部编数学七年级上册专题绝对值压轴题(最值与化简)专项讲练重难题型技巧提升专项精练(人教版)含答案

专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练
专题1. 最值问题
最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。

题型1. 两个绝对值的和的最值【解题技巧】b x a x -+-目的是在数轴上找一点x ，使x 到a 和b 的距离和的最小值：分类情况（x 的取值范围）图示b x a x -+-取值情况
当a x <时无法确定
当b x a ≤≤时b x a x -+-的值为定值，即为b a -
当b x >无法确定
结论：式子b x a x -+-在b x a ≤≤时，取得最小值为b a -。

例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A ，B 分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离为AB a b =-．反之，可以理解式子3x -的几何意义是数轴上表示实数x 与实数3两点之间的距离．则当25x x ++-有最小值时，x 的取值范围是（
）A ．2x <-或5
x >B ．2x -≤或5x ≥C ．25x -<<D ．25
x -≤≤【答案】D
【分析】根据题意将25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.
【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）
当x<-2时，25x x ++-=（-2-x ）+（5-x ）=3-2x ；
当25x -≤≤时，25x x ++-=（x+2）+（5-x ）=7；
当x>5时，25x x ++-=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴25x x ++-有最小值，最小值为7，此时25x -≤≤，故选：D.方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）
25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当25x -≤≤时，25x x ++-有最小值，最小值为7。

【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到25x x ++-表示的意义，再利用分类思想解答问题.
变式1．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝ _______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使得|x ＋5|＋|x －2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x －3|＋|x －6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
【答案】（1）7；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）最小值是3
【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；
（2）分别讨论当x ＞2时，当﹣5≤x ≤2时，当x ＜﹣5时去绝对值进行求解即可；
（3）同（2）利用分类讨论的思想进行求解即可．
【详解】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案为：7；
（2）当x ＞2时，|x +5|+|x ﹣2|＝x +5+x ﹣2＝7，解得：x ＝2与x ＞2矛盾，故此种情况不存在；
当﹣5≤x ≤2时，|x +5|+|x ﹣2|＝x +5+2﹣x ＝7，故﹣5≤x ≤2时，使得|x +5|+|x ﹣2|＝7，故使得|x +5|+|x ﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
当x ＜﹣5时，|x +5|+|x ﹣2|＝﹣x ﹣5+2﹣x ＝﹣2x +3＝7，得x ＝﹣5与x ＜﹣5矛盾，故此种情况不存在．故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
（3）|x ﹣3|+|x ﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下：
当x ＞6时，|x ﹣3|+|x ﹣6|＝x ﹣3+x ﹣6＝2x ﹣9＞3；
当3≤x ≤6时，|x ﹣3|+|x ﹣6|＝x ﹣3+6﹣x ＝3；
当x ＜3时，|x ﹣3|+|x ﹣6|＝3﹣x +6﹣x ＝9﹣2x ＞3．
故|x ﹣3|+|x ﹣6|有最小值，最小值是3．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答．
例2.（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如：从“形”的角度看：|31|-可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的
距离；|31|+可以理解为数轴上表示 3 与﹣1 的两点之间的距离．
从“数”的角度看：数轴上表示 4 和﹣3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） ．
根据以上阅读材料探索下列问题：
(1)数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是
