七年级秋季班-第18讲：中心对称与轴对称

中心对称与轴对称
内容分析
理解两个图形关于某一点中心对称的意义．能够区分中心对称与中心对称图形．掌握轴对称、轴对称图形的概念，知道轴对称与轴对称图形区别，会利用有关性质画出已知图形关于某一条直线对称的图形．重点理解相关概念，能够判断出图形特点．
知识结构
模块一：中心对称
知识精讲
1、中心对称的概念
把一个图形绕着一个定点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
2、中心对称图形的特征
中心对称是旋转对称的特例，关于中心对称的两个图形能完全重合．关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分，关于对称中心的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等；反过来，如果两个图形的对应点连接成的线段都经过某一点并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这点成中心对称，这给我们提供了判断某两个图形是否成中心对称的方法．
3、中心对称与中心对称图形的区别与联系
中心对称是两个图形而言的，指两个图形间的关系；而中心对称图形是对一个图形而言的，指一个图形的两个部分之间的关系．成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上．若把中心对称图形的两个部分看成两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成中心对称图形．
【例1】下列图案都是由字母“m ”经过变形、组合而成的．其中不是中心对称图形的是 （
）．
A B
C D
【难度】★ 【答案】 【解析】
【例2】在下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（
）
A B C D
【难度】★ 【答案】 【解析】
【例3】关于中心对称的两个图形所有对应点的连线________交于一点．
（填“一定”、“不一定”）
【难度】★ 【答案】 【解析】
例题解析
【例4】请写出两个是中心对称的汉字_________．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例5】如图所示的图形是由三个半圆组成的图形，点O是大半圆的圆心，且AC = CD =DB，则此图关于点O成中心对称的图形是（）
A B C D
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例6】（1）线段；（2）两条相交直线；（3）角；（4）等腰三角形；（5）等边三角形；（6）平行四边形；（7）矩形；（8）菱形；（9）正方形；（10）圆；（11）等腰梯形等图形中是中心对称图形的是______________________．（填序号）
【难度】★★
【答案】
【解析】
O
C
B
A
【例7】若两个图形关于某点成中心对称，则下列说法中，正确的有（
）个．
① 对应线段相等；②对应角相等；③周长相等；④面积相等． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例8】请画出△ABC 关于点O 成中心对称的对称图形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例9】请把图中的中心对称图形补画完整．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
D '
C 'B '
A '
D
B
A
【例10】 如图，由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑
（如图）．请你在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为中心对称图形．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例11】如图，两个图形关于某点中心对称，看谁能用最简单的方法找出对称中心．你的根
据是什么？
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例12】请你用剪刀剪去等边三角形三个角，使余下的部分成为一个中心对称图形，应该怎
样剪？
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
图2
图1
B
A
D
C
D
C
B
A
【例13】如图：已知矩形ABCD 的两边AB = 4厘米，BC =12厘米 （1）在图1中画出矩形ABCD 的对称中心．(不写结论)
（2）动点P 从点A 出发，以每秒2厘米的速度沿AD 边向点D 移动，动点Q 同时从点B
出发，以每秒1厘米的速度沿BC 边向点C 移动 ，联结PQ 得图2 ． 问：①当P 、Q 出发几秒后，梯形ABQP 的面积是梯形PQCD 面积的两倍； ② 当P 、Q 出发几秒后，图2是一个中心对称图形． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
1、翻折与轴对称图形
（1）把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点． （2）轴对称图形是一个图形关于某直线对称；轴对称是两个图形关于某条直线对称． 2、轴对称
（1）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称．
（2）轴对称的图形的性质：两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；在成轴对称的两个图形中，分别连接两对对应点，取中点，连接两个中点所得的直线就是对称轴．
模块二：轴对称
知识精讲
【例14】下列几何图形中，①线段；②角；③圆；④等腰三角；⑤直角三角形；其中是轴对
称图形的有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【难度】★ 【答案】 【解析】
【例15】下列图形中对称轴最多的是（ ）
A ．圆
B ．正方形
C ．等腰三角形
D ．线段
【难度】★ 【答案】 【解析】
【例16】下列图案中是轴对称图形的是（
）
A B C D
【难度】★ 【答案】 【解析】
2008年北京 2004年雅典 1988年汉城 1980年莫斯科
例题解析
【例17】作出下图所示的图形的对称轴：
【难度】★
【答案】
【解析】
【例18】正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例19】在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是( )
①中心对称；②旋转；③轴对称；④平移．
A．①②B．②③C．③④D．①④
【难度】★★
【答案】
【解析】
l C'
B'
A'
C
B
A
【例20】将一圆形纸片对折后再对折，得到图3-1中图3，然后沿着图中的虚线剪开，得到 两部分，其中一部分展开后的平面图形是( )
A B C D
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例21】如图，ABC ∆和'''A B C ∆关于直线l 对称，且90B ∠=︒，''6cm A B =，求'B ∠的度
数和AB 的长．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例22】尺规：把右图（实线部分）补成以虚线l 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美
丽蝴蝶的图案（不用写作法、保留作图痕迹）．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例23】如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图 方格内添涂黑二个小正方形，使它们组成轴对称图形．（试用两种方法） 【难度】★★ 【答案】 【解析】
B
A
a
A
【例24】如图，等边ABC ∆的边长为a cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将ADE ∆沿
直线DE 折叠，点A 落在点A '处，且点A '在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为
________________ cm ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例25】如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B
两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【例26】打台球问题，在一个长方形球台ABCD 上，点P 、点Q 各放着一个球，现在要求 点P 的球先碰AB 边，反弹BC 边，最后反弹碰到Q 的球．问点P 的球应该撞击AB 的哪
