学案3：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
学习目标
（1）理解弧度的概念，能正确进行弧度与角度的互化；
（2）熟记特殊角的弧度数；
（3）熟悉在弧度制下，终边相同的角，象限角，轴上角的表示方式及其应用；
（4）了解角的集合与实数集R之间可以建立一一对应的关系；
（5）掌握在弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式及应用．
学习过程
基础知识
（1）把长度等于半径长的弧所对的________叫做1弧度的角，用符号________表示，读作________．
（2）正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．
（3）如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|=________．
（4）换算公式
1 =________rad≈0.01745rad，1rad=（________）°≈57.30°=57°18′．
（5）弧长公式：l=________；扇形面积公式：S=________=________．其中α为圆心角的弧度数．
弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算．
1．注意弧度制与角度制与对应关系
我们已经知道，圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，所以弧又与圆心角有联系：弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角与弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角之分，弧也就有正弧、零弧、负弧之分；从“数”上讲，圆心角与弧的度数都有正数、0、负数之分．这样，圆心角、弧都被赋予了方向，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反过来也对．这就是说，圆心角与弧是一一对应的．
2．注意弧度制与实数的对应关系
角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系．对于角度制：说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角可以取度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的；但是对于弧度制：说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数只可以取弧度数，即每一个角都有惟一的一个实数（弧度数）与之对应．反过来，不论是角度制，还是弧度制，每一个实数（可以弧度数，也可以是度数、分数、秒数）也都有惟一的一个角与它对应．
3．注意角度制与弧度制之间的换算关系
如果圆心角所对的弧长l =2πr （即弧是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数1r ＝2πr r
＝2π，即一个周角的角度数为360︒＝2π弧度，即180︒=π弧度，由此可得角度制与弧度制之间的换算
公式：1︒＝π180弧度≈0.0174，1弧度＝180︒π
≈57.30︒＝57︒18'． 4．注意弧度制与角度制的单位区别
弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；同时，不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．
5．注意弧度制与角度制的进位制区别
分析角度制和弧度制下度量角的方法，我们看出，在用角度制表示角的时候，人们总是十进制、六十进制，不便于计算，而在用弧度表示角的时候，人们只用十进制，所以弧度制更容易找出与角对应的实数．另外，在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单．
6．注意弧度制与角度制在同一表达式混合使用
由于有弧度制与角度制两种单位制，在表示与角时，若涉及到几项的和差形式，则要求所所
有项选用的单位制必须一致，绝对不能出现k ·360°－π3
（k ∈Z ）或者2k π－60°（k ∈Z ）一类的写法．
例1．下列各命题中，假命题是（ ）
A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B ．1度的角是周角的360
1，1弧度的角是周角的12π C ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径的长短有关
例2．将下列各角化成2k π+α（k ∈Z ），且0≤α<2π的形式，并指出它们是第几象限角：
（1）－1725°；（2）
3
64π．
课堂练习
1．把－1125°化成α＋2k π（0≤α＜2π，k ∈Z ）的形式是（ ）
A ．－π4 －6π
B ．7π4 －6π
C ．－π4 －8π
D ．7π4
－8π 2．角α的终边落在区间（－3π，－52
π）内，则角α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）
A ．4 cm 2
B ．2 cm 2
C ．4πcm 2
D ．2πcm 2
4．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是________．
5．在直径为10cm 的轮上有一长为6cm 的弦，P 是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过5秒钟后点P 转过的弧长．
参考答案
学习过程
基础知识
（1）圆心角，rad ，弧度；
（2）正数，负数，0；
（3）r
l ； （4）π180，180π；
（5）αr ，
21lr ，2
1αr 2. 例1．D 【解析】角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，
又长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，
∴360︒=2πrad ，∴180︒=πrad ，故选D ．
例2．解：（1）∵－1725°=－5×360°+75°=－10π+12
5π， ∴－1725°与125π角的终边相同，又∵12
5π是第一象限角，∴－1725°是第一象限角； （2）∵364π=20π+34π，∴364π与3
4π角的终边相同， 又∵34π是第三象限角，∴3
64π是第三象限角． 课堂练习
1．D
【解析】－1125°=－
180
1125π=－425π=－π4 －6π=7π4 －8π； 2．C
【解析】由于－3π=－4π+π，－52 π=－4π+2
3π，则区间（－3π，－52 π）表示的象限为第三象限，则角α所在象限是第三象限；
3．A
【解析】由于α=2，l =4，可得R =
αl =2，则S =21αR 2=4. 4．1或4
【解析】由扇形的弧长公式l ＝θ·r 和面积公式S ＝12θr 2知：2r ＋θr ＝6，12
θr 2＝2，联立后解得：θ＝1或θ＝4.
5．解：∵轮子以每秒5弧度的角速度旋转，
∴P 点在以O 为圆心、半径为OP ＝4cm 的圆上以同样的角速度在旋转，5秒钟转的弧度数为5×5＝25 rad ，又r ＝4cm ，
∴l ＝∣α∣·r ＝25×4＝100（cm ）．。