；（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数 x 和﹣2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为 ；②若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子|1||3|x x ++-的最小值为 ．
【答案】(1)6，7；(2)①－6或2；②4
【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可；（2）①根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可；②由于所给式子表示x 到－1和3的距离之和，当x 在－1和3之间时和最小，故只需求出－1和3的距离即可．
(1)解：数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是｜9－3｜=6，数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是｜2－（－5）｜=7，故答案为：6，7；
(2)解：①根据题意，得：｜x －(－2)｜=4，
∴｜x +2｜=4，∴x +2=－4或x +2=4，
解得：x =－6或x =2，故答案为：－6或2；
②∵|1||3|x x ++-表示x 到－1和3的距离之和，
∴当x 在－1和3之间时距离和最小，最小值为｜－1－3｜=4，故答案为：4．
【点睛】本题考查数轴上两点之间距离，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键．
变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ．（2）找出所有符合条件的整数x ，使得|x +5|+|x ﹣2|＝7成立的整数是 ．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|x ﹣3|+|x ﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x 的整数值可以进行分段计算，令x +5＝0或x ﹣2＝0时，分为3段进行计算，最后确定x 的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3
种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．
【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案为：7；
（2）令x +5＝0或x ﹣2＝0时，则x ＝﹣5或x ＝2
当x ＜﹣5时，∴﹣（x +5）﹣（x ﹣2）＝7，
﹣x ﹣5﹣x +2＝7，x ＝5（范围内不成立）
当﹣5＜x ＜2时，∴（x +5）﹣（x ﹣2）＝7，x +5﹣x +2＝7，7＝7，
∴x ＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1
当x ＞2时，∴（x +5）+（x ﹣2）＝7，x +5+x ﹣2＝7，2x ＝4，x ＝2，x ＝2（范围内不成立）
∴综上所述，符合条件的整数x 有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x ，|x ﹣3|+|x ﹣6|有最小值为3．
【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
题型2. 两个绝对值的差的最值【解题技巧】b x a x ---目的是在数轴上找一点x ，使x 到a 和b 的距离差的最大值和最小值：分类情况（x 的取值范围）图示b x a x ---取值情况
当a x <时b x a x ---的值为定值，即为—b
a -
当b x a ≤≤时b
a b x a x b a -≤---≤--
当b x >b x a x ---的值为定值，即为b
a -结论：式子
b x a x ---在a x ≤时，取得最小值为b a --；在b x ≥时，取得最大值b a -。

例1.（2022·浙江·温州七年级开学考试）代数式|x ﹣1|﹣|x +2|的最大值为a ，最小值为b ，下列说法正确的是（ ）
A ．a ＝3，b ＝0
B ．a ＝0，b ＝﹣3
C ．a ＝3，b ＝﹣3
D ．a ＝3，b 不存在
【答案】C
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x ＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a 与b 的值．
【详解】解：当x≥1时，|x ﹣1|﹣|x+2|＝x ﹣1﹣x ﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x ＜1时，|x ﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x ﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x ﹣1；
当x≤﹣2时，|x ﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x ﹣1）+（x+2）＝3．
∵代数式|x ﹣1|﹣|x+2|的最大值为a ，最小值为b ，
∴a ＝3，b ＝﹣3．故选：C ．
【点睛】考查了绝对值，如果用字母a 表示有理数，则数a 绝对值要由字母a 本身的取值来确定：①当a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身a ；②当a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数-a ；③当a 是零时，a 的绝对值是零．注意分类思想的运用．