一点，才能够达到上述要求？
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【例27】地面上有不共线的三点A 、B 、C ，一只青蛙位于异于A 、B 、C 的点P ．第一步， 青蛙从P 点跳到关于A 的对称点1P ；第二步，青蛙从1P 跳到关于B 的对称点2P ；第三 步，青蛙从2P 跳到关于C 的对称点3P ；第四步，从3P 跳到关于A 的对称点4P ；…，如
此不断地跳下去，问青蛙跳完6666步后落在什么位置上？
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【习题1】下列“QQ 表情”中属于轴对称图形的是（ ）
A B C D
【难度】★ 【答案】 【解析】
【习题2】下列交通标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A
B
C
D
【难度】★ 【答案】 【解析】
【习题3】下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A B C D
【难度】★ 【答案】 【解析】
随堂检测
④
③
②
①
【习题4】正2n 边形，有______条对称轴，它有________个对称中心． 【难度】★ 【答案】 【解析】
【习题5】下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A
B
C
D
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【习题6】下列图案中，有且只有三条对称轴的是（ ）
A B C D
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【习题7】下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个 图形，并简述你的理由． 答：图形_______________；
理由是________________．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
A
【习题8】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．等腰三角形
B ．等腰梯形
C ．正方形
D ．平行四边形
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【习题9】下列说法中错误的是（
）．
A ．圆有无数条对称轴，一个对称中心
B ．等边三角形有三条对称轴，三个对称中心
C ．正方形有四条对称轴，一个对称中心
D ．等腰梯形仅有一条对称轴，没有对称中心
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【习题10】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴： 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【习题11】如图，画出半圆A 关于点F 中心对称的图形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
B
【习题12】如图（1）（2）所示的两组长方形能否关于某一点成中心对称？若能，则请画出
其对称中心．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【习题13】如图是由3个同样的小正方形所组成，请再补上一个同样的小正方形，使得由4 个小正方形组成的图形成为一个中心对称图形．要求：画出所有的情况，并且在所添画
的正方形中用数字标出．
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【习题14】如图跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳
棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已 知点A 为已方一枚棋子，欲将棋子A 跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最 少步数为（ ）
A ．2步
B ．3步
C ．4步
D ．5步 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【习题15】如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，且OP = 2，在角的两边有两点Q 、R (均不
同于O 点)， 求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小，并求出最小值．
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【作业1】下面四个标志图是中心对称图形的是（ ）
【难度】★ 【答案】 【解析】
【作业2】正八边形________中心对称图形．（填“是”或“不是”）． 【难度】★ 【答案】 【解析】
【作业3】圆______是中心对称图形，两个圆__________关于某点成中心对称．（填“一定”、
“不一定”或“一定不”）
【难度】★ 【答案】 【解析】
【作业4】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A
B
C
D
【难度】★ 【答案】 【解析】
课后作业
A
B C
D
O
D
C
B A
l
【作业5】如图，直线L 是四边形ABCD 的对称轴，若AB CD =，有下面的结论：①AB CD ∥
②AC BD ⊥ ③AO OC = ④AB BC ⊥，其中正确的结论有_______．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【作业6】如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后 是 ．
（1）
（2）
（3）
（4）
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【作业7】下图中②③④⑤分别由①图顺时针旋转180°变换而成的是____________．
①
②
③
④
⑤
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【作业8】某校计划建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等边三角形、等腰梯形、菱形、正五边形等四种方案，你认为符合条件的是（）A．等边三角形B．等腰梯形 C．菱形D．正五边形
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业9】两个完全一样的三角形，可以拼出各种不同的图形，如图已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其一模一样的三角形，使每个图形分别构成不同的可中心对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业10】在由小正方形组成的L形的图中，用三种不同方法添画一个小正方形，使它成为轴对称图形．
方法一方法二方法三
【难度】★★★
【答案】
【解析】
B
A
l
O
E B
F
D
C
A
【作业11】菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直平分，相交于点O ，O 就是它的对 称中心，过它的顶点A 、D 向BC 及其延长线作垂线AE 、DF ，E 、F 为垂足，图中的三 角形可以看作
（1）由平移变换得到的有_________对，它们是__________； （2）由旋转变换得到的有_________对，它们是__________；
（3）由翻折变换得到的有_________对，它们是__________．
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【作业12】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得AM BM 最大． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【作业13】两个人轮流在一张圆心桌面上摆放硬币，规则是每人每次摆一枚，硬币不能互相 重叠，也不能有一部分在桌面的边缘之外，摆好之后不许再移动，这样经过多次摆放，
直到谁最先摆不下硬币谁就认输，按照这个规则，你用什么方法才能保证取胜？
【难度】★★★ 【答案】 【解析】。