5.1.2弧度制-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件2(共25张PPT)

1°＝1π80 rad
1 rad＝1π80°
明目标、知重点
例1 (1)把67°30′化成弧度；
探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以
即可.
1 思考2 利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合.
解 ∵67°30′＝ 67 °， 答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1
思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？
1弧度的角是一个定值，与所在圆的半
1弧度的角是一个定值，与所在圆的半
探究点三 利用弧度制表示终边相同的角
360°＝
rad
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
明目标、知重点
探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请 根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式.(设半径为r，
反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢
记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以
即
可.
180
π
°
明目标、知重点
反思与感悟 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用.
答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1
解析 时针经过一小时，转过－30°，
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；
2 如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1
时针经过一小时，时针转过了( )
π 1 3 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
π rad”这一关系式. 角的度数与弧度数换算关系：度数×1π80 rad＝弧度数， 弧度数×18π0°＝度数.
3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时， 要注意角的单位取弧度.
明目标、知重点
cm2.
明目标、知重点
明目标、知重点
探究点三 利用弧度制表示终边相同的角 导 引 在 弧 度 制 下 ， 与 α 终 边 相 同 的 角 连 同 α 在 内 可 以 表 示 为 2kπ ＋ α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度. 思考1 利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合.
终边所在的位置 x轴 y轴
扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100. ∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时 θ＝rl＝40－120×10rad＝2 rad. 所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100
明目标、知重点
跟踪训练3 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π； 解 ∵－1 480°＝－749π＝－10π＋169π， 又 0<196π<2π，∴－1 480°＝196π＋2×(－5)π.
明目标、知重点
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. 解 ∵β 与 α 终边相同，∴β＝α＋2kπ＝196π＋2kπ(k∈Z). 又β∈[－4 π ，0]， ∴β1＝196π－2π＝－29π，β2＝196π－4π＝－290π. ∴β＝－29π 或 β＝－290π.
Ⅳ
{α|2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z}
明目标、知重点
解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋53π，是第四象限角. (2)∵236π＝2π＋116π， ∴236π与116π终边相同，是第四象－4)，π2<2π－4<π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角. 反思与感悟 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不 能混用.
{α|α＝kπ，k∈Z}
如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
明目标、知重点
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；
已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为__________________.
已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为__________________.
解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
例2 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
7π 7π 180 思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式. 解 － ＝－ × °＝－105°. 解析 时针经过一小时，转过－30°， 12 12 π 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；
{α|α＝kπ，k∈Z}
如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
例2 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1
如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？
坐标轴
角的集合 {α|α＝kπ，k∈Z}
{α|α＝kπ＋π2，k∈Z}
{α|α＝k2π，k∈Z}
明目标、知重点
思考2 利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合.
α终边所在的象限 Ⅰ
角α的集合 {α|2kπ<α<2kπ＋π2，k∈Z}
Ⅱ
{α|2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z}
Ⅲ
{α|2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z}
思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
思考3 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.
探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
又β∈[－4 π ，0]，
7π 时针经过一小时，时针转过了( ) (2)把－ 化成角度. 解析 设扇形半径为r，中心角弧度数为α， 12 探究点三 利用弧度制表示终边相同的角
例2 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
第五章三角函数
§5.1 任意角和弧度制
明目标、知重点
探要点·究所然 情境导学
明目标、知重点
探究点一 弧度制
思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？ 你能作出一个1弧度的角吗？ 答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半 径无关.如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1.时针经过一小时，时针转过了( )B
π A.6 rad
B.－π6 rad
π C.12 rad
D.－1π2 rad
解析 时针经过一小时，转过－30°，
又－30°＝－π6 rad，故选 B.
明目标、知重点
1234
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2.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧
把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以
即可.
∴67°30′＝ rad×67 ＝ π rad. 思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
180 2 8 导引 在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度.
呈重点、现规律
1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建 立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的 弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度 数等于这个实数的角)与它对应.
明目标、知重点
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝
度数是( ) C
A.1
B.1或2 C.1或4
D.2或4
解析 设扇形半径为r，中心角弧度数为α，
2r＋αr＝6
r＝1 r＝2
则由题意得
12αr2＝2，
解得 α＝4
或 α＝1.
明目标、知重点
12 34
3. 已 知 两 角 的 和 是 1 弧 度 ， 两 角 的 差 是 1° ， 则 这 两 个 角 分 别 为 _12_＋__3_π6_0_，__12_－ __3_π6__0___. 解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，
α＋β＝1 则α－β＝1π80， 解得 α＝12＋3π60，β＝12－3π60.
明目标、知重点
1234
4.把－141π 表示成 θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的 θ 值是__－__34_π_. 解析 －141π＝－2π＋－34π ＝2×(－1)π＋－34π. ∴θ＝－34π.
明目标、知重点
πr 180
逆时针方向
π 180
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
－2
明目标、知重点
1°
180
π
°
－3π60°
明目标、知重点
思考3 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充
完整.
角度化弧度 360°＝ 2π rad
180°＝ π rad
弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180°
288 探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
例1 (1)把67°30′化成弧度；
解析 设扇形半径为r，中心角弧度数为α，
180°＝ rad
解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
圆心角弧度数为α).
答 半径为 r，圆心角为 n°的扇形弧长公式为 l＝1n8π0r， 扇形面积公式为 S 扇＝n3π6r02.∵2πl r＝2|απ|，∴l＝|α|r. ∵SS扇 圆＝πSr扇2＝2|απ|，∴S 扇＝12|α|r2. ∴S 扇＝12|α|r2＝12lr.
明目标、知重点
例2 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使
明目标、知重点
思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、
r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
A（B的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数
0
没旋转
0
∠AOB的度数 0°
顺时针方向
－90°
πr
逆时针方向
π
2πr 顺时针方向
－2π
180° －360°
明目标、知重点