变式1．（2022·上海七年级期中）代数式|1||2|x x --+，当2x <-时，可化简为______；若代数式的最大值为a 与最小值为b ，则ab 的值______．
【答案】 3 -9
【分析】当2x <-时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当21x -≤≤时以及当x ＞1时，根据当21x -≤≤时，3213x -≤--≤，求出a ，b 即可．
【详解】解：当2x <-时，x-1＜0，x+2＜0，
∴|1||2|(1)(2)3x x x x --+=--++=，
当21x -≤≤时，|1||2|(1)(2)21x x x x x --+=---+=--，
当x ＞1时，|1||2|(1)(2)3
x x x x --+=--+=-∵当21x -≤≤时，3213x -≤--≤，
∴代数式|1||2|x x --+的最大值为3，最小值为-3，
∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x 进行分类讨论，再化简代数式．
例2.（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤x ≤3，则|x ﹣3|﹣1
2|x |+|x +2|的最大值与最小值之和为__．
【答案】8.5．
【分析】先根据-1≤x ≤3，确定x -3与x +2的符号，再对x 的符号进行讨论即可．
【详解】∵﹣1≤x ≤3，
当﹣1≤x ≤0时，|x ﹣3|﹣
12|x |+|x +2|＝3﹣x +12x +x +2＝12x +5，最大值为5，最小值为4.5；当0≤x ≤3时，|x ﹣3|﹣12|x |+|x +2|＝3﹣x ﹣12x +x +2＝﹣12
x +5，最大值为5，最小值为3.5，∴最大值与最小值之和为8.5；
故答案为：8.5．
【点睛】本题考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道，||a 的几何意义是数轴上表示数a 的点与原点的距离，一般地，点A ，B 在数轴上分别表示数a ，b ，那么A ，B 之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x 与1所对应的点的距离为__ ，数x 与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求|1||1|
x x +--的最大值；（3）直接写出|1||2||3||4||1||2||3||4|x x x x x x x x +++++++--------的最大值为______．
【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20
【分析】（1）根据题意即可列式解答；
（2）由x 的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案；
（3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可．
【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x 与1所对应的点的距离为1x -，
数x 与-1所对应的点的距离为(1)1x x --=+，故答案为：1x -， 1x +；
（2）1x -表示x 到1之间的距离，1x +表示x 到-1之间的距离，
①当x≤-1时，1x -=1-x ，1x +=-1-x ，∴|1||1|x x +--=（-1-x ）-（1-x ）=-2；
②当-1≤x≤1时，1x -=1-x ，1x +=x+1，∴|1||1|x x +--=（x+1）-（1-x ）=2x≤2；
③当x≥1时，1x -=x-1，1x +=x+1，∴|1||1|x x +--=（x+1）-（x-1）=2，∴|1||1|x x +--的最大值为2（3）由（2）知：|1||1|x x +--的最大值为2，由此可得： |2||2|x x +--的最大值为4，
|3||3|x x +--的最大值是6，|4||4|x x +--的最大值是8，
∴|1||2||3||4||1||2||3||4|x x x x x x x x +++++++--------的最大值是2+4+6+8=20
【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式．
题型3. 多个绝对值的和的最值
【解题技巧】最小值规律：
①当有两个绝对值相加：
若已知b a <，b x a x -+-的最小值为a b -，且数x 的点在数a ，b 的点的中间；
②当有三个绝对值相加：
若已知c b a <<，c x b x a x -+-+-的最小值为a c -，且数x 的点与数b 的点重合；
③当有12+n （奇数）个绝对值相加：
12221+-+-+⋯⋯+-+-n n a x a x a x a x ，且12221+<<⋯⋯<<n n a a a a ，则x 取中间数，即当1+=n a x 时，12221+-+-+⋯⋯+-+-n n a x a x a x a x 取得最小值为
()()()0222112+-+⋯⋯+-+-++n n n n a a a a a a ；
④当有n 2（偶数）个绝对值相加：
n n a x a x a x a x 21221-+-+⋯⋯+-+--，且n n a a a a 21221<<⋯⋯<<-，则x 取中间段，
即当1+≤≤n n a x a 时，n n a x a x a x a x 21221-+-+⋯⋯+-+--取得最小值为
