6
答案 D
4.(2021全国重点中学领航高考冲刺卷(九),9)已知SA,SB,SC是圆锥SO的三条母线,如图为圆锥SO的正视图,点S,A,B,C在圆锥SO的正视图中分别对应点S',A',B',C',其中C'为A'B'的中点,若D为母线SB的中点,则异面直线SC与OD所成角的余弦值为( )
A.√3
4B.√2
3
C.3
4
D.2
3
答案 C
5.(20215·3原创题)沿正三角形ABC的中线AD翻折,使点B与点C间的距离等于中线AD的长,若三棱锥A-BCD的体积为2,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为.
答案1
4。