()()()()n n n n n n a a a a a a a a -+-+⋯⋯+-+-+---11221212。

例1.（2022·天津初一月考）若x 是有理数，则24682018x x x x x -+-+-+-+⋯+-的最小值是________．
【答案】509040
【分析】首先判断出|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣6|+…+|x ﹣2018|就是求数轴上某点到2、4、6、…、2018的距离和的最小值；然后根据某点在a 、b 两点之间时，该点到a 、b 的距离和最小，当点x 在2与2018之间时，到2和2018距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，所以当x =1010之间时，算式|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣6|+…+|x ﹣2018的值最小，据此求出|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣6|+…+|x ﹣2018|最小值是多少即可．
【解析】根据绝对值得几何意义分析，知当x =1010时，算式|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣6|+…+|x ﹣2018的值最小，最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）
＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040
∴|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣6|+…+|x ﹣2018|的最小值是509040．
【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x |表示数轴上表示x 的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x -a |表示数轴上表示x 的点到表示a 的点之间的距离．
变式1．（2022•武侯区校级月考）|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|+…+|x ﹣2014|的最小值为 ，此时x 的取值为 ．
解：原式可转化为在数轴上找一个点到1，2，3，…，2014对应的点的距离和最小，
故当1007≤x≤1008时，距离和最小，
可取x ＝1007，则此时距离和为：
1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007
＝2×（1+2+3+…+1006）+1007
＝1014049，即原式的最小值为1014049；
当x ＝1008时，最小值也为1014049，
故1007≤x≤1008．
例2.（2022·北京市第四十四中学七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A ，B 分别表示数a ，b ．A ，B 两点间的距离可以用符号AB 表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A ，B 两点之间的距离AB ．
例如：当a ＝2，b ＝5时，AB ＝5－2＝3；当a ＝2，b ＝－5时，AB ＝52--＝7；当a ＝－2，b ＝－5时，AB ＝52---（）＝3，综合上述过程，发现点A 、B 之间的距离AB ＝b a -（也可以表示为a b -）．请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a 和－2的两点间距离是6，则a ＝
；
（2）如果数轴上表示数a 的点位于－4和3之间，则43a a ++-＝
（3）代数式123a a a -+-+-的最小值是 ．（4）如图，若点A ，B ，C ，D 在数轴上表示的有理数分别为a ，b ，c ，d ，则式子||||||a x x b x c x d
-+++-++的最小值为 （用含有a ，b ，c ，d 的式子表示结果）
【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）c d b a
+--【分析】（1）根据题意可得：26a --= ，解出即可求解；（2）根据题意可得：43a -<< ，从而得到
40,30a a +>-< ，进而得到4a +＝a ＋4，3a -＝3－a ，即可求解；（3）根据题意可得：当a ＝2时，代数式存在最小值，化简即可求解；（4）根据题意可得：原式表示x 对应点到,,,a b c d -- 对应的点的距离之和，从而得到当d x c -≤≤ 时，||||||a x x b x c x d -+++-++有最小值，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：26a --= ，
∴26a --= 或26a --=- ，解得：4a = 或-8；
（2）∵表示数a 的点位于－4和3之间，
∴43a -<< ，
∴40,30a a +>-< ，∴4a +＝a ＋4，3a -＝3－a ，∴43a a ++-＝ a ＋4＋3－a ＝7；
（3） 当a ＝2时，代数式存在最小值， ∴123a a a -+-+-＝1＋0＋1＝2.
所以，最小值是2；
（4）根据题意得：
()()||||||||||||a x x b x c x d a x x b x c x d -+++-++=-+--+-+--，
∴原式表示x 对应点到,,,a b c d -- 对应的点的距离之和，
如图所示，
∴当d x c -≤≤ 时，||||||a x x b x c x d -+++-++有最小值，
∴原式x a b x c x x d
=---+-++c d b a =+-- ．
【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键．
变式2.（2022•龙泉驿区期中）我们知道，在数轴上，|a |表示数a 到原点的距离．进一步地，点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，那么A ，B 两点之间的距离就表示为|a ﹣b |；反过来，|a ﹣b |也就表示A ，B 两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．
例，若|x+5|＝2，那么x为：
①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．
文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．
②图形语言：
③答案：x为﹣7和﹣3．
请你模仿上题的①②③，完成下列各题：
（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
【分析】运用数形结合思想：
图一图二
图三图四
【解答】解：（1）文字语言：数轴上什么数到﹣4的距离等于到2的距离．
图形语言： 答案：x ＝﹣1．
（2）文字语言：数轴上什么数到3的距离比到原点（0）的距离大2．
图形语言： 答案：x =12
．（3）文字语言：数轴上什么数到1的距离和它到3的距离大于4．
图形语言： 答案：x ＞4，x ＜0．
（4）文字语言：数轴上什么数到1，2，3，4，5距离之和最小值．
图形语言： 答案：6．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求解问题．
课后专项训练：
1．（2022·全国·七年级）若x a -表示数轴上x 与a 两数对应的点之间的距离，当x 取任意有理数时，代数式|6||2|x x -+-的最小值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】B
【分析】根据|x -a |表示数轴上x 与a 两数对应的点之间的距离，可知当x 处于2和6中间时，|x -6|+|x -2|取得最小值，即为数轴上2和6之间的距离．
【详解】解：∵|x -a |表示数轴上x 与a 两数对应的点之间的距离，
∴|x -6|+|x -2|表示数轴上数x 与6和数x 与2对应的点之间的距离之和，
∴当2≤x ≤6时，代数式|x -6|+|x -2|有最小值，最小值为|6-2|=4，故选：B ．
【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，明确|x -a |表示数轴上x 与a 两数对应的点之间的距离是解题的关键．
2．（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）32x x -++最小值为 ______．
【答案】5
【分析】先分区间确定零点，x+2=0和x-3=0，分三种情况2x <-，23x -≤<和3x ≥分别化去绝对值符号，合并化简，根据x 的范围确定每个区间中绝对值式子的值的范围即可确定最小值．
【详解】令x+2=0，x-3=0，求得x=-2与x=3，
当2x <-时，
32=3212x x x x x -++---=-，
∵2424x x <-->，
，∴3212145x x x -++=->+=，
当23x -≤<时，
32325x x x x -++=-++=，
当3x ≥，
3232212315x x x x x -++=-++=->´-=，
32x x -++的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查利用绝对值化简求最小值问题，掌握绝对值化简得技巧，会根据绝对值的个数分区间化去绝对值符号是解题关键．
3．（2022·陕西·西安交大阳光中学七年级阶段练习）阅读下列材料:我们知道a 的几何意义是在数轴上数a 对应的点与原点的距离.数轴上数a 与数0对应点之间的距离，|||0|a a =-这 个结论可以推广为: |a- b|均表示在数轴上数a 与b 对应点之间的距离，例:已知|a-1|=2， 求a 的值.
解:在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和-1，即a 的值为3和-1.
仿照阅读材料的解法，解决下列问题
(1)已知|2|4a +=，求a 的值.
(2)若数轴上表示a 的点在-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值为___
(3)当a 满足什么条件时，|a-1|+ |a+2|有最小值，最小值是多少?
【答案】(1)62a a =-=或；(2)()6321a -<<；
，3【分析】(1)根据数轴上数a 与数-2之间的距离等于4即可求得答案；
(2)根据题意，可知当﹣4≤a≤2时，|a+4|+|a-2|的值为6；
(3)根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得到答案.
【详解】(1)|2|4a +=，得到24,6a a +=±=-或a=2；
(2)根据题意，
|a+4|表示数轴上表示数a 的点与表示数-4的点之间的距离，
|a-2|表示数a 的点与表示数2的点之间的距离，因为﹣4≤a≤2，画图可知
∴|a+4|+|a-2|＝6；
(3)21a -<<当时，|a-1|+ |a+2|有最小值，最小值是()123
--=【点睛】本题考查了数a 的绝对值的意义：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，利用数形结合是解题的关键.
4．（2021·贵州六盘水·七年级阶段练习）同学们都知道，根据绝对值的几何意义，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：同理|x ﹣3|也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：
（1）|4﹣（﹣2）|＝ ；
（2）找出所有符合条件的整数x ，使|x ﹣4|+|x +2|＝6成立，并说明理由．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|x ﹣3|+|x ﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【答案】（1）6；（2）符合条件的整数x 为-2、-1、0、1、2、3、4；（3）3，理由见解析
【分析】（1）可先算出4与-2的差，然后再求出差的绝对值即可；
（2）设-2、4、x 在数轴上所对应的点分别为A 、B 、X ，则有|x -4|+|x +2|=BX +AX =6，AB =|4-（-2）|=6．然后分X 在点A 的左边、X 在AB 之间、X 在点A 的右边三种情况讨论，就可解决问题；
（3）设3、6、x 在数轴上所对应的点分别为A 、B 、X ，则|x -3|+|x -6|=AX +BX ，AB =|6-3|=3．借鉴（2）中的经验可得AX +BX ≥AB ，即|x -3|+|x -6|≥3，当X 在A 、B 之间时取等号．
【详解】解：（1）()42=42=6=6--+ ，
故答案为：6；
（2）设-2、4、x 在数轴上所对应的点分别为A 、B 、X ，
则|x -4|+|x +2|=BX +AX =6，AB =|4-（-2）|=6．
①X 在点A 的左边时，BX +AX =AX +AB +AX =2AX +6=6，
∴AX =0与X 在点A 的左边矛盾，不符合题意
②当X 在点A 、B 之间时，BX +AX =AB =6与AB =6相符，
∴此时X 表示的整数可以为-2、-1、0、1、2、3、4；
∴整数x 的值可以为-2、-1、0、1、2、3、4；
③X 在点B 的右边时，BX +AX =AB +BX +BX =6+2BX =6，
∴BX =0，与X 在点B 的右边矛盾，不符合题意
综上所述：符合条件的整数x 为-2、-1、0、1、2、3、4；
（3）对于任何有理数x ，|x -3|+|x -6|有最小值，最小值为3．
设3、6、x 在数轴上所对应的点分别为A 、B 、X ，
则|x -3|+|x -6|=AX +BX ，AB =|6-3|=3．
由（2）同理可知，当X 在点A 的左边时，BX +AX =AX +AB +AX =2AX +3，
当X 在点A 、B 之间时，BX +AX =AB =6，
当X 在点B 的右边时，BX +AX =AB +BX +BX =6+2BX ，
∴AX +BX ≥AB ，
∴|x -3|+|x -6|≥3，当X 在A 、B 之间时取等号．
∴|x -3|+|x -6|有最小值3．
【点睛】本题考查的是绝对值的概念、几何意义、数轴等知识，在解决问题的过程中用到了分类讨论及数形结合的思想，是解决本题的关键．
5．（2021·北京市平谷区峪口中学七年级期中）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5－（－2）|＝______．
（2）若32x -=成立，则x ＝_________．
（3）请你写出12x x -+-的最小值为________．并确定相应的x 的取值范围是______．
【答案】（1）7；（2）5或1；（3）3，1≤x ≤2
【分析】（1）根据5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；
（2）根据题意可得方程x -3=±2，再解即可；
（3）分情况讨论，去绝对值化简，从而确定x 的最小值．
【详解】解：（1）|5－（－2）|＝|5+2|＝7，
故答案为：7；
（2）∵|x -3|=2成立，
∴x -3=±2，
∴x =5或1，
故答案为：5或1；
（3）当x ＜1时，
原式=-x +1-x +2=-2x +3＞1；
当1≤x ≤2时，
原式=x -1-x +2=1；
当x ＞2时，
原式=x -1+x -2=2x -3＞1，
∴|x -1|+|x -2|的最小值是1，
故答案为：3，1≤x ≤2．
【点睛】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
6．（2022·山东·济南七年级期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P ，Q 在数轴上分别表示有理数p ，q ，P ，Q 两点之间的距离表示为PQ p q =-．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为312-=；有理数5与2-对应的两点之间的距离为()527--=；有理数8-与5-对应的两点之间的距离为()853---=；…
解决问题：
（1）数轴上有理数10-与3对应的两点之间的距离等于_________；数轴上有理数x 与5-对应的两点之间的距离用含x 的式子表示为________；若数轴上有理数x 与1对应的两点A 、B 之间的距离6AB =，求x 的值；
联系拓广：
（2）如图，点M 表示的数为4，点N 表示的数为2-，P 为数轴上的动点，动点P 表示的数为x ．
①若点P 在点M 、N 两点之间，则PM PN +=______；若10PM PN +=，则点P 表示的数x 为______；由此可得：当37x x ++-取最小值时，求整数x 的所有取值的和；
②当点P 到点M 的距离等于点P 到点N 的距离的2倍时，求x 的值．
【答案】（1）13，5x +，5-或7；（2）6，4-或6，22；（3）8-或0
【分析】（1）理解题意，根据距离的概念求解即可；
（2）①根据点M 的位置分情况讨论，利用距离求解即可，对x 进行讨论，求出x 的取值，然后求解即可；②设点P 表示的数为x ，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：（1）数轴上有理数10-与3对应的两点之间的距离为3(10)13--=，
数轴上有理数x 与5-对应的两点之间的距离用含x 的式子表示为55x x
--=+若数轴上有理数x 与1对应的两点A 、B 之间的距离6AB =，则16
x -=即16x -=或16
x -=-解得7x =或5
x =-故答案为13，5x +，5-或7
（2）设点P 表示数为x ，则4PM x =-，2
PN x =+①若点P 在点M 、N 两点之间，则24x -<<，44PM x x =-=-，22
PN x x =+=+426
PM PN x x +=-+-=若10PM PN +=，即4210
x x -++=当2x <-时，424(2)10x x x x -++=--+=，解得4
x =-当4x >时，424(2)10x x x x -++=-++=，解得6
x =即点P 表示数x 为4-或6
当37x x ++-取最小值时，可得x 在3-和7之间（包含端点），所以37
x -≤≤又∵x 为整数
∴x 的取值为3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7
---整数x 的所有取值的和为(3)(2)(1)0123456+7=22
-+-+-+++++++故答案为6，4-或6，22
②由题意可得：2PM PN =，即422
x x -=+可得：42(2)x x -=+或42(2)
x x -=-+
解得0x =或8x =- 故答案为8-或0
【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上的动点，数轴上两点之间的距离以及绝对值方程，解题的关键是掌握数轴的基本知识，理解数轴上两点之间的距离．
7．（2022·重庆市铜梁区关溅初级中学校七年级期末）数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ．数轴上表示数a 的点与表示数b 的点的距离记作a b -，如35-表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，()3535+=--表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，3a -表示数轴上表示数a 的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）（1）若22x x -=+，则x =_______，若31x x -=+，则x =_______；
（2）若314x x -++=，则x 能取到的最小值是_______；最大值是_______；
（3）若314x x --+=，则x 能取到的最大值是_______；
（4）关于x 的式子21x x -++的取值范围是_______．
【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）|x -3|+|x +1|=4表示的意义，得到x 的取值范围，进而得到最大值和最小值；
（3）若|x -3|-|x +1|=4，所表示的意义，确定x 的取值范围，进而求出最大值；
（4）根据|x -2|+|x +1|的意义，求出|x -2|+|x +1|的最小值为3，从而确定取值范围．
【详解】解：（1）|x -2|=|x +2|表示数轴上表示x 的点到表示2和-2的距离相等，因此到2和-2距离相等的点表示的数为2202
-=，|x -3|=|x +1|表示数轴上表示x 的点到表示3和-1的距离相等，
因此到3和-1距离相等的点表示的数为
312
-=1，故答案为：0，1；
（2）|x -3|+|x +1|=4表示的意义是数轴上表示x 的点到表示3和-1两点的距离之和为4，可得-1≤x ≤3，因此x 的最大值为3，最小值为-1；
故答案为：-1，3；
（3）|x -3|-|x +1|=4表示的意义是数轴上表示数x 的点与表示数3的点距离比它到表示-1的点的距离大4，根据数轴直观可得，
x ≤-1，即x 的最大值为-1，
故答案为：-1；
（4）式子|x -2|+|x +1|表示的意义是数轴上表示x 的点到表示2和-1两点的距离之和，由数轴直观可得，|x -2|+|x +1|最小值为3，
因此|x -2|+|x +1|≥3，
故答案为：大于或等于3．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．8．（2022·云南·昆明七年级期中）阅读下面材料并解决有关问题，我们知道：
(0)0(0)(0)x x x x x x >ìï==íï-<î
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得1x =-，2x =，称1-，2分别为1x +与2x -的零点值在有理数范围内，零点值1x =-，2x =，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
①1x ≤-；②12x -<<；③2x ≥从而化简代数式12x x ++-时可分以下3种情况：
①当1x ≤-时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+；
②当12x -<<时，原式(1)(2)3x x =-++-=-；
③当2x ≥时，原式(1)(2)21x x x =++-=-；
综上所述：
原式21(1)3(12)21(2)x x x x x -+≤-ìï=--<<íï-≥î
，通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当2x <时，2x -=______．（2）化简代数式：24
x x ++-（3）直接写出|1|4|1|x x --+的最大值______．
【答案】（1）2x -+；（2）原式22(2)6(24)22(4)x x x x x -+≤-ìï=-<<íï-≥î
；（3）2
【分析】（1）根据绝对值的意义可得结论；
（2）零点值x=2和x=4可将全体实数分为不重复不遗漏的如下三种情况：2x -≤、24x -<<、4x ≥分该三种情况找出24x x ++-的值；
（3）分1x ≤-、11x -<<、1≥x 分别化简，结合x 的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．
【详解】解：（1）当2x <时，|2|(2)2x x x -=--=-+．
故答案为：2
x -+（2）化简代数式：|2||4|
x x ++-分为以下三种情况讨论：
当2x -≤时，原式(2)(4)22x x x =-+--=-+；
当24x -<<时，原式(2)(4)6x x =+--=；
当4x ≥时，原式(2)(4)22x x x =++-=-；
综上所述：
原式22(2)6
(24)22(4)x x x x x -+≤-ìï=-<<íï-≥î
（3）|1|4|1|x x --+的最大值：
当1x ≤-时，原式352x =+≤，
当11x -<<时，原式53x =--，8532x -<--<，
当1≥x 时，原式358x =--<-，
则|1|4|1|x x --+的最大值为2．
【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用．9．（2022·全国·七年级）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示数a 、b ．A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．则数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a ﹣b |．
回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x 和﹣1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果|AB |＝2，那么x 为 ；
（3）当|x +1|+|x ﹣2|取最小值时，符合条件的整数x 有 ；
（4）令y ＝|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|，问当x 取何值时，y 最小，最小值为多少？请求解．
【答案】（1）4；3；（2）|x +1|，1或﹣3；（3）﹣1，0，1，2；
（4）x =2时，y 最小，最小值为4
【分析】（1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解；
（2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可；（3）根据数轴上两点间的距离的意义解答；
（4）根据数轴上两点间的距离的意义解答．
【详解】解：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：()13134--=+＝ ；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：()25523---=-= ；
（2）∵A ，B 分别表示的数为x ，﹣1，
∴数轴上表示x 和﹣1的两点A 和B 之间的距离是|x +1|，
如果|AB |＝2，则|x +1|＝2，
解得：x ＝1或﹣3；
（3）当|x +1|+|x ﹣2|取最小值时，﹣1≤x ≤2，
∴符合条件的整数x 有﹣1，0，1，2；
（4）当|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|取最小值时，x ＝2，
∴当x ＝2时，y 最小，
即最小值为：|2+1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝4．
故x ＝2时，y 最小，最小值为4．
【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键．
10．（2021·福建·泉州七中七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如，式子2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与-1所对应的点之间的距